1、弹性力学,第六章 平面问题的基本理论,6-1 平面应力问题与平面应变问题 6-2 平衡微分方程 6-3 平面问题中一点的应力状态 6-4 几何方程 6-5 物理方程、胡克定律 6-6 边界条件 6-7 圣维南原理 6-8 按位移求解平面问题 6-9 按应力求解平面问题、相容方程 6-10 常体力情况下的简化、应力函数,2018/12/20,3,1.什么样的问题是平面问题？ （1）基本未知函数均是平面（x y面）内的物理量。 （2）这些未知函数仅为 x，y两变量的函数。 2.平面问题主要有那些类型？ （1）平面应力问题 （2）平面应变问题,6.1 平面应力问题与平面应变问题,6.1.1 平面应力
2、问题 1.定义设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面且不沿厚度变化的面力和体力；以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任意一直线为z轴；只有平行于xy面的三个应力分量 ，其他应力分量为零，且这三个应力分量和形变分量与位移分量不沿厚度变化，只是x，y的函数，这样的问题称为平面应力问题。,2018/12/20,4,6.1 平面应力问题与平面应变问题,2018/12/20,5,2.力学模型设薄板的厚度为t，以薄板的中面为坐标面，把厚度方向取作z轴建立坐标系oxy。,图 6-1,6.1 平面应力问题与平面应变问题,3.Z轴方向有关参量关系1.由于 时的板面上无外力作用，则边界条件成为:2.由于板
3、很薄，外力又不沿厚度变化，则板内各点的以上三个应力分量都极小，可以认为小到零的程度，即：,2018/12/20,6,6.1 平面应力问题与平面应变问题,6.1.2 平面应变问题 1.定义 设有很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力和体力；以任意横截面为xy面，任意纵线为z轴，则所有形变分量和位移分量都不沿z轴变化，只是x，y的函数；在此条件下，横截面内所有各点只会沿x和y方向移动，而不会有z方向的位移，这种问题称为平面位移问题，习惯上称为平面应变问题。例如厚壁圆筒、高压管道、水坝等就属于此类。,2018/12/20,7,6.1 平面应力问题与平面应变问题,2018/12/2
4、0,8,2.力学模型以柱体任一横截面为xOy平面，纵向为z轴，建立坐标系oxy。,图 6-2,6.1 平面应力问题与平面应变问题,3. Z轴方向的有关参量关系 由于z轴方向很长，一般认为从而可推导出根据胡克定律,2018/12/20,9,6.1 平面应力问题与平面应变问题,第六章 平面问题的基本理论,6-1 平面应力问题与平面应变问题 6-2 平衡微分方程 6-3 平面问题中一点的应力状态 6-4 几何方程 6-5 物理方程、胡克定律 6-6 边界条件 6-7 圣维南原理 6-8 按位移求解平面问题 6-9 按应力求解平面问题、相容方程 6-10 常体力情况下的简化、应力函数,1. 平衡微分方
5、程的推导（1）建立坐标系在薄板或柱形体中任取一正平行六面体微元（点P），它在x和y方向的尺寸分别为dx和dy，z方向为一个单位长度，即为1.,图 6-3,2018/12/20,11,6.2 平衡微分方程,（2）注意 1）在正负 x， y面上，应考虑到由于坐标增量而引起的应力的增量； 2）在推导任何基本方程时，通常都以正的物理量来表示，这样可以避免带负号物理量的运算。因此，图 6-3中的体力、应力都以正方向、正号表示； 3）在列平衡方程时应力和体力应分别乘以其面积和体积，才能得出其合力； 4）在导出平衡微分方程时，应用了两个基本假定：一是连续性假定；二是小变形假定。,2018/12/20,12,
6、6.2 平衡微分方程,（3）列方程当弹性体平衡时，P点的平衡就以微元体平衡表示。于是有三个平衡方程：1）证明剪力互等 根据力矩方程 则有：化简，略去高阶项，可得剪力互等,6-1,2018/12/20,13,6.2 平衡微分方程,2. 平衡微分方程 （纳维叶方程 ） 以x轴为投影轴，列出投影平衡方程 ，则有：同理可列出 。 两个投影方程化简后成为 ：,6-2,2018/12/20,14,6.2 平衡微分方程,对于上述平衡微分方程，说明几点 （1）平衡微分方程表示任一点（x，y）的平衡条件，（x，y）属于平面域 A，所以也代表 A 中所有点的平衡条件。 （2）平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连
7、续性和小变形假定。 （3）对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同。 （4）由于 ，以后只作为一个独立未知函数处理。因此，2个独立的平衡微分方程（6-2）中含有 3个应力未知函数。,2018/12/20,15,6.2 平衡微分方程,第六章 平面问题的基本理论,6-1 平面应力问题与平面应变问题 6-2 平衡微分方程 6-3 平面问题中一点的应力状态 6-4 几何方程 6-5 物理方程、胡克定律 6-6 边界条件 6-7 圣维南原理 6-8 按位移求解平面问题 6-9 按应力求解平面问题、相容方程 6-10 常体力情况下的简化、应力函数,1. 建模设x，y坐标面上一点P的应力分量为 如图
8、6-4a所示。在校核强度条件时，还需要求出通过此点的任一斜面上的应力。在P点附近取一个平面AB，它平行于该斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平面划出一个微小的三棱柱PAB，图6-4b。当面积AB无限减小而趋于P点时，平面AB上的应力就是P点在上述斜面上的应力。现设斜面上的全应力p可以分解为沿坐标向的分量 ，或沿法向和切向的分量 ，如图 6-4b所示。,2018/12/20,17,6.3 平面问题中一点的应力状态,图 6- 4,用n代表斜面AB的外法线方向，其方向余弦为：,2018/12/20,18,6.3 平面问题中一点的应力状态,2. 求斜面应力分量设斜面AB的长度为 ，则PB面及P
9、A面的面积分别为 ，而PAB的体积为 ，通过三角形微分体的平衡条件 ，可得：化简可得：,6-3,2018/12/20,19,6.3 平面问题中一点的应力状态,3. 斜面上的正应力和切应力计算 在法向和切向的投影，便得斜面上的正应力和切应力：将6-3式代入得：由式（6-4）及（6-5）就可以求得经过P点的任意斜面上的正应力 。,6-4,6-5,。,2018/12/20,20,6.3 平面问题中一点的应力状态,4. 斜面上的主应力和应力主向（1）定义经过P点某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为在P点的一个主应力，而该斜面称为在P点的一个应力主平面，该斜面的法线方向称为在P点的一个应力主
10、方向。（2）求主应力在一个应力主面上，由于切应力为零，全应力就等于该面上的正应力，也就等于主应力，因此，该面上的全应力在坐标轴上的投影成为：,2018/12/20,21,6.3 平面问题中一点的应力状态,联合式（6-3）解出比值,，即得：,于是可得的二次方程：,解本方程，可求得两个主应力为：,6-6,根据式（6-6）可以得到：,6-7,（a）,2018/12/20,22,6.3 平面问题中一点的应力状态,（3）求主应力方向 设 与x轴的夹角为 则：利用式（a）中的第一式，即得：同理，设 与x轴的夹角为 ，可得：,（b）,2018/12/20,23,6.3 平面问题中一点的应力状态,再利用式（6
11、-7），可得：,（c）,由式（b）及式（c）可有：,也就是说， 的方向与 的方向互相垂直，如图6-4a所示。,2018/12/20,24,6.3 平面问题中一点的应力状态,5. 求最大和最小的正应力与切应力 （1）最大和最小正应力如果已求得任意点的两个主应力 和 ，以及应力主向，就极易求得这一点的最大与最小的应力。为了简便，将x轴和y轴分别放在 和 的方向，于是有：,（d）,由式（6-4）及式（d）可得：,2018/12/20,25,6.3 平面问题中一点的应力状态,再利用关系 可得：从上式可以看出 的最大值为 而最小值为 ，这就是说，两个主应力也就是最大值与最小值的正应力。,2018/12/
12、20,26,6.3 平面问题中一点的应力状态,（2）最大和最小剪应力 按照式（6-5）及式（d），任意斜面上的切应力为：,2018/12/20,由上式可见，当,时,为最大值或最小值，于是得,，而最大值与最小值的切应力为,x轴及y轴（即应力主向）成450的斜面上。,，发生在与,27,6.3 平面问题中一点的应力状态,第六章 平面问题的基本理论,6-1 平面应力问题与平面应变问题 6-2 平衡微分方程 6-3 平面问题中一点的应力状态 6-4 几何方程 6-5 物理方程、胡克定律 6-6 边界条件 6-7 圣维南原理 6-8 按位移求解平面问题 6-9 按应力求解平面问题、相容方程 6-10 常体
13、力情况下的简化、应力函数,1. 几何方程推导（1）建立坐标系在弹性体内取任一点P（x，y）作两个沿正标向的微分线段 PA，PB，并标出它们在变形后的位置 ，如图 6-5所示。,图 6-5,2018/12/20,29,6.4 几何方程,（2）正应变根据图6-5，可推得PA和PB的正应变：,2018/12/20,30,6.4 几何方程,（3）剪应变求线段PA与PB之间的直角改变，即剪应变 。由图可知，这个剪应变是由两方面组成的：一部分是y方向的位移 引起的，即x方向的线段PA的转角 ；另一部分是由x方向的位移 引起的，即y方向的线段PB的转角 。线段PA的转角是：,2018/12/20,31,6.
14、4 几何方程,同样，可得线段PB的转角是：,于是，PA与PB之间的直角改变（以减小为正），即剪应变为：,这样就得到了平面问题中的简化的几何方程（柯西方程）：,6-8,2018/12/20,32,6.4 几何方程,2. 几点说明 几何方程表示任一点的微分线段上形变分量与位移分量之间的关系式。 几何方程也是从微分角度导出的，并且应用了连续性和小变形两个基本假定。因此，其适用的条件是，只要求符合连续性和小变形假定。 对于平面应力问题和平面应变问题，几何方程相同。 如果物体的位移确定，则形变完全确定。 当物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定。,2018/12/20,33,6.4 几何方程,第六章
15、平面问题的基本理论,6-1 平面应力问题与平面应变问题 6-2 平衡微分方程 6-3 平面问题中一点的应力状态 6-4 几何方程 6-5 物理方程、胡克定律 6-6 边界条件 6-7 圣维南原理 6-8 按位移求解平面问题 6-9 按应力求解平面问题、相容方程 6-10 常体力情况下的简化、应力函数,34,1. 胡克定律在完全弹性的各向同性体内，材料力学中的广义胡克(Hooke)定律表达式为：,6-10,2018/12/20,35,6.5 物理方程、胡克定律,式中：E杨氏(Young)弹性模量，又称拉压弹性模量，简称弹性模量；G 剪切弹性模量，又称刚度模量；,横向收缩系数，又称泊松(Poiss
16、on)比。,这三个弹性常数之间有如下关系：,6-11,注意：这三个弹性常数只有在物体是完全弹性体、均匀的、各向同性的假设条件下才是不变量。,2018/12/20,36,6.5 物理方程、胡克定律,2.平面应力问题的物理方程 在平面应力问题中，已知：所以式6-10可写成：,2018/12/20,37,6.5 物理方程、胡克定律,因此平面应力问题中的物理方程可表示成：,6-12,可用来求薄板厚度的改变。,2018/12/20,38,6.5 物理方程、胡克定律,3. 平面应变问题的物理方程 在平面应变问题中，已知：于是由式6-10的第三式得：,将上式代入式6-10第1式及第2式，并注意式6-12第三
17、式仍然 适用，得平面应变问题的物理方程：,6-13,2018/12/20,39,6.5 物理方程、胡克定律,4. 通过两种平面问题的对比，可得如下结论： 所有应力（3个应力分量）、应变（3个形变分量）和位移（2个位移分量）分量均为坐标x，y的函数，与坐标z无关； 独立的应力分量均为 ，故两者具有相同的平衡微分方程（2个平衡微分方程）； 独立的应变分量均为 ，故两者具有相同的几何方程（3个几何方程）； 若令 ，则两者的物理方程（3个物理方程）的形式相同。,2018/12/20,40,6.5 物理方程、胡克定律,第六章 平面问题的基本理论,6-1 平面应力问题与平面应变问题 6-2 平衡微分方程
18、6-3 平面问题中一点的应力状态 6-4 几何方程 6-5 物理方程、胡克定律 6-6 边界条件 6-7 圣维南原理 6-8 按位移求解平面问题 6-9 按应力求解平面问题、相容方程 6-10 常体力情况下的简化、应力函数,1. 边界条件的分类（1）位移边界条件（2）应力边界条件（3）混合边界条件 2. 位移边界条件 设在部分边界 上给定了约束位移分量 和 ，则有：位移边界条件实质上是变形连续条件在约束边界上的表达式。,6-14,2018/12/20,42,6.6 边界条件,3. 应力边界条件 设在 部分边界上给定了面力分量 ，我们可以将图6-4b的三角形微分体移到边界上，使AB为边界面，并在
19、边界面上用面力代替应力 和 ，再考虑其平衡条件，从而得出边界点的微分体上坐标面的应力与边界面上的面力之间的关系式：,6-15,2018/12/20,43,6.6 边界条件,4. 注意的几点（1）应力边界条件表示边界 上任一点的应力和面力之间的关系式。这也是函数方程，在 上每一点都应满足。（2）式（6-3）表示区域内任一点的斜面上应力 与坐标面上应力 之间的关系式，适用于区域内任一点。而边界条件（6-15）只能应用于边界上，因此，必须将边界线s的方程代入式（6-15）的应力表达式中。,2018/12/20,44,6.6 边界条件,（3）注意式（6-15）中的面力、应力都有不同的正负符号规定，且分
20、别作用于通过边界点的不同的面上。方向余弦 则按三角公式确定正负号。（4）在导出应力边界条件时，只考虑到一阶微量。体力项是二阶微量，因此没有出现。（5）在平面问题中，位移边界条件和应力边界条件都是两个，分别表示x向和y向的条件。应力边界条件是边界点上微分体的平衡条件，也属于静力学条件。,2018/12/20,45,6.6 边界条件,5. 混合边界条件在平面问题的混合边界条件中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，可用6-14式表示；另一部分边界则具有已知面力，因而具有应力边界条件，可用6-15式表示。此外，在同一部分边界上还可能出现混合边界条件。,2018/12/20,46,6.
21、6 边界条件,第六章 平面问题的基本理论,6-1 平面应力问题与平面应变问题 6-2 平衡微分方程 6-3 平面问题中一点的应力状态 6-4 几何方程 6-5 物理方程、胡克定律 6-6 边界条件 6-7 圣维南原理 6-8 按位移求解平面问题 6-9 按应力求解平面问题、相容方程 6-10 常体力情况下的简化、应力函数,1.圣维南原理如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量和主矩相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计，即局部效应原理。2.原理中的注意点（1）变换后的面力必须与原面力静力等效;（2） “近处”一般地讲大约是变换面力
22、的边界的 12倍范围内；而此范围之外，可以认为是“远处”。,2018/12/20,48,6.7 圣维南原理,3.圣维南原理的应用在图 6-8中 ，由于 ，左右两端是小边界。按照式（6- 15），在右端边界面上，严格的边界条件要求：,图 6- 8,（a）,这是很难满足的，因为要求在 的边界上每一点上，应力都与对应的分布面力相等。,2018/12/20,49,6.7 圣维南原理,在此小边界上应用圣维南原理，具体表达式为：,（b）,（1）在小边界上应力的主矢量和主矩的数值应当等于相应面力的主矢量和主矩的数值； （2）面力的主矢量和主矩的方向就是应力主矢量和主矩的方向。,式（b）表示：,2018/12
23、/20,50,6.7 圣维南原理,4.式（a）与式（b）相比（1）式（a）是精确的，而式（b）是近似的；（2）式（a）有两个条件，一般为两个函数方程；而式（b）有三个积分条件，均为代数方程。（3）在求解时，式（a）难以满足，而式（b）易于满足。,2018/12/20,51,6.7 圣维南原理,第六章 平面问题的基本理论,6-1 平面应力问题与平面应变问题 6-2 平衡微分方程 6-3 平面问题中一点的应力状态 6-4 几何方程 6-5 物理方程、胡克定律 6-6 边界条件 6-7 圣维南原理 6-8 按位移求解平面问题 6-9 按应力求解平面问题、相容方程 6-10 常体力情况下的简化、应力函
24、数,2018/12/20,53,1. 求解平面问题的一般过程通过前面的学习，已对平面应力问题和平面应变问题建立了如下三套基本方程：,（1）平衡微分方程,6-2,6.8 按位移求解平面问题,（2）几何方程,6-8,2018/12/20,54,6.8 按位移求解平面问题,（3）物理方程,平面应力中的物理方程：,6-12,平面应变中的物理方程：,6-13,2018/12/20,55,6.8 按位移求解平面问题,2018/12/20,56,（4）边界条件,位移边界条件：,6-14,应力边界条件：,6-15,各方程组中有3个应力分量、3个形变分量及2个位移分量的未知函数，这些函数通过基本方程、边界条件采
25、用消元法进行求解。,6.8 按位移求解平面问题,2. 按位移求解平面问题其实质是：以位移分量 作为基本未知数，通过微分方程和边界条件求出位移分量，用几何方程求出应变分量，再用物理方程求出应力分量的过程。,（1）首先平衡微分方程用位移分量表示,1）将物理方程式改成由应变表示应力分量,6-16,2018/12/20,57,6.8 按位移求解平面问题,2018/12/20,58,2）将几何方程代入，用位移分量来表示应力分量,6-17,3）再代入平衡微分方程化简，即得微平衡方程,6-18,6.8 按位移求解平面问题,（2）边界条件用位移分量表示1）将式6-17代入应力边界条件6-15，化简得：2）位移
26、边界条件仍然如式（6-14）所示 。,6-19,2018/12/20,59,6.8 按位移求解平面问题,3. 按位移求解平面应力问题时的解题过程 （1）位移分量在区域内满足微分方程； （2）在边界上满足位移边界条件或应力边界条件； （3）求出位移分量以后，用几何方程求得形变分量； （4）再用式（6-17）求得应力分量。 （5）平面应变问题和平面应力问题相比，除了物理方程不同外，其他方程都相同。只要将上述各方程和边界条件中的，就可得出平面应变问题按位移求解的方程和边界条件。,2018/12/20,60,6.8 按位移求解平面问题,4. 应用位移法求解平面问题的优缺点（1）优点位移法是弹性力学的一
27、种基本解法，能适应各种边界条件的弹性力学问题求解，在近似数值解法中有着广泛的应用。 （2）缺点求解过程比较复杂，在求解位移函数时，往往遇到很大的困难，目前已得出的函数解答很少。,2018/12/20,61,6.8 按位移求解平面问题,第六章 平面问题的基本理论,6-1 平面应力问题与平面应变问题 6-2 平衡微分方程 6-3 平面问题中一点的应力状态 6-4 几何方程 6-5 物理方程、胡克定律 6-6 边界条件 6-7 圣维南原理 6-8 按位移求解平面问题 6-9 按应力求解平面问题、相容方程 6-10 常体力情况下的简化、应力函数,1. 按应力求解的一般过程 （1）取 作为基本未知函数；
28、 （2）将三套方程中的未知量用应力函数表示；三套方程中只有几何方程不是用应力表示的。因此，将几何方程中位移分量消除，并用应力分量表示即可。,2018/12/20,63,6.9 按应力求解平面问题、相容方程,1）相容方程的推导考察几何方程：,将,对y的二阶导数和,对x的二阶导数相加，得：,即：,（6-20）,上式称为变形协调方程或相容方程。它表示在连续假定条件下，,形变分量,不是互相独立的，而是相关的，否则,不存在。,2018/12/20,64,6.9 按应力求解平面问题、相容方程,2）相容方程用应力分量表示,a.对于平面应力问题，将物理方程6-12代入6-20，得：,（a）,b.利用平衡微分方
29、程，可以消去式(a)中的剪应变。为此，将平面问题的平衡方程6-2写为：,（b）,2018/12/20,65,6.9 按应力求解平面问题、相容方程,c. 将（b）式的第1式对x求导，第二式对y求导，然后相加，并利用 ，得：将式（c）代入a，化简以后，得：,2018/12/20,66,（c）,（6-21）,6.9 按应力求解平面问题、相容方程,或,（ 6-21 ）,其中,符号代表,称为拉普拉斯（Laplace）算子。,上式为以应力表示的相容方程，或变形连续方程。,对于上述推导为应力问题的求解，而对于平面应变问题的,求解只需要将 式（6-21）中,用,代换后即可得出,平面应变问题的相容方程，即：,（
30、 6-22 ）,2018/12/20,67,6.9 按应力求解平面问题、相容方程,（3）边界条件在按应力求解平面问题时，由形变分量去求位移分量须要通过积分。使得位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。所以在按应力求解时，我们通常只考虑全部为应力边界条件的问题。即：综上，按应力求解平面问题时，只需要 满足微平衡方程（6-2）、相容方程（6-21）和边界条件（6-15），便可求得区域内的解。,2018/12/20,68,（ 6-15 ）,6.9 按应力求解平面问题、相容方程,2. 单连体和多连体的概念由于按应力求解平面问题时涉及到积分问题，因此，对于工程物体还有单连体和多连体之分。在求解问
31、题时，对于多连体还要运用“位移单值条件”才能完全确定应力分量。单连体： 即对于在物体内所作的任何一根闭合曲线，都可以使它在物体内不断收缩而趋于一点，此种物体成为单连体，反之为多连体。,2018/12/20,69,6.9 按应力求解平面问题、相容方程,3. 形变协调条件的物理意义 （1）是连续体中位移连续性的必然结果。（2）是形变对应的位移存在且连续的必要条件。当形变分量满足了形变协调条件后，我们就能求出对应的位移分量，也就是说，对应的位移存在而且必然连续。反之，不满足形变协调条件的形变分量，不是物体中实际存在的，也求不出对应的位移。,2018/12/20,70,6.9 按应力求解平面问题、相容
32、方程,第六章 平面问题的基本理论,6-1 平面应力问题与平面应变问题 6-2 平衡微分方程 6-3 平面问题中一点的应力状态 6-4 几何方程 6-5 物理方程、胡克定律 6-6 边界条件 6-7 圣维南原理 6-8 按位移求解平面问题 6-9 按应力求解平面问题、相容方程 6-10 常体力情况下的简化、应力函数,1. 常体力情况下的简化 在很多的工程问题中，体力是常量，即体力分量不随坐标而变。因此，相容方程为：,（ 6-23 ）,应当满足拉普拉斯微分方程，即,是调和函数。,因此，在平衡微分方程（6-2）及相容方程（6-23）中，只包括,三个未知数，利用这三个方程及应力边界条件,（6-15）就
33、可以进行解题。,2018/12/20,72,6.10 常体力情况下的简化、应力函数,2. 简化适用的条件 （1）体力为常量，则相容方程可以简化； （2）全部边界上均为应力边界条件，没有位移边界条件； （3）弹性体为单连体，位移单值条件自然满足，不必再校核。,2018/12/20,73,6.10 常体力情况下的简化、应力函数,3. 满足上述条件解的特点 解出的应力分量均与材料弹性常数无关，因此有下列结论： 1.对于不同的材料，这三个应力分量的理论解答相同；在用试验方法求应力时，也可以用不同的模型材料来代替。 2.对于平面应力和平面应变问题，这三个应力的解答相同，即理论解可以互相通用；在模型试验时
34、，可以用平面应力问题的模型代替平面应变问题的模型，使模型的制作和加载大为简化。,2018/12/20,74,6.10 常体力情况下的简化、应力函数,4. 平面问题的应力函数方法 在常体力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量 应满足平衡微分方程和相容方程 ：弹性力学平面问题的应力函数方法，就是引入一个自然满足平衡微分方程的应力函数，使得三个变量都可由一个应力函数决定。,。,(a),(b),2018/12/20,75,6.10 常体力情况下的简化、应力函数,（1）应力函数平衡微分方程，是一个非齐次微分方程组，它的全解应包括两个部分，即非齐次方程的特解和齐次方程的通解。其特解可用试凑法求得，
35、可以取为：齐次方程为：下面来研究齐次方程（d）的通解。根据微分方程理论，偏导数具有相容性。若设函数 ，则有：,(c),(d),2018/12/20,76,6.10 常体力情况下的简化、应力函数,假如函数C和D满足下列关系式：,那么对照上式，一定存在某一个函数f，使得：,2018/12/20,77,6.10 常体力情况下的简化、应力函数,为了求得齐次微分方程(d)的通解，将其中第一式改写为：根据上述微分方程理论，这就一定存在某一个函数A（x，y）使得：,(e),2018/12/20,78,6.10 常体力情况下的简化、应力函数,(f),同样将式（d）的第二式改写为,可见也一定存在某一函数B（x，
36、y），使得：,(g),(h),2018/12/20,79,6.10 常体力情况下的简化、应力函数,由式（f）及（h）可得：此式把函数 联系起来了。因而艾瑞引进应力函数 ，它的全微分 ，于是有：,(i),(j),2018/12/20,80,6.10 常体力情况下的简化、应力函数,将式（i）代入式（e），式（j）代入式（g），并将式（i）,代入式（f），即得通解为 ：,（k）,代入平衡方程（d），可知恒满足。,将齐次方程的通解（k）与任一组特解，例如与特解（c）叠加，,便得到非齐次方程的全解：,（ 6-24 ）,2018/12/20,81,6.10 常体力情况下的简化、应力函数,不论函数 取成什么
37、形式，应力分量（6-24）总能满足平衡微分方程（a）。 称为平面问题的应力函数，或称为艾里应力函数。 （2）相容方程的应力函数表示通过微分方程求得的应力分量式（6-24）还需要满足相容方程（6-23）。将式6-24代入6-23，得：,2018/12/20,82,6.10 常体力情况下的简化、应力函数,在体力为零或为常量时，上式简化为：若用拉普拉斯算子表示，则为：式中 表示：,（ 6-25 ）,2018/12/20,83,6.10 常体力情况下的简化、应力函数,称为双调和算子。方程（6-25）称为双调和方程。在常体力的情况下，平面问题的应力分量可用应力函数 来表示，而函数 必须满足双调和方程，即
38、 为双调和函数。总结：在常体力的情况下，弹性力学平面问题中存在着一个应力函数 。按应力求解平面问题，可归纳为求解一个应力函数 。,2018/12/20,84,6.10 常体力情况下的简化、应力函数,弹性力学,机电工程学院 陈涛 ,7-1 多项式解答,7-2 位移分量的求出,7-3 简支梁受均布载荷,7-4 楔形体受重力和液体压力,7-5 级数式解答,7-6 简支梁受任意横向载荷,第七章 平面问题的直角坐标解法,7.1 多项式解答,87,2018/12/20,结论：应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力（设 ）或均布压力（设 ）的问题。如图7-1（a）。,图7-1,（a）,（b）,（c）,88
39、,2018/12/20,3.应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力（设 ）或均布压力（设 ）的问题。如图7-1（c）。,三、应力函数取三次多项式,对应的应力分量：,结论：应力函数（a）能解决矩形梁受纯弯曲的问题。如图7-2所示的矩形梁。,（a）,89,2018/12/20,具体解法如下:,如图7-2,取单位宽度的梁来考察,并令每单位宽度上力偶的矩为 。这里 的因次是力长度/长度，即力。,在左端或右端，水平面力应当合成为力偶，而力偶的矩 ，这就要求：,前一式总能满足，而后一式要求：,代入式（a），得：,将式（a）中的 代入，上列二式成为：,90,2018/12/20,因为梁截面的惯矩是 ，所以
40、上式可改写为：,结果与材料力学中完全相同。,注意：,对于长度 远大于深度 的梁，上面答案是有实用价值的；对于长度 与深度 同等大小的所谓深梁，这个解答是没有什么实用意义的。,91,2018/12/20,7-1 多项式解答,7-2 位移分量的求出,7-3 简支梁受均布载荷,7-4 楔形体受重力和液体压力,7-5 级数式解答,7-6 简支梁受任意横向载荷,第七章 平面问题的直角坐标解法,以矩形梁的纯弯曲问题为例，说明如何由应力分量求出位移分量。,一、平面应力的情况,将应力分量 代入物理方程,7.2 位移分量的求出,93,2018/12/20,得形变分量：,（a）,再将式（a）代入几何方程：,得：,
41、前二式积分得：,（b）,（c）,其中的 和 是任意函数。将式（c）代入（b）中的第三式,94,2018/12/20,得：,等式左边只是 的函数，而等式右边只是 的函数。因此，只可能两边都等于同一常数 。于是有：,积分以后得：,代入式（c），得位移分量：,其中的任意常数 、 、 须由约束条件求得。,（d）,95,2018/12/20,（一）简支梁,梁轴的挠度方程：,96,2018/12/20,（二）悬臂梁,二、平面应变的情况,只要将平面应力情况下的形变公式和位移公式中的 换为 ， 换为 即可。,97,2018/12/20,7-1 多项式解答,7-2 位移分量的求出,7-3 简支梁受均布载荷,7-
42、4 楔形体受重力和液体压力,7-5 级数式解答,7-6 简支梁受任意横向载荷,第七章 平面问题的直角坐标解法,7.3 简支梁受均布载荷,设有矩形截面的简支梁，深度为 ，长度为 ，受均布载荷 ，体力不计，由两端的反力 维持平衡。如图7-4所示。取单位宽度的梁来考虑，可视为平面应力问题。,用半逆解法。假设 只是 的函数：,则：,对 积分，得：,解之，得：,其中， 、 是任意函数，即待定函数。,（a）,（b）,99,2018/12/20,现在考察，上述应力函数是否满足相容方程。为此，对 求四阶导数：,将以上结果代入相容方程，得：,100,2018/12/20,101,2018/12/20,这些应力分
43、量满足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部应力边界条件都满足，除非常数 、 等于特定值，这样以上应力分量才是正确的解答。,因为 面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于 yz面。这样， 和 应当是 的偶函数，而 应当是 的奇函数。于是由式（f）和（h）可见：,102,2018/12/20,整理，得：,由于这四个方程是独立的，互不矛盾的，而且只包含四个未知数，所以联立求解，得：,103,2018/12/20,104,2018/12/20,将式 （l）代入，上式成为：,105,2018/12/20,式（q）可以改写为：,各应力分量沿铅直方向的变化大致如图7-5所示。,在 的表达式中，第一项是主
44、要项，和材料力学中的解答相同，第二项是弹性力学提出的修正项。对于通常的浅梁，修正项很小，可以不计。对于较深的梁，则需注意修正项。,的最大绝对值是 ，发生在梁顶。在材料力学中，一般不考虑这个应力分量。 和材料力学里完全一样。,106,2018/12/20,7-1 多项式解答,7-2 位移分量的求出,7-3 简支梁受均布载荷,7-4 楔形体受重力和液体压力,7-5 级数式解答,7-6 简支梁受任意横向载荷,第七章 平面问题的直角坐标解法,7.4 楔形体受重力和液体压力,设有楔形体,如图7-6a所示，左面铅直,右面与铅直角成角 ，下端无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为 ，液体的密度为 ，试求
45、应力分量。,问题：,图7-6,（a）,（b）,108,2018/12/20,取坐标轴如图所示。假设应力函数为：,109,2018/12/20,110,2018/12/20,111,2018/12/20,7-1 多项式解答,7-2 位移分量的求出,7-3 简支梁受均布载荷,7-4 楔形体受重力和液体压力,7-5 级数式解答,7-6 简支梁受任意横向载荷,第七章 平面问题的直角坐标解法,7.5 级数式解答,113,2018/12/20,将式（c）与（d）叠加，得：,其中 、 、 、 也都是任意常数。,（d）,114,2018/12/20,115,2018/12/20,这些应力分量满足平衡微分方程和
46、相容方程。如果能够选择其中的待定常数 、 、 、 、 、 、 、 、 、 或再叠加以满足平衡微分方程和相容方程的其它应力分量表达式，使其满足某个问题的边界条件，就得出该问题的解答。,116,2018/12/20,7-1 多项式解答,7-2 位移分量的求出,7-3 简支梁受均布载荷,7-4 楔形体受重力和液体压力,7-5 级数式解答,7-6 简支梁受任意横向载荷,第七章 平面问题的直角坐标解法,7.6 简支梁受任意横向载荷,图7-7,118,2018/12/20,119,2018/12/20,应力分量简化为：,（1）,120,2018/12/20,代入边界条件（b）和（a），得：,由此可以得出求
47、解系数 、 、 、 的方程。,121,2018/12/20,122,2018/12/20,123,2018/12/20,7-1 多项式解答,7-2 位移分量的求出,7-3 简支梁受均布载荷,7-4 楔形体受重力和液体压力,7-5 级数式解答,7-6 简支梁受任意横向载荷,第七章 平面问题的直角坐标解法,例题,例题1设有矩形截面的竖柱，其密度为 ，在一边侧面上受均布剪力 ，如图1，试求应力分量。,125,2018/12/20,126,2018/12/20,127,2018/12/20,（1） 中的 不能略去，因为 对剪应力有影响。 （2）在上端部，首先应使应力分量精确满足边界条件，如不能，则可运用圣维南原理放松满足。本题 能精确满足，因此， 在此处是精确解，而 在上端部是近似解。 （3）若设 ，则导出的应力函数 和应力分量为：,4.分析：,（5）,常数确定后代入式（7），所得结果与式（5）相同。,128,2018/12/20,例题2 如图2（a），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为 ，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。,129,2018/12/20,3.分析：本题的应力函数可用量纲分析方法得到，此函数亦可用来求解上边界受线形载荷 作用的问题，见图2（b）。,130,2018/12/20,解： 将 代入相容条件，得：,满足双调和方程，因此，可作为应力函数。将 代入相容条件得,
