1、6.1 一长为 质量为 的匀质棒，斜靠在固定的半球形碗的边缘，一端置于碗0lm内，如图。已知碗是光滑的，半径为 ；棒在碗内的长度为 。用虚功rl(2)r原理证明棒的全长为 。204()l解：如右图所示，取定 。依几何关系知：,42依余弦定理：2sincos()*lr 知：杆的势能： 0 0icssin()cos42l lVmgmgr因静平衡，应用虚功原理得： oi0dV得： 两边平方并代入 可解得：0cos()sin42lr*20()lr6.2 用绳子等距离地在定点 O 处悬挂两个相同的匀质球，两球之上另放置一相同的球体，如图。已知分别悬挂两球的绳长都是 。用虚功原理求出 角与 角l之间的关系
2、。解：依受力分析知 tan2TmgF且： (cos)(cos2)(sin)TWllrFliii2coggmgl则：依虚功原理达到平衡时有：3sin2cosTmlFl3sintas0ll可得： tat6.3 用轻质橡皮圈捆扎三个置于光滑水平桌面上的相同球体，捆扎的高度与还需心的高度相同。将第四个同样的球体置于三球之上。由虚功原理求出橡皮圈中的张力。已知每个球体的重量为 。P解：如右图所示。取三个桌面上球的球心所在面，及四球心立体结构可分析得： 202634;3tdrhr皮周长： ld24hr依虚功原理： 234TThWmghFlgFr则依: 代入： 得：2304Thr 0263tr6183TgF
3、m6.4 一弹性绳圈，它的自然长度为 ，弹性系数为 ，单位长度质量（线密度）0lk为 。将此弹性圈套在一半径为 的光滑球面上，弹性圈因自重而下0(2)Rl滑。用虚功原理法语出平衡时弹性绳圈对球心所张的角度为 应满足的方程。解：易知：绳伸长量 以 O 为参照点，高度为：0sinxlcoshRWmghk0 0(2sin)2csglkl:20 0sinsicolRRl化简得： 002collk6.5 一半径为 的半球形碗内装有两个质量分别为 和 的球体，它们的半径1m2同为 （ ） 。用虚功原理求出这两个球体在碗中平衡时它们的连心线与水r2R平线间的夹角解：如右图所示，以 o 为参照点，取 ， 与水
4、平线角为21O21则有： 1 2()cs(),()cos()OhrhRr121 2in()sin()OWmgmgmgRr 则： 2()sin()s()Rr1122tatantatanco0代入 22tan()rrRR得： 12ttanm12()arctnmrR6.6 一轻杆长为 ，一端光滑铰链于固定点 O，另一端点及中点分别焊接有质2l量为 和 的小球。杆可在铅直平面内绕固定点摆动。写出此力学 系统的拉m格朗日函数，并求出其作微小摆动时的周期。解：以 O 为参照点，取杆与竖直方向夹角为 。则有：222cos(cos)()cos14mVglglmglTJ 拉氏函数： 2()csLll解拉氏方程：
5、 ()(4)2in0dmgt 微振动，取近似 ， 得：sin:l积分: （A，B 为积分常数）2co()4gAtl则： mTl周 期6.7 一半径为 质量为 的圆柱形轱辘，其轴线沿水平方向。轱辘上绕有长为r的轻绳，绳的自由端系一质量为 的重物。初始时绳子完全绕在轱辘上，体l系静止。尔后重物下落带动轱辘转动。写出此力学系列化的拉格朗日函数，并求出绳子完全释放时轱辘转动角速度的大小。解：如右图，取 为转过的角度， 为下降的距离。有： 。xxr取 O 为参照点： Vmgr221oTJm则： 24LVrg2()()0dLrt得： 积分得：dmgr 2()mr当完全释放（ ）时：Lr2Lrl6.8 上题
6、中，如果绳子具有弹性，弹性势能为 ， 为绳子的伸长证明重物2ks的运动为维持恒定的加速运动上附加一角频率为 的振动。其中m。求出此种振动的振幅。设初始时绳子完全绕在轱辘上，体系2k静止，尔后释放解：参数同上题，则可得: ; ;xsr2ksVmgx2214ksTr则： LTV22214mrsr222ksrmgsr可得：210dLsrtmsrkgs即： 积分得： 02krJssg 224400cosgstkrkrJJ式中 故： 2mxsr22 24 4cosgkkgtkm即得恒定加速度值： 振动角频率:2ma 2mk振幅： 242gkgA6.9 力学系统如图所示。二滑轮为相同的圆盘，半径为 质量为
7、 。悬挂的重物rm质量分别为 和 ，且 。初始时系统静止（1）导出此力学系列1m22mg化的运动微分方程；（2）分别求出两重物下降的速度与重物下落距离 之间的h关系。解：如右图。依几何关系知： 得：120myl120mly取 作广义坐标有：1my 211Vggl1212omTT211 1222 2mmmyyJJyrr 21876y可得： LTV2 200112111 2m my llygg可得： 222 12187mmyd mty即得系统运动的微分方程： 2124()mg再对其进行第一积分： 222()mmdyy可积得：22112121224()87()mmghym6.10 一质量为 ，半径为
8、 的小圆住体，置于一半径为 R 的大圆柱面的内侧作r纯滚动。写出小圆柱体的拉格朗日函数，并求出在最低点附近小圆柱体作微小振动时的周期解：以 O 为参照点： 2222()cos133()()4VmgRrTJRrmr:则： 23()()cos4LVRrgr() in0dmRt得： 即：2sin3()gAtBRr23()RrTg6.11 一质量为 ，半径为 的小圆柱体，放在半径为 的另一大圆柱体上，大圆柱体 则置于粗糙的水平面上。两柱体的轴相互平等，质心在同一竖直平面内，初始时力学系统静止。若以初始时大圆柱体的质心为固定坐标系的坐标原点，证明此后的任意时刻小圆柱体的质心坐标为(3)sin(),()c
9、osmmxRryr解：由于纯滚动则： 得：Cr2 22cossinCRr 22 cosrRr有： LTV2 222311()4()4CmRrmg1(cos)(1cos)(rgRr则： 23()02LmRnt得： sin()(r所以： (3)sin)si ()mmxRRr()cosmyRr点评：其实此类题用能量变分法有时更简单（对 或关于 变量的变分为零） 。tt此题中： 。()0dETV6.12 小球 1 和小球 2 的质量分别为 和 ，用绳子相连，绳子穿过光滑水平1m2桌面上的小孔。小球 1 在桌面上运动，小球 2 则垂直悬挂在桌面下。写出此力学系的拉格朗日函数和所有的第一积分。设绳长为 。
10、l解：设 到孔的距离为 。以孔为参照点有：1mr（此式中用到 ）2211()Tmr 12r2Vgl2211()()Lrmglr（1）L 中不含积分 ，循环积分：0L（2）能量表达式中不含 ，能量积分：t22110()()()tdTVEmrmglr 6.13 长为 ，质量为 的匀质棒，两端分别用长都为 的轻绳垂直悬挂。今若2l s突然将其中一根绳子剪断，用拉格朗格日方程求出棒下落的运动微分方程。解：参量及坐标如右图所示。则：(cos)sin()siCrljl221CTmrJ22222 1(sincos)(cso)613ll mll故：(cos)VmglLTV221cos()(cos)3lmlgl
11、得拉氏方程：()0dLt微分方程为：2 2cos()sin()sin043mslmlgm6.14 一半径为 ，质量为 的圆环，用三根长度都为 的无弹性轻绳在等弧点r l处水平悬挂，成一扭摆，如图所示。求此扭摆绕中心铅直轴扭转的微振动周期T。解：易分析得： LTV（用到 ）2 2211(cos)mlglmlgl 2cos1:得： 2()0dLllt cs()gAtBl2lTg6.15 如图所示的耦合摆，若两摆锤的质量不同，分别为 和 。求此耦合摆的m本征频率。初始条件为 时， ，仅第一个摆有微小偏移 ，0t0,0 0求第二个摆可能达到的最大摆幅。当第二个摆的摆动最大时，第一个摆的摆幅是否为零？解
12、：22()lTm2011cos(cos)()Vgl ks()insilj经泰勒展开： 222()()mkl关于 与 的拉氏方程为： 令 LTV0()gklmitAe代入得： 22()0()gkkAlml， 有解的条件：A 220gkklmgl可解出： 2(),gkml且： 。则 与 通解为：(1,)(3,4)(,2)(,)AA1234ititititititititeeAme 式中 (),gkll代入 时， 可解出：0t0,012340,()2()mmAA且令： ,B则：0 02sin(cos)cos()ABABABtmtt t第二个摆的最大摆幅： 0max2此时： 则有：sin1,csABA
13、Btttmax00m6.16 摆长为 ，摆捶质量为 的两个相同单摆串接成为一个双摆，如图。求此l双摆在铅直平面内作微振动时的各个本征频率。解：易知： （ ， 如右图）22 2si()()cosin()mnlele则： 21(co3Vgmg近 似2221()Tll近 似可得拉氏方程： 设：L20llg itAe可得：22()0lglAl有非零解条件： 易得：22()llg2()gl所有本征频率为： (),(),(),()llll6.17 两质量为 和另一个质量为 的球体用两根劲度系数都为 的轻质弹簧沿mm k一直线串接，如图.求出体系的微振动本征频率解:取弹簧所在方向建立坐标系，且取参量如右图。
14、有：2213()Txx232()Vkbkb依振动特点，取简正坐标： 13,qxqx代入上式得： 222213313()()()LTVmqqkqkq得拉氏方程： 13122()0kqq设 得： itiqAe132312()0kmAk方程有非零解的条件： 20kkm 可解得： 20,.km6.18 一质量为 的质点在一光滑锥面的内壁上运动。锥体的半顶角为 ，锥体口朝上。以质点离锥体顶点的距离 及围绕锥体轴线转动的角度 为广义坐标，r 写出质点的哈密顿函数；当质点绕锥体轴转动的角速度为多大时，可以绕轴作稳定的圆周运动？解：此系统为保守系，参照如右图所示。则：2211(sin)coTmrrVg定义广义
15、动量： 2,sirTpmrpr得： 2,sinr则:22cosirpHTVmgr得： 23sinr联： ()rdprt当稳定时： ，此时：023cos0sinrpmg代入： 2sinpmr可解得： 2cosingr6.19 一质量为 的质点在三维势场 中运动。以球坐标 ， 和 为质点的m()Vrr广义坐标，写出此质点的哈密顿函数。哪些广义坐标为循环坐标？并写出相应的循环积分。解：如右图取地球中心为坐标原点，取参数如图.则:22221(sin)TrrGMmkV则:哈密顿函数为: 2221(sin)kHVrrr广义动量坐标: 得： 2sinrTpmrp 2sinpmrp代入 H 得：221()si
16、rppkTVrr上式中不含 ，故 为循环坐标故：2sinmCcost2sinCmr6.20 写出对称陀螺丝绕其顶点 O 作定点运动的哈密顿量。设陀螺关于对称轴及横轴的转动惯量分别为 I, .质心离项点的距离为 .*Il解:依题参数如右图则有: 22222* *111()(sin)(cos)xyz zTIIII cosVmgl则: 可得: *2sincos()()zTpIIpI 则：*2cosinszpIpI 22*(cos)cosinppHTVmglIII6.21 力学量 A，B 和 C 都是体系正则变量的函数，证明它们的泊松括号存在如下关系：； ；,ABC,B解：证明：（1） 1,()sAB
17、qpq1(),sApqpB（2） 1()(),sCC1 1( )(,ss sAACqppqBpqCB （3） 1()(),sACBqpq1()()()(),ss ABCpqACBqpqB6.22 证明，任何正则变量的函数， ，存在如下关系：12s12sG(,p;,q;t) ,;,pqq(,3,)证明：（1） 得：1,()0s GGq ,Gpq（2） 得：1,()sqGpq,Gqp6.23 证明一质点关于坐标原点的位矢 ，动量 和角动量 的直角坐标分量存rL在如下关系：； ； y,Lxzz,Lxyx,0； ； xzpxypp； ： y,zz,2xL,证明： x yzyxL=r=(-)(-)(-)
18、ijkijk 可得： xzyxzyxp-,Lp,p（1） yy,()xyz xzzzz,xxx,L()LL, 0yzyz xypp（2） yyyy,L()xxx zxyzpp p zzzz,xxx,LL,(),L0xxx yyzyzpp（3） yyxxxy,L,()xyzyyxzLzyxpxzxzxz,LL,()xyzpxzyzxyL2x,0,2xxL,Lxxyzzyy,2()L0ijkj6.24 试问变换 是正则变换吗？,2QqPp解：因为： 则：,Up即：是正则变换P=2()UdqdqdqdqUQ6.25 取母函数 ，求出正则变换关系。1(,)PsU解： 111(),sssqp111(P)
19、(,)PsssqQ6.26 试证变换 为一正则变换。ln(si),cotpq证明： 1PQ=cot(lnsi)pdqqpd 2cos1t()in()tcsi()ot)ppdqdqpdpqU6.27 证明，变换关系 为一正则变换。1122()cos,()sinqQkPpQkP证明：依 ，可得：12()cos,inpk2P=art()kqpdqd2 22 22222(arctn)()arctn)()11(rtrta)()ctn1(artpqkppk kdqdkqppdkkkqqdppdkU6.28 质量为 m 的质点竖直上抛，写出质点运动的哈密顿函数。利用母函数作正则变换，求解此质点的运动。求解此质点的运动。其31()6gQx中 为质点上抛的距离， 为“新广义坐标” ；在初始时刻 。x 0,x解： 则： 2xpHTVmgxUpmgQ得： 21Q21Px定义新的哈氏函数得： 则有：*HP*0,1HQP积分得： （A，B 为常数） ,PQt代入原哈氏函数得： 221()mgtgx代入 时 。即可得：0t0,x 201t
