1、- 1 -14.2命题与证明学习导航命题与证明涉及平面几何所要研究的基本内容之一，也是以后复杂图形研究的重要基础在知识学习的同时，命题与证明逐步渗透了推理论证的格式，并介绍了命题的结构和证明的步骤，所以命题与证明也是推理论证的入门阶段，命题与证明的内容是很重要的基础知识，是关系到今后几何学习的重要阶段，是中考考查的热点之一一、知识点回顾1.定义、命题、公理和定理的含义(1)定义是揭示一个事物区别于其他事物特征的句子(2)命题：可以判断是正确或错误的句子叫做命题其中正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题(3)命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这种命题可
2、写成“如果那么”的形式其中用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论(4)公理：如果个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理(5)如果一个命题可从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫定理如“三角形的内角和等于 180”等注意：定理是正确的命题，但正确的命题不一定是定理2.定义、命题、公理和定理之间的联系与区别这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理
3、是最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据3.证明(1)根据题设、定义以及已经被确认的公理、定理等，经过逻辑推理，来判断个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明(2)证明真命题的一般步骤是：根据题意，画出图形；根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性- 2 -推论证明的思路和方法因为它体现抽象思维能力，如果同学们对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，
4、证明的盲目性很大，因此对证明的思路和方法的训练是十分必要.（1）学习命题与证明主要以对比理解为主，通过比较各种术语之间的异同，理解其内在含义（2）概念辨析法的一般步骤是：分析研究题目所给条件和问题；回忆有关概念的内涵和要点；用概念去辨析题目所给条件与问题；进行分析、判断、推理，综合得出正确结论（3）证明一个假命题的方法是举一个反例，证明一个命题是真命题，可用分析法、综合法或分析综合法二、思想方法灵活运用转化的思维方法是平面几何证明的基本思想方法如变更发散命题，通过变更命题的形式，力求变换思维角度，多方位思考、多渠道辟径，对于每个知识点挖掘其深邃的内涵，拓展其广阔的外延，从而有利于培养创造性思维
5、能力命题与证明渗透的思想方法还有特殊与一般、逻辑推理思想等.在进行命题的证明时，体会命题证明的必要性，证明的步骤及格式，会根据一些简单的命题画出图形，并结合图形写出已知、求证，进行推理论证，并且会注明每一步推理的理由三、易错点归纳1.命题的结论和题设分辨不清【例 1】 将下列命题改写成“如果，那么”的形式.(1)同角的余角相等； (2)直角都相等误解(1)常有以下几种错误改写：如果是同角，那么余角相等；如果两个角是同角，那么它们的余角相等；如果同一个角是余角，那么余角相等(2)常有以下几种错误改写：如果是直角，那么相等；如果直角等于 90，那么直角都相等；如果两条直线互相垂直，那么直角都相等正
6、解 (1)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等- 3 -剖析与指导 产生改写错误的主要原因是：(1)在命题的题设和结论不很分明时，分辨不清哪是题设，哪是结论；(2)不能正确地理解一些概念名称，如同角、余角、直角等在叙述命题的语句中的地位和意义：(3)缺乏把简单句变换成复合句的语法知识命题的改写是命题教学的基础，在命题学习中，首先要掌握命题的构造，分清命题的题设是什么？结论是什么？然后才能在这个基础上进行命题的改写对于命题的改写，特别是题设和结论不很分明的命题的改写，应注意以下几点：(1)命题的“缩句”练习命题是判断一件事情的语句为明确语句中各
7、词语的含义及地位确定这语句中的“主词”和“宾词”，可以进行类似于小学语文中的“缩句”练习如把命题“同角的余角相等”缩写成“余角相等”，由此知道主词是“余角”，宾词是“相等”；又命题“两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行”可以缩为：“两个角的平分线平行”，由此得主词为“两个角的平分线”宾词为“平行”(2)主词的数量表达方法当主词的对象在数量上包含有“无数个”时，一般在主词前面加上“任意两个”或就写“两个”来表达这“无数个”如同角的余角可以有无数个，在改写时一般只需写成“同角的任意两个余角”，或写成“同角的两个余角”又如直角也有无数个，在改写时只需写成“任意两个直角”或“两个直角”(3)
8、改写方法把命题的主词连同它的修饰部分经过重新组织或添加一些词语写成“如果”部分，宾词写成“那么”部分，把它们连接成一个完整的句子，就得到改写成的命题2.文字语言与“图形语言”转换出现障碍【例 2】对命题：“同角的补角相等”画图，并写出已知、求证(不证明)误解 如图 1已知：AOB 与COD 是同角，BOE 是AOB 的补角，DOF 是COD 的补角求证：BOE=DOF- 4 -正解如图 2已知：CPD 是AOB 的补角，EQF 是AOB 的补角求证：CPD=EQF剖析与指导这类题目不仅要求分清命题的题设和结论，而且要求能够把文字叙述的命题正确地“翻译”为图形和符号语言这两方面都是困难的尤其是“
9、翻译”-图形化、符号化，更是练习中的主要障碍但这也正是继续学习几何的基础和必备的技能对于把文字命题“翻译”成图形，与前面所提及的“读句画图”问题是一致的把文字命题“翻译”成符号语言表示，即用已知、求证表示出来，一般分为两个步骤完成：(1)按照题意，画出图形；(2)分清命题的题设和结论，然后结合图形，用符号语言写成已知、求证在“已知”项中写出题设，在“求证”项中写出结论误解中的错误主要是在画图时把“同角”理解成等角，并且把一个角的补角画成邻补角，变成了与原命题意义不同的“新”命题了3.证明时推理依据不准确学习几何，必须学会证明，初学几何证明，往往会出现推理根据颠三倒四，拿着题设当结论，推理过程不
10、严谨，甚至是错误的现象，现将其常见错误剖析几例，以期达到“治病”或“预防”之目的。【例 3】 已知：1+ 2=180求证：3=4。【错证】：1+2=180(已知)； l 1l 2(两直线平行，同旁内角互补)3=4(同位角相等，两直线平行)【剖析与指导】错证推理依据不对，其实质是混淆了平行线的判定与性质。正确的证明方法如下：1+2=180(已知)；- 5 -l 1l 2(同旁内角互补，两直线平行)3=4(两直线平行，同位角相等)四、中考热点透视纵观近几年来全国各地的中考试题，涉及本章内容的常见题型有：填空题、选择题、作图题、计算题、证明题作为基础知识在综合题中也时有出现主要考查的内容有真命题和假
11、命题的判定，平行线的判定和性质，三角形内角和定理及其外角定理由于几何的推理论证是训练逻辑思维能力的基本手段之一，因此本章内容显得十分重要例 1（2006 安徽中考题）如图，直线 ab，点 B 在直线 b 上，且 ABBC,155 ，则2 的度数为 （ ）A.35 B.45 C.55 D.125解析：本题主要考察平行线的性质.直线 ab（已知） ，13（两直线平行，内错角相等）155 （已知）3155 。ABBC（已知） ，ABC90（垂直定义）又2ABC1180235（等式的性质）.例 2（2006 黑龙江鸡西市中考题）如图，ABCD，B=68 0，E=20 0，则D 的度数为 .解析：ABC
12、D（已知）B=CFE=68 (两直线平行，同位角相等)而CFED+E（三角形内角和定理的推论）D682048。五、方法技巧总结- 6 -例 1 有大、小两个正方形，大正方形的一个顶点和小正方形的中心重合转动大正方形，重叠部分的形状会不断地变化问在转动过程中，重叠部分的面积会变化吗？解析 做这道题时，我们首先应该想象着或动手画一画，让大正方形在我们的眼前转起来，好像看到了重叠部分随着大正方形的转动而变化成不同的形状接着，我们又发现，在转动过程中，重叠部分永远是小正方形中的一部分，而且转动一周，重叠部分会变化出无数个不规则的四边形，还会出现四个正方形（图 1）和四个三角形（图 2）（在图中画一画，
13、看一看四个正方形和四个三角形分别出现在哪里，它们的面积是怎样的）最后，我们来看看那些不规则的四边形吧：在小正方形中过中心点画两条延长线（图中的虚线） ，于是，小正方形被分成了四部分（图 3） 很容易看出，这四部分的形状、大小是完全相同的，重叠部分的面积占小正方形的四分之一无论大正方形转到哪儿，重叠部分的面积永远占小正方形的四分之一，是不会变的.将一般的位置转换成特殊的位置情形，体现解题的技巧性和灵活性。例 2 如图 1，已知 ABCD，求证：BEDBD分析：题中有平行条件，由此联想到平行线的性质，想到它所对应的图形经对照发现，图中没有截 AB、CD 的线，所以我们要添截线方法 1：延长 BE 交 CD 于 F，如图 2 所示方法 2：延长 DE 交 AB 于 F，如图 3 所示方法 3：连结 BD，如图 4 所示方法 4：过 E 点任作一线交 AB 于 M、交 CD 于 N，如图 5 所示- 7 -许多几何题都是转化为我们熟悉的、简单的问题加以解决的在这个转化过程中，也常需要作辅助线如例中，如果将结论转化为BED-BD，这样我们又得到：方法 5：以 EB 为一边在BED 内部作BEFB，或过 E 点作 EFAB，如图 6 所示有些几何题目条件比较分散，条件与结论难于联系，这时往往需要巧妙地添辅助线，将条件加以集中，便于利用
