1、厦门市 2018 届高中毕业班第一次质量检查数学（理科）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ，则 （ ）230,3SxTxySTA B C D,3,2,23,2,2.复数 满足 ，则 （ ）z25izziA B2 C D 523.等差数列 中， ，则 （ ）na5171046,aa10SA B C5 D 2383534.袋中装有 2 个红球，3 个黄球，有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 球，则 3 次中恰有 2 次抽到黄球的概率是（ ）A B C D 55182554125
2、计算机科学的创始人麦卡锡先生发明的“91”函数具有一种独特的情趣，给人的心智活动提供了一种愉悦的体验.执行如图所示的程序框图，输入 ，则输出 （ ）0SnA3 B4 C5 D66.设 满足约束条件 则 的最大值是（ ）,xy21,0,xy3zxyA B1 C D21347.双曲线 的左焦点为 ，过右顶点作 轴的垂线分別交两渐近线于2:0,xyCab1Fx两点，若 为等边三角形，则 的离心率是（ ）,1AFA B C2 D 2358.如图，某棱锥的正视图和侧视图都是等边三角形，该棱锥的体积为 ，则该棱锥内切球43的表面积是（ ）A B C D 32343839函数 与 的图象交点的横坐标之和为
3、，则 （ ）1xyyxb2bA B0 C1 D210.圆台的高为 2，上底面直, ，下底面直径 ， 与 不平行，则三棱锥A4CABD体积的最大值是（ ）CDA B C D 3831633211.定义在 上的函数 满足 ，若关于 的方程0,fx1,0fxffx有 3 个实根，则 的取值范围是（ ）fxaaA B C D 10,e0,11,e1,12.函数 与 （其中 ）在 的图象恰有三sinyxcosyx0,2520,x个不同的交点 ， 为直角三角形，则 的取值范围是（ ）,PMNA B C D ,4,24,420,4第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸
4、上）13. 的展开式中常数项是 621x14.已知三点 ，若 为锐角，则 的取值范围是 ,34,21,ABCmABm15等比数列 的首项为 2，数列 满足 ，则 nanb1243,nbnab nb16过抛物线 焦点的直线 与 交于 两点， 在点 处的切线分别与 轴2:4EyxlE,ABE,ABy交于 两点，则 的最大值是 ,CDCDAB三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 的内角的对边分别是 ，满足 .ABC,abc22abc（1）若 ，求 的面积；,13bABC（2）求 .tan18.如图，四棱锥 中， 是等边三角形， PDP/,
5、ABCD， 分别为 的中点.22CDAB,MN,C（1）证明: 平面 ；/MNPAB（2） 若 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.CDMNPBC19.2018 年 2 月 4 日，中央一号文件中共中央国务院关于实施乡村振兴战略的意见 发布，对农村电商发展提出新的指导性意见，使得农村电商成为精准扶贫、乡村振兴的新引擎.某电商 2018 年计划与所在地区的樱桃果园合作进行樱桃销售，为了解该地区果园的樱桃销售量情况，现从中随机抽取 60 个樱桃果园，统计各果园 2017 年的销售量（单位：万斤 ）.得到下面的频率分布直方图.（1）从样本中销售量不低于 9 万斤的果园随机选取 3 个，求销售量不
6、低于 10 万斤的果园个数 的分布列及其数学期望；X（2）该电商经过 6 天的试运营，得到销售量 (单位:万斤）情况统计表如下：根据相关性分析，前 天累计总销售量 与 之间具有较强的线性相关关系，由最小二乘法nnT得回归直线方程 .用样本估计总体的思想，预测该电商至少运营多少天可使总销A1.78Ta量不低于该地区各果园 2017 年平均销售量的两倍.注：1.前 天累计总销售量 ；n1niy2.在频率分布直方图中，同一组教据用该区间的中点值作代表.20.在平面直角坐标系 中，点 ，点 在直线 上，过 中点 作xOy2,06,ABC6xABD，交 于点 ，设 的轨迹为曲线 .DPCAP（1）求 的
7、轨迹方程；（2）过点 的直线 与 交于 两点，直线 分别与直线 交于 两点.线2,3Ql,EF0x,EF,ST段 的中点 是否在定直线上，若搓，求出该直线方程；若不是，说明理由.STM21.函数 （其中 ）.2 2ln,xfxaxgem2.718e（1）当 时，讨论函数 的单调性；0f（2）当 时， 恒成立，求正整数 的最大值.1,axfxg请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在立角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极xOyl 23cos,1inxtyt点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的
8、极坐标方程为 .C221sin8（1）若曲线 上一点 的极坐标为 ，且 过点 ，求 的普通方程和 的直角坐标CQ0,2lQlC方程；（2）设点 ， 与 的交点为 ，求 的最大值.23,1PlC,AB1PB23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .31fxaxR（1）当 时，求不等式 的解集；1f（2）设关于 的不等式 的解集为 ，且 ，求 的取值范围x31xM1,4a参考答案一、选择题1-5: BBDDB 6-10: DCCBB 11、12：AA二、填空题13. 15 14. 15. 16. 8,23,12n三、解答题17. （1）由余弦定埋， 得 ，221cosbcaA22bca又 ，得 ，
9、因为 ，所以 ，22abc233由三角形面积公式， 1sin4Sbc（2）法一：由 ，得22a22acb结合余弦定理 ，得cosC2osC因为 ，则0bb结合正弦定理， ，得 siniaAB2sincsinAB因为 ，得BCoiC整理得： 3sicosic因为 ，,0,0AA所以 ，即3tantCtan3法二: 22tsicoanbcaA整理得：22t=Cbac由 ，得22ac22b整理得： .2tn3Ab18.（1）取 的中点 ，连接 ，DO,MN 为 的中点， ，MP/PA又 平面OMPAB ，同理 平面 ，/N/N又 ，平面 平面 ，/OPAB 平面 ， 平面 .（2）(法） 平面 ，
10、，ACDC以 为坐标原点，以 分别为 轴的正方向，过 垂直于平面 的直线为 轴，,xyACDz如图建立空间直角坐标系， 在 中， ， ，RtACD2C， 2AD 3310,13,0,1,0,02PMBCN ，,2MN设平面 的法向量为 ， ，PBC,nxyz0nPBC230xyz取 ， ，即 ，1x,3yz1,3设直线 与平面 所成角为 ，MN 。25sinco, 314Nn直线 与平面 所成角的正弦值为 .PBC(法二）连接 ， ， 为 的中点， 为 的中点，,OEODECOAD 平面 ， 平面 ， 两两互相垂直，/AAP,EP以 为坐标原点，以 分别为 轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，
11、,xyz , 可得 , ,/,BCD22BC2ADA 1330,3,0,2,0,1,022PDMBCN ，,2MN设平面 的法向量为 ， ，PBC,nxyz0nPBC230xyz取 ， ，即 ，1x,3yz1,3设直线 与平面 所成角为 ，MN 。25sinco, 314Nn直线 与平面 所成角的正弦值为 .PBC19.（1）由频率分布直方图可得样本中 2017 年销将量不低于 9 万斤的果园有个，销售量不低于 10 万斤的果园有 个.0.56090.563随机变量 的可能取值为 0，1，2，3.X， ，3690CP1639528CPX， ，126394X 394所以随机变量 的分布列为数学期
12、望 .513102848EX（2）由运营期间销售量情况统计表可得前 天累计总销售量 如下：nnT ， 1234563.n1.253.97.68.10245.T将样本中心点 代入回归直线方程 ，得 ，., A.na. ，A1.78.0Tn下面用直方图中各区间中点值作为代表，估计该地区 2017 年平均销售量：4.5.56.27.5038.159.01.57.3由题意得： ，解得 .178014nn ，该电商至少运营 9 天可使总销量不低于该地区各果园 2017 年平均销售量的两倍.*nN20. （1）法一：设 ，因为 为 中点，故点 的坐标为 ；,6,PxyCnDABD2,0当 时，点 的坐标为
13、 ；当 时，0n2,0由 三点共线知， ，即 ,ACPACk28yx，即 ；0OPD6n得 ， 22434yx化简得曲线 的轨迹方程为 .2123yx法二：设 ，则直线 的方程为 ，,PmnAPnm令 ，得点 的坐标为 ，即 ，6xC86,2n86,2OC又 及 , .即 ，2,DnOD00n化简得 ，即 ，341m2143n故曲线 的轨迹方程为 . xyx（2）法一：由题意知，直线 的斜率恒大于 0，且直线 不过点 ，其中 ；l lA34AQk设直线 的方程为 ，则 .l23xtyt43,t设 ，120,ExyFMxy直线 的方程为 ，故 ，D12102Syx同理 ；20Tyx所以 ，120
14、00STyx即 12120233yyxxtty 12123yyt联立 ，化简得 ，233410ttxy22246930ttytt所以 22121693,ttty代入得， 2202261449133tttxttt 01230ty所以点 都在定直线 上.M32123xyx法二：设 ，120,ExyFMy设直线 的方程分别为 ，,D1212,0xttt则 ，0012,STxyytt故 ，001 122xyt联立 得 ，21340,xyt2134tt所以 ，同理， .21t22ty由 三点共线知，,EFQ123EFykx121230tyty即 ，221211243043tttt 212180ttt12
15、1214830tttt又 ，故式可化为 ，212123tt代入式，得 .0030yxyx所以点 都在定直线 上.M3212法三：设 ，120,ExyFMxy设直线 的方程分别为 ，,D1212,0ttt则 ，0012,STxxyytt故 001 122yxt设直线 方程的统一形式为 ，,DEF直线 的方程为 ，32xny联立 ，得点 的统形式为 ，2xty,EF32,ntt又 均在椭圆 上，故其坐标满足椭圆的方程，即,EF23410xy，得 ，3ntnt22291310ntnt即 ，214340tt为该二次方程的两根，由韦达定理得 ，12,t 123t代入式，得 .00302yxyx所以点 都
16、在定直线 上.M21321.（1）函数 定义域是 ， ，fx0,2axafx（i）当 时， ，当 时 ，函数 的单调递减区间是18a0a,x0fxfx；0,（）当 ， 的两根分别是 ，10,8a20xa1804ax，24x当 时 .函数 的单调递减.当 时 ，函数 的单调10,0fxfx12,x0fxfx速递增，当 时 ，函数 的单调递减；2,f f综上所述，（i)当 时 的单调递减区间是 ，18afx0,（）当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是108f 181,4a和 0,4a8,4a（2）当 时， ，即 ，1,0,xfxg2lnxme设 ， ，2ln,0,1he 1xhx当 时，
17、，01xx设 ，则 ， 在 递增，ue2xueux0,1又 在区间 上的图象是一条不间断的曲线，x0,1且 ，12,0ueue 使得 ，即 ，0,x0x001,lnxx当 时， ；当 时， ；0,uh0,0,uhx函数 在 单调递减，在 单调递增，hx0,0,1x ，0min2lnxe000122xx 在 递减，21yx,1 ， ，01,2x00213,4hxx当 时，不等式 对任意 恒成立，3mlnxe0,1x正整数 的最大值是 3. 22.（1）把 代入曲线 可得 0,2QC2,Q化为直角坐标为 ，,又 过点 ，得直线 的普通方程为 ；l3,1Pl32yx可化为 .221sin822sin
18、8由 可得 ，,sixyy2xy即曲线 的直角坐标方程为 .C28（2）把直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得，l C，22cos3sin1tt化简得 ， 22in43cos60t24si3cosin1可得 ，故 与 同号12 122in6,0ssit t1t2，121212ttPABt4n3cos4in63所以 时， 有最大值 .64sin33此时方程的 ，故 有最大值 .01PAB423.（1）当 时， ， .1a3fxx131fx即 或 或 3x13x解得 或 或 ，所以 或 或 .134x12x3413x12x所以原不等式的解集为 .2x（2）因为 ，1,4M所以当 时，不等式 恒成立，,x31fx即 在 上恒成立，31ax,4当 时， ，即 ，,4x31ax6ax所以 ，所以 在 上恒成立，6x75a,43所以 ，即 ；minmin75a当 时， ，即 ，即 ，1,3x31xx2a2xa所以 在 上恒成立，2a,所以 ，即 ；minmin2xx713a综上， 的取值范围为 .a
