1、201年 秋 季 五 年级 第 三讲 三 角形 中的 模型 (一 ) 周 艳丽第 1页 共 8页三角形中的模型（一）三角形中的模型（一）三角形中的模型（一）三角形中的模型（一）知识点与例题详解共角定理（鸟头模型）共角定理（鸟头模型）共角定理（鸟头模型）共角定理（鸟头模型）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在ABC中，,DE分别是,ABC上的点如图(或D、E分别在BA、CA延长线上则)(大大小小夹角两边：= ACABEDACABDSSABCADE即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积
2、之比证明：（1）共角为相等角连接BE，由同高看底，可知ACABEDSSACESSABDSS ABCEADABCABEABEADE =得将:)2()1()2()1(（2）共角为对顶角在AB、AC上分别取点DE连接DE，则EADADESS=连接BE，同(1)理可证ACABSSABCEAD =（3）共角为互补角在AB上取一点D连接DE，则EADADESS =连接BE，同(1),可证ACABSSABCEAD =例：1已知三角形ADE的面积是1，AD:B=2:3，AE:C=1:4，求三角形AED的面积2已知三角形BC的面积是9，:A1:2，:1:，求三角形的面积分析：(1)由鸟头定理：=ACEABDSS
3、ABCADE2314=16, 661=ABCS(2)由鸟头定理：5.2419412121 = ADEABCADE SACEABDSS201年 秋 季 五 年级 第 三讲 三 角形 中的 模型 (一 ) 周 艳丽第 2页 共 8页例1分析：共角定理（鸟头）：共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比3587542=ACABEDSSABCADE27035816cmSABC =例2分析：共角定理（鸟头）：共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比154352=BDBECASSADEABC25.121543 cmSBDE =例3分析：180= + HAGBAC2101111cmSS AGAHCBS
4、SAHGABCAHGABC = =同理可得210cmSSS IBDECFABC =即另外三个三角形的面积和是30cm 例4分析：25, cmSSEFAE DEFADE =AABCD 共角与2306561321 cmSACABEDSS ABCABCDAE =201年 秋 季 五 年级 第 三讲 三 角形 中的 模型 (一 ) 周 艳丽第 3页 共 8页例5分析：180= + FADBAC66161321 = ADFFDAABC SAFADCBSS180= + FCEBC88181241 =ECFFCEABC SCEFBASS180= + DBAB3313131 = DBEDBEABC SBEDC
5、ASS183861 =+=DEFS例6分析：由共角定理知:180= + FAEDAB81241=AEAHBDSSHAEABDABDHAESS8=180= + EBFABC31311=BFBECSSFBEABCABCFADSS3=180= + GCFBCD81421=GCCFDSSGCFBCDBCDHAESS8=180= + HDGADC151351=DGDHASSHDGADCADCHAESS8=ABDS=ABCS=BCDS=ABDS=ADCS=ABCDS2118:1)215838( 2 =+=ABCABCEFGHABCD SSSS超常挑战分析：图中每相邻两个正方形和其间夹着的两个三角形都是“X
6、型”鸟头。以右图为例，AHGABCAHGABC SSAGAHCBSS= 1111因此，图中每一个红色三角形和对应的绿色三角形面积都相等。那么内圈三角形石板的总面积和外圈三角形石板的总面积一样大。越玩越聪明分析：这道题可以分析、计算如下：在计算各个面上4个数的和时，顶点上的数总是分属3个不同的面，这样，每个顶点上的数都被重复计算了3次。因此，各个面上4个数的和为18这8个数的和的3倍，即（1+23+8+）3=108。又因为正方体有6个面，也就是每个面上的四个数的和应是1086=1.8应是我们填数的标准。如果在前面上填入1、7、2、8（如图），那么右侧面上已有2、8，其余两顶点只能填3、5。以此类
7、推，答案如图所示。201年 秋 季 五 年级 第 三讲 三 角形 中的 模型 (一 ) 周 艳丽第 4页 共 8页家庭作业1分析：由共角定理得：9432=BCAEBDSSABCBDE2244954cmSBDE =由等积变形得：212224cmSEDC =2分析：由共角定理得：61231=ADABMNSSABDANM125216565 =ABDNMDBSS3分析：180= + HAGBACAHGABCAHGABC SSAGAHCBSS= 1111同理可得IBDECFAHGABC SSSS=244)3616977( cmSABC =4分析：共角定理（鸟头）：共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积
8、之比418552;56158735;3565732 = ACABFCESSBCAEBDSSACABEDSS ABCCEFABCBDFABCADE令ABCS=1，则41;5615;356 = CEFBDFADE SSS则2140280875.43280874135656151 cmSSABCDEF =5分析:共角定理（鸟头）：共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比连接DB，61321;61231 = CFCGBDSSAEAHBDSSCFGDCBAEHADBABCDDCBADBDCBADBCFGAEH SSSSSSS）（6666 =+=+=+同理，连接A，61321;61231 =EBFAC
9、BHDGADC SSSSABCDABCADCABCADCEBFHDG SSSSSSS）（6666 =+=+=+ABCDEBFHDGCFGAEHEHGF SSSSSS+= 26551316 cmSABCD =+=）（6分析：四次鸟头得：FGECEDSSFGEECBSSFGEAEDSSFGEAEBSS EFGEDCEFGEBCEFGADEEFGAEB =;EFGABCDEFGEDCEFGEBCEFGADEEFGAEB SSSSSSSSSS=+201年 秋 季 五 年级 第 三讲 三 角形 中的 模型 (一 ) 周 艳丽第 5页 共 8页FGE ECDECBADAEBESSEFGABCD +=FGE
10、 ECDEBEADEBE += )()(1 )()(= +=FGEACBDFGEECADBE1=ABCDEFGSS学案-基础班1如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BDC=，3BE=，6AE=，乙部分面积是甲部分面积的几倍？EDCB A2如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？ED CBA3已知DEF的面积为7平方厘米，, 2, 3BECEADBDCFAF= =，求ABC的面积4如图，四边形EFGH的面积是6平方米，EAB=，CBF=，DCG=，HDA=，求四边形ABCD的面积学案提高班1如图在AB
11、C中，D在BA的延长线上，E在AC上，且: 5:2ABAD=，: 3:2AEC=，12ADES=平方厘米，求的面积2（205年第1届迎春杯试题）三角形ABC被线段DE分成三角形BDE和四边形ACDE两部分，问：三角形BDE的面积是四边形ACDE面积的几分之几？201年 秋 季 五 年级 第 三讲 三 角形 中的 模型 (一 ) 周 艳丽第 6页 共 8页3图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？4如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD
12、的面积为5，则四边形EFGH的面积是学案尖子班1已知四边形ABCD中，CD=3F，AE=3D，三角形BFC的面积是6，四边形BEDF的面积为7，求大四边形ABCD的面积。2如图以直角三角形的三边分别向外做三个正方形ABIH H H H、ACFG G G G、BCED，连接H G H G H G H G、EF、ID，又得到三个三角形，已知AB=3厘米，AC=4厘米，求六边形DEFG H IG H G H G H的面积。3已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=aAB；延长BC至E，使CE=bBC；延长CA至F，使AF=cAC，求三角形DEF的面积。4如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，
13、E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？201年 秋 季 五 年级 第 三讲 三 角形 中的 模型 (一 ) 周 艳丽第 7页 共 8页答案-基础班1分析:由BDC= 12BDBC=；由3BE=，6AE=，有13BEAB=.由鸟头定理有11 132 6ABC ABCS SS = =甲56ABC ABCSSSS =乙甲故15SS=乙甲.即，乙部分面积是甲部分面积的5倍2分析：共角定理（鸟头）：共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比151351=ACABEDSSABCADE215151 cmSABC =3分析：共角定理（鸟头）：共角三角形的面积比等于
14、对应角两夹边的乘积之比834231;61231;151351 = ACABFCESSBCAEBDSSACABEDSSABCCEFABCBDFABCADE令ABCS=1，则8;61;61 = CEFBDFADE SSS则22424772478361611 cmSSABCDEF =4分析:共角定理（鸟头）：共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比连接DB，21211;21121 = CFCGBDSSAEAHBDSS CFGDCBAEHADBABCDDCBADBDCBADBCFGAEH SSSSSSS）（2222 =+=+=+同理，连接A，21211;21121 =EBFACBHDGADC SS
15、SSABCDABCADCABCADCEBFHDG SSSSSSS）（2222 =+=+=+5EHGFDHGBFEAHECFBABCDABCDSSSSSSS =+=665ABCDS=答案-提高班1分析：共角定理（鸟头）：共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比256532=ACABEDSSABCADE25025612cmSABC =2分析：共角定理（鸟头）：共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比2837832=BCADBESSABCBDE2533283=ACDEBDESS201年 秋 季 五 年级 第 三讲 三 角形 中的 模型 (一 ) 周 艳丽第 8页 共 8页3分析：根据鸟头定理
16、或等积变形可得25.22818081213143314143 cmSSSSS ABCABCABDABEAEF =4分析：共角定理（鸟头）：共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积之比ABCDBCDABDFCGAEH FCGBCDAEHABDABCDACDABCDHGEBF DHGACDEBFABC SSSSS CGFDBSSAHAESBD SSSSS DGHCASSBFECASSAC，得连接，得连接999 9131,9131444 4121,4121=+=+ = =+=+ =6051212 =+=ABCDABCDFCGAEHDHGEBFEFGH SSSSSSS答案-尖子班1分析:由鸟头定理或等
17、积变形可得251276 12433437 362121 =+= = =ABCD DBEEABEDB FBCDBFS SSS SS则，2分析：180= + HAGBAC262431111 cmSSAGAHCBSSAHGABCAHGABC =同理可得26cmSSS IBDECFABC =在由勾股定理可得，B=3+4=25cm ，BC=5cm 2222 74543464 cmSSSSSAGFCBCEDHIBAABCDDEFGHI =+=3分析：180= + FADBACcaccacScaccaAFADCBS ADFFDAABC +=+=+=+=）（11)1(1180= + FCEBCA bbcbbc
18、SbbcbcCECFBSSECFFCEABC +=+=+=+= )(11)1(1180= + DBEABC aabaabSaabbaBEDASS DEBDBEABC +=+=+=+= )(11)1(1bcacabcba SbcacabcbaSABCDEF +=1 )()1(类题注：此结论适用于这一4分 析： 由等 积变 形得 ： 分 析： 由等 积变 形得 ： 分 析： 由等 积变 形得 ： 分 析： 由等 积变 形得 ： 21648cmSEDC =由共角定理得：21211=ECEDFASSECDAEF28216cmSAEF =111221=ECEDBCFSSECDBCF216cmSBCF=2122)161688( cmSS AGFABG =
