1、动点最值问题解法探析一、问题原型：如图 1-1，要在燃气管道 上修建一个泵站，分别向 、 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题二、基本解法：对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。三、一般结论：( 在线段 上时取等号) （如图 1-2）线段和最小，常见有三种类型：（一）“|定动|+|定动| ”型：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段
2、上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。1.两个定点+一个动点。如图 1-3，作一定点 关于动点 所在直线 的对称点 ，线段 （ 是另一定点）与 的交点即为距离和最小时动点 位置，最小距离和 。例 1（2006 年河南省中考题）如图 2，正方形 的边长为 ， 是 的中点，是对角线 上一动点，则 的最小值是 。 解析： 与 关于直线 对称，连结 ，则 。连结 ,在中， ， ，则故 的最小值为例 2 （2009 年济南市中考题）如图 3，已知：抛物线 的对称轴为 ，与 轴交于 、 两点，与轴 交于点 ，其中 ， 。（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存
3、在一点 ，使得 的周长最小，请求出点 的坐标。解析：（1）对称轴为 ， ，由对称性可知： 。根据 、 、三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：（2） 与 关于对称轴 对称，连结 ， 与对称轴交点即为所求 点。设直线 解析式为： 。把 、 代入得，。当 时， ，则2.两个定点+两个动点。两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。例 3 如图 4，河岸两侧有 、 两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？解析：设桥端两动点为 、 ，那么 点随
4、点而动， 等于河宽，且 垂直于河岸。将 向上平移河宽长到 ，线段 与河北岸线的交点即为桥端 点位置。四边形为平行四边形， ，此时 值最小。那么来往 、 两村最短路程为： 。例 4 (2010 年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形 的顶点 在坐标原点，顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上， ， ， 为边 的中点。（1）若 为边 上的一个动点，当 的周长最小时，求点 的坐标；（2）若 ， 为边 上的两个动点，且 ，当四边形 的周长最小时，求点 ， 的坐标。解析：作点 关于 轴的对称点 ，则 ， 。（1）连接 交 轴于点 ，连接 ，此时 的周长最小。由可知 ，那么 ，则 。（2）将 向左平移 2 个
5、单位（ ）到 点，定点 、 分别到动点 、 的距离和等于为定点 、 到动点 的距离和，即 。从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。在 上截取 ，连接 交 轴于 ，四边形 为平行四边形，。此时 值最小，则四边形 的周长最小。由 、 可求直线 解析式为 ，当 时， ，即，则 。（也可以用（1）中相似的方法求 坐标）（二）“|动定|+|动动| ”型：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所
6、有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。例 5 （2009 年陕西省中考）如图 6，在锐角 中， ， 的平分线交 于点 ， 、 分别是 和上的动点，则 的最小值为 4 。解析：角平分线所在直线是角的对称轴， 上动点 关于 的对称点 在上， ， ，当 时， 最小。作 于 ，交 于 ， ， 作 交 于 ，例 6 如图 7，四边形 是等腰梯形， 、 在轴 上， 在 轴上， ， ， ，抛物线 过 、两点。（1）求 、 ；（2）设 是 轴上方抛物线上的一动点，它到 轴与 轴的距离之和为 ，求 的最大值；（3）当（2）中 点运动到使 取最大值时，此时记点 为 ，设线段 与 轴交于
7、点 ， 为线段 上一动点，求 到 点与到 轴的距离之和的最小值，并求此时 点的坐标。解析：（1）由 ， ， ， 可得： 、 、 ；根据 、 的坐标可求出抛物线解析式为（2）设 ，且 ，则 ，用零点分段法可求得， 。当 时， 。此时 ，则 。（3） 轴与直线 关于 对称，作 轴于 ，动点 关于 的对称点 在直线 上， ，当 垂直于直线 时，的值最小。，根据 和 可求直线 的解析式 ，则有 。由可知， 。作 ，过 点作 轴的平行线，交 于 ，那么 。作 于 ，则 ， ，当 是 于 的交点时，与 重合， 有最小值 5。函数 ，此时 ，则 ，即 。3.“|定动 |+|动动|+|动定| ”型：两定点到两
8、动点的距离、以及两动之间距离和最小。例 7 （2009 年漳州中考）如图 8， ， 是 内一点， 、 分别是 和 上的动点，求 周长的最小值。解析：分别作 关于 、 的对称点 、，连接 ，则 ，当 、 在线段 上时， 周长最小， ， 。 则 周长的最小值为例 8 高速公路 与沪渝高速公路 垂直，如图 9 建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（）和世界级自然保护区星斗山（ ）位于两高速公路同侧， ， 到直线的距离为 ， 到直线 和 的距离分别为 和 。请你在 旁和 旁各修建一服务区 、 ，使 、 、 、 组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。解析：作点 关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点
9、，连接 ，。当 、 在线段 上时，最小。过 、 分别作 轴、 轴的平行线交于 。在 中， ，交 轴于 ，交 轴于 。 ，而 四边形 的周长最小值为： 线段和的最值与定值”问题初探学生常常找不到解题的突破口，此类试题往往同根而异形，利用两个“典型题例” 进行“发散式”的概括和引申，是解决此类问题的一个捷径。所谓“典型题例 ”，就是某些题例虽然不是几何公理或定理，却可以举一反三地运用于其他相关的系列问题的解答。下面就“线段和的最值与定值” 问题，运用两个“典型题例”的源命题进行探讨。一、关于线段和的最小值源命题（北师大版七年级下册 P228 第七章习题 7.3“问题解决”第 2 题）：如图 1 所
10、示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B 到它的距离之和最短？本题的解答是：作出点 B 的轴对称点 B1，连接 AB1 交直线 l 于点 P，则点 P 为所求的奶站位置。利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题，下面试举几例：【关联题 1】（2008 年湖北荆门市中考题）如图 2，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M、N 分别是边 AB、BC 的中点，则 PM+PN 的最小值是_析解：利用菱形的对称性，在 AD 上找出点 M 关于 AC 的对称点 M（即AD 的中点），连结 MN
11、交 AC 于 P，则 PM+PN 的最小值为线段 MN 的长，而 M、N 分别为边 AD、BC 的中点，故 MN 的长等于菱形的边长 5。【关联题 2】（2007 年乐山市中考题）如图 3，MN 是O 的直径，MN=2，点 A 在O 上，AMN=30 ，B 为弧 AN 的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为（ ）析解：连结 OA，由 AMN=30得AON=60，取点 B 关于 MN 的对称点 B，中国教育文库:www.china-连结 OB、AB ，AB交 MN 于点 P，则 AB的长为 PA+PB 的最小值，且易知AOB=90 ，即AOB为等腰 Rt，故 。【关联题
12、3】（2008 年湖北黄石市中考题）如图 4，在等腰ABC 中，ABC=120，点 P 是底边 AC 上一个动点，M、 N 分别是 AB、BC 的中点，若 PM+PN 的最小值为 2，则ABC 的周长是（ ）析解：把等腰 ABC 沿 AC 翻折可得一菱形，由上面 【关联题 1】的解答可知，PM+PN 的最小值就是菱形的边 AB 的长，故 AB=2，由AB=BC=2，ABC=120易求得 ，因此ABC 的周长是( )。【关联题 4】（威海市 2009 年中考题）如图 5，在直角坐标系中，点 A，B ，C 的坐标分别为（-1 ，0 ），（3，0），（0，3 ），过 A，B，C 三点的抛物线的对称轴
13、为直线 l，D 为对称轴上 l 一动点，(1) 求抛物线的解析式；(2)求当 AD+CD 最小时点 D 的坐标；(3) 以点 A 为圆心，以 AD 为半径作A，证明：当 AD+CD 最小时，直线 BD 与 A 相切。写出直线 BD 与 A 相切时，D 点的另一个坐标。析解：（ 1）可设 y=a(x+1)(x-3)，再代入点 C 坐标，即可求得 y=-x2+2x+3。（2）利用点 A、B 关于直线 l：x=1 对称，连结 BC 交 l 于 D，则此时AD+CD 取得最小值；设 l 与 x 轴交点为 E，由BEDBOC 可求得DE=2，BD=2 姨 2 =AD，所以 D 的坐标为(1，2)。（3）
14、如图 6,连结 AD，由点 A、B、D 、E 的坐标易知ADE 和BDE 均为等腰 Rt，故ADE=BDE=45所以ADB=90，所以直线 BD 与A 相切。由对称性知点 D 的另一个坐标是（1，-2 ）。上述源命题还可作进一步引申：【引申题】小明在某景区游玩，他打算从景点 A 到河边（直线 l）走一段（长度为已知线段 a）再到景点 B，怎么走最近？析解：如图 7，本题的关键是确定直线 l 上的两点 D、E，因 DE=a 为定长，故只需 AE+BD 为最小即可；作线段 ACl 且 AC=a，作点 C 关于直线 l 的轴对称点 C，连接 CB 交直线 l 于点 D，在直线 l 上截取 DE=a，
15、连接 AE，则小明应走的路线是 AEED DB。理由是：连接 CD，则 CD=AE=CD，因DE=a 为定长， 故只须 AE+BD(=CD+BD)最小即可。【关联题 1】已知平面直角坐标系内两点 A（2，-3），B（4，-1 ）,(1)若C（ a，0），D（a+3，0）,是 x 轴上的两个动点，则当 a=_时，四边形ABCD 的周长最短。（2）设 M、N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，是否存在这样的点M（ m，0）， N（0，n）, 使四边形 ABMN 的周长最短？若存在，请求出 m、n 的值；若不存在，请说明理由。析解：（ 1）如图 8，本题中 AB 和 CD（a+3-a=3）均为定长，
16、故只需AC+BD 取最小值即可； 平移点 A 到 A1，使 AA1=CD=3，作点 A1 关于 x 轴的对称点 A2，连结 A2B 交 x 轴于 D，作 ACA1D 交 x 轴于点 C，由上述“ 引申题”结论知此时 AC+BD 取得最小值；求得直线 A2B 的解析式为 y=4x-17，可得 （2）如图 9，本题中 AB 为定长，分别作点 A、B 关于 y 轴、x 轴点对称点 A1、B1，连接 A1B1 交 x 轴于 M，交 y 轴于 N，则根据上述“源命题” 的结论，M、 N 为所求的点；易得直线 A1B1 的解析式为 ，令 y=0 得二、关于线段和为定值问题关于线段和为定值问题，可由一个较经
17、典的源命题进行引申发散。源命题：（来自马复主编讲堂中考冲刺P123）等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。如图，已知点 P 是等腰ABC 的底边BC 上一点，PFAB 于 F，PGAC 于 G，BD AC 于 D；求证：PF+PG=BD。本题的证明主要有 “截长补短”法和“面积法”，略证如下：略证一：如图 10，作 PEBD 于 E，则四边形 PEDG 是矩形，所以PG=ED；易证 PBF BPE，所以 PF=BE，所以 PF+PG=BD。略证二：如图 11，连结 AP，点 P 到两腰的距离分别为 r1，r2 ，腰上的高为 h，则有 SABP+SACP=S ABC，即 12ABr
18、1+12ACr2= 12ACh，所以 r1+r2=h（定值）。利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题，下面试举几例：【关联题 1】如图 12 在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点 P 为 BC 边上一动点，过点 P 作 PEBD 于 E，PFAC 于 F，AB=3,BC=4，求PE+PF 的值。析解：依矩形性质可知OBC 为等腰，P 是其底边上一点，作 CHBD 于 H，应用源命题结论得 PE+PF=CH=2.4。【关联题 2】（2009 年佳木斯市中考题）如图 13，将矩形纸片 ABCD 沿其对角线 AC 折叠，使点 B 落到点 B的位置，AB与 CD 交于点 E
19、。（1）试找出一个与AED 全等的三角形，并加以证明；（2）若 AB=8，DE=3，P 为线段 AC 上任意一点，PGAE 于 G，PHEC 于 H。试求 PG+PH 的值，并说明理由。析解：（ 1）AEDCEB (证明略)；（2）由（1）知 AE=CE，即AEC 为等腰，且 ADCD 于 D，应用源命题结论可得 PG+PH=AD， 因为AB=CD=8，DE=3 ， 所以 CE=AE=5，所以 AD=4=PG+PH。三、理解与应用如图 14，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 BD 上的一点，且 BE=BC， F 为 CE 上一点，FM BC 于 M，FNBD 于 N，试利
20、用上述结论求出 FM+FN 的长。析解：依题意， F 为等腰EBC 底边 EC 上一点, 连结 AC 交 BD 于 O，则 ACBD 于 O，且 AC=3 ，应用源命题结论可得 。例谈求线段和的最小值问题平面几何中线段和的最小值问题是初中学生较难解决的问题之一，也是棘手问题。笔者就这个问题浏览了 05 年度全国部分省市的有关中考试题，本文下面将结合中考试题为例予以剖析，供参考。一、以正方形为载体，求线段和的最小值例 1. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，边长是 4，E 是 BC 上一点，且 CE1，P 是对角线 BD 上任一点，则 PEPC 的最小值是_。图 1分析：由于 BD 是正方形
21、 ABCD 的对角线，连接 AP，易证ADPCDP，所以 PAPC，此时求 PEPC 的最小值就转化为求 PAPE 的最小值，连接 AE，在PAE 中，因为 PAPE以 AE，故当点 P 为 A 与 BD 的交点时（即当 A、P、E 三点共线时），PAPE 的最小值为AE，由勾股定理可求 AE，所求问题可解。解：连接 PA，BD 为正方形 ABCD 的对角线ADCD，ADPCDP又 DPDP，ADPCDPPAPC连接 AECE1，BE3在 RtABE 中，根据三角形中两边的和大于第三边可知，当 P 为 AE 与 BD 的交点时，PAPE 的最小值为 AE，即 PAPEAE，PAPE5，即 PE
22、PC5，PEPC 的最小值为 5（仅当A、P、E 三点共线时取等号）。例 2. 如图 2，正方形 ABCD 的边长为 8，点 E、F 分别在 AB、BC 上，AE3，CF1，P是对角线 AC 上的一个动点，则 PEPF 的最小值是（ ）图 2A. B. C. D. 分析：因为动点 P 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，在 AD 边上取点 G，并截取 AEAG，易证PGAPEA，所以 PGPE，所求 PEPF 的最小值就转化为求 PGPF 的最小值，连接 FG，在PFG 中，PGPF 的最小值就是 FG（仅当 F、P、G 三点共线时取得最小值）。解：在 AD 边上取点 G，并截取 AGAE
23、，连接 PGAC 是正方形 ABCD 的对角线PAGPAE，又 APAPPAGPAE，PGPE连接 FG，过点 G 作 GHBC，垂足为 HAGAE3，而四边形 ABHG 为矩形，BHAG3，GHAB8又 CF1，HC5，HF514在 RtFHG 中，由勾股定理，得在PFG 中，PGPFGF（仅当 F、P、G 三点共线时取等号），即 PEPF 的最小值为故应选 D。二、以菱形为载体，求线段和的最小值例 3. （05，南充）如图 3，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上一个动点，M、N 分别是 AB，BC 边上的中点，PMPN 的最小值是（ ）图 3A. 2 B. 1 C.
24、D. 分析：因为动点 P 在菱形 ABCD 的对角线 AC 上，取 CD 边的中点 G，连接 PG，则易证PCGPCN，从而 PGPN，因此求 PMPN 的最小值就转化为求 PMPG 的最小值，连接MG，在PMG 中，PMPG 的最小值就是 MG，即 PMPGMG（仅当 M、P、G 三点共线时取得最小值）。解：取 CD 的中点 G，连接 PGAC 是菱形 ABCD 的对角线PCGPCN又 CBCD，N 是 BC 边的中点CNCG又 PCPC，PCGPCNPGPN连接 MG。四边形 AMGD 为平行四边形MGAD1在PMG 中， （仅当 P、M、G 三点共线时取等号）即 ，故 PMPN 的最小值
25、为 1。故应选 B。三、以等腰梯形为载体，求线段和的最小值例 4. （05，河南）如图 4，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABCDAD1，B60 埃毕?/SPANMN 为梯形 ABCD 的对称轴，P 为 MN 上一点，那么 PCPD 的最小值为_。图 4分析：在梯形 ABCD 中，因为 ABCDAD，易知梯形 ABCD 是等腰梯形，又直线 MN 是梯形 ABCD 的对称轴，所以直线 MN 是底边 AD、BC 的垂直平分线，连接 PD，由线段垂直平分线上任一点，到已知线段两端的距离相等知，PAPD，所以求 PCPD 的最小值就转化为求 PCPA 的最小值，即求 AC 的长度即可。解：连接 PD
26、ABCDAD1，梯形 ABCD 是等腰梯形又直线 MN 是梯形 ABCD 的对称轴PAPD过点 A 作 AEBC，过点 D 作 DFBC，E、F 为垂足，易证ABEDCF，BECF在 RtABE 中，B60 埃?/SPANAB1在 RtABC 中，由勾股定理，得即 PAPC 的最小值为 （当 A、P、C 三点共线时取得最小值）。四、以任意四边形为载体，求线段和的最小值例 5. 已知：如图 5，在四边形 ABCD 中，AD、BC 不平行，F、E 分别是 AB、CD 的中点，若 EFm，则 的最小值是_。图 5分析：构造以 的长为三边的三角形，再利用三角形的中位线将问题解出。解：连接 BD，取 BD 的中点 G，连接 EG、FG。E、F 分别是 CD、AB 的中点EG、FG 分别是BCD、ABD 的中位线在EFG 中， （仅当 E、G、F 三点共线时取得最小值）
