1、教 学 内 容 ： 三 角 形 全 等 三 角 形【 重 点 、 难 点 、 考 点 】重 点 ： 三 角 形 的 有 关 概 念 ， 三 角 形 的 三 条 主 要 线段 、 三 角 形 的 三 角 的 关 系 、 三 角 形 的 三 边 关 系 、 全等 三 角 形 的 概 念 、 判 定 和 性 质 。难 点 ： 综 合 运 用 三 角 形 、 全 等 三 角 形 的 知 识 进 行 有关 的 证 明 或 计 算 。考 点 ： 运 用 全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质 来 证 明 有 关 的线 段 相 等 ， 角 相 等 等 。【 经 典 范 例 引 路 】例 1 已 知 如
2、图 ， 点 C为 线 段 AB上 一 点 ， ACM、 CBN是 等 边 三 角 形 ， 连 结 BM交 CN于 点 F， 连 AN交 CM于 点 E， 交 BM于 点 P， 求 证 ： （ 1） AN=BM；（ 2） CE=CF； （ 3） CEP+ CFP=180； （ 4） 求 APB的 度 数 。证 明 ： （ 1） ACM、 CBN都 是 等 边 三 角 形 。 AC=MC， CN=CB， ACM= BCN=60 ACM+ MCN= BCN+ MCN，即 ACN= MCB ACN MCB， AN=MB（ 2） CAN MCB， 1= 2又 3=180 ACM BCN=180 60 6
3、0=60= FCBCN=CB， ECN FCB， CE=CF。（ 3） CFP是 BCF的 一 个 外 角 ， CFP= 2+ FCB。又 2= 1， FCB= 3， CFP= 1+ 3 CEP+ CFP= CEP+ 1+ 3=180（ 4） 在 四 边 形 PECF中 ， CEP+ CFP=180， 3+ EPF=180， 而 3=60， EPE= APB=180 60=120【 解 题 技 巧 点 拨 】本 题 是 几 何 教 材 第 二 册 P113第 13题 改 编 而 成的 ， 要 使 问 题 的 四 个 结 论 获 得 解 决 ， 必 须 综 合 运 用全 等 三 角 形 的 判
4、定 和 性 质 ， 等 边 三 角 形 的 性 质 ， 以及 三 角 形 中 的 角 的 关 系 等 知 识 。 同 时 ， 经 过 观 察 不难 发 现 ， 图 中 的 MCB与 ACN、 MCF与 ACE、 CBF与 CNE的 图 形 变 换 关 系 ， 我 们 只 要 把 每 组 中的 第 一 个 三 角 形 按 逆 时 针 方 向 旋 转 60即 得 第 二 个三 角 形 ， 注 意 到 了 这 一 点 ， 我 们 会 对 图 形 的 本 质 认识 得 更 深 刻 ， 对 顺 利 解 决 相 应 的 问 题 有 一 定 的 帮助 。例 2 已 知 如 图 ， 四 边 形 ABCD中 ，
5、 A=60AD+BC=DC=AB=1， 求 四 边 形 ABCD的 面 积 。解 如 图 ， 延 长 AD到 E， 使 DE=BC， 连 BD， BE。 AD+BC=AD+DE=AE=AB=1， A=60 ABE是 等 边 三 角 形 ， AB=AE=BE=DC=1又 DE=BC， DB=BD， EDB CBD S四 边 形 ABCD=S ABD+S BDC=S ABD+S BDE=S ABE=。【 解 题 技 巧 点 拨 】本 题 中 ， 延 长 AD到 E， 使 DE=BC， 构 造 等 边 三 角 形 EAB和 全 等 三 角 形 EDB与 CBD是 解 决 问 题 的 关 键 ， 然
6、后 利 用 全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质 ， 将 求四 边 形 ABCD的 面 积 的 问 题 ， 转 化 为 求 边 长 为 1的 等 边 ABE的 面 积 问 题 ，实 现 了 由 一 般 向 特 殊 的 转 化 ， 这 一 思 路 较 好 。【 综 合 能 力 训 练 】一 、 填 空 题1 在 如 图 的 “ 五 角 星 ” 中 ， A B C D E等于 度2 不 等 边 ABC的 三 边 长 为 整 数 a、 b、 c， 且 a2 b2 6a 4b 13 0，则 c 。3 如 图 ， ABC的 三 条 高 AD、 BE、 CF交 于 点 H， 则 ABH的 三 条 高
7、 分 别 是 ， 而 这 三 条 高 所 在 直 线 相 交 于 点 。4 （ 2001年 黑 龙 江 省 中 考 题 ） 已 知 三 角 形 两 边 长 分 别 为 5和 7， 则 第 三边 上 的 中 线 长 x的 取 值 范 围 是 。5 (2001年 北 京 市 东 城 区 中 考 题 )在 ABC和 A B C 中 ， A A ， CD与 C D 分 别 为 AB边 和 A B 边 的 中 线 ， 再 从 以 下 三 个 条 件 ， AB A B AC A C CD C D 中 任 取 两 个 为 题 设 ， 另 一 个 为结 论 ， 则 最 多 可 以 构 成 个 正 确 的 命
8、题 6 如 图 ， AD是 ABC的 中 线 ， ADC=45 ， 把 ADC沿 AD对 折 ， 点 C落在 C BC与 BC 之 间 的 数 量 关 系 是 （ 2001年 山 西 省 中 考题 ）7 （ 2001年 吉 林 省 中 考 题 ） 如 图 ， 1 2， BC EF， 那 么 需 要 补 充一 个 直 接 条 件 （ 写 出 一 个 即 可 ） 才 能 使 ABC DEF。二 、 选 择 题8.下 列 的 命 题 中 ， 正 确 的 命 题 是 （ ）A 有 两 边 和 第 三 边 上 的 高 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等B 有 两 边 和 其 中 一 边 上
9、的 高 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等C 有 两 边 和 其 中 一 边 的 对 角 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等D 有 两 边 和 第 三 边 上 的 中 线 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等9.三 角 形 两 边 长 分 别 为 3和 9， 第 三 边 上 的 高 h的 取 值 范 围 是 （ ）A 0 h 3 B 0 h 3 C 3 h9 D 3 h 910.下 面 各 题 给 出 的 三 条 线 段 ， 其 中 可 以 组 成 三 角 形 的 是 （ ）A 3、 4、 7 B a b c 1 2 4C.a2 1， a2， a2 3 D 3
10、a、 5a、 2a 1（ a 1）11.（ 2001年 呼 和 浩 特 市 中 考 题 ） 如 图 的 BDC 是 将 矩 形 纸 片 ABCD沿 对角 线 BD折 叠 得 到 的 ， 图 中 （ 包 括 实 线 ， 虚 线 在 内 ） 共 有 全 等 三 角 形 （ ）A 2对 B 3对 C 4对 D 5对12.如 图 ， ABC的 三 条 角 平 分 线 AD、 BE、 CF交 于 点 G， 则 与 EGC互 余 的角 是 （ ）A. CGD B FAG C. ECG D. FBG13.如 图 ， 已 知 点 D在 AC上 ， 点 B在 AE上 ， ABC DBE， 且 BDA= A，若
11、A C 5 3， 则 DBC等 于 （ ）A 3O B 25 C20 D 15三 、 解 答 下 列 各 题14 如 图 ， 在 ABC中 ， AD平 分 BAC， CE AD， EF BC， 求 证 ： EC平 分 FED。15.如 图 ， 已 知 ABC的 两 条 高 BD、 CE交 于 点 F， 延 长 CE到 Q， 使 CQ=AB，在 BD上 截 取 BP AC求 证 ： （ 1） AQ AP； （ 2） AQ AP16 如 图 以 ABC的 边 AB、 AC为 边 ， 向 形 外 作 等 边 ABD和 等 边 ACE，连 BE、 CD相 交 于 点 F。 求 证 ： （ 1） DAC
12、 BAE； （ 2） BE DC； （ 3）AF平 分 DFE17 如 图 点 A、 B、 C、 D、 E把 圆 周 五 等 分 ， 连 结 AC、 AD、 BE、 BD、 CE得到 一 个 五 角 星 ， 则 图 中 与 三 角 形 有 关 的 所 有 结 论 ， 有 。18 （ 2001年 临 沂 市 中 考 题 ） 在 ABC中 ， 如 果 只 给 出 条 件 A 60 ，那 么 还 不 能 判 定 ABC是 等 边 三 角 形 ， 给 出 下 面 四 种 说 法 ： 如 果 再 加 上 条 件 “ AB AC” ， 那 么 ABC是 等 边 三 角 形 ； 如 果 再 加 上 条 件
13、“ tanB tanC” ， 那 么 ABC是 等 边 三 角 形 ； 如 果 再 加 上 条 件 “ D是 BC的 中 点 ， 且 AD BC” ， 则 ABC是 等 边 三 角形 ； 如 果 再 加 上 条 件 “ AB、 AC边 上 的 高 相 等 ” ， 则 ABC是 等 边 三 角 形 其 中 正 确 的 说 法 有 （ 把 你 认 为 正 确 的 序 号 全 部 填上 ） 19 如 图 ， ABC=90 ， AB BC， D为 AC上 一 点 ， 分 别 过 C、 A作 BD的 垂线 ， 垂 足 为 E、 F， 求 证 ： EF CE AF20 如 图 ， ABC中 ， ACB 9
14、0 ， AC BC， AE是 BC边 上 的 中 线 ， 过C作 CF AE， 垂 足 为 F。 过 B作 BD BC， 交 CF的 延 长 线 于 D， （ 1） 求证 ： AE CD； （ 2） 若 AC=12cm， 求 BD的 长 21.如 图 ， ABC中 ， D是 BC的 中 点 ， EDF 90 ， 求 证 ： BE+CF EF22.（ 2001年 金 华 市 中 考 题 ） 如 图 ， AB AD， BC CD， AC、 BD相 交 于 E，由 这 些 条 件 你 能 推 出 哪 些 结 论 ？ （ 不 再 添 加 辅 助 线 ， 不 再 标 注 其 它 字母 ， 不 写 推 理
15、 只 要 求 写 出 四 个 你 认 为 正 确 的 结 论 ）【 创 新 思 维 训 练 】23 （ 2001年 天 门 市 中 考 题 ） 已 知 如 图 ： 点 C为 线 段 AB上 一 点 ， ACM、 CBN是 等 边 ， 求 证 ： AN BM说 明 及 要 求 ： 本 题 是 几 何 第 二 册 P113第 13题 ， 现 要 求 ： （ 1） 将 ACM绕 C点 按 逆 时 针 方 向 旋 转 180 ， 使 A点 落 在 CB上 ， 请 对 照 原 题 图 在下 图 中 画 出 符 合 要 求 的 图 形 ， （ 不 写 作 法 ， 保 留 作 图 痕 迹 ） ；（ 2） 在
16、 （ 1） 所 得 到 的 图 形 中 ， 结 论 “ AN BM” ， 是 否 还 成 立 ？ 若 成立 ， 请 证 明 ； 若 不 成 立 ， 请 说 明 理 由 （ 3） 在 （ 1） 得 到 的 图 形 中 ， 设 MA的 延 长 线 与 BN相 交 于 D点 ， 请 你 判 断 ABD与 四 边 形 MDNC的 形 状 ， 并 证 明 你 的 结 论 参 考 答 案【 综 合 能 力 训 练 】一 、 1.180 2.4 3.HF、 AE、 BD， C 4.1x6 5.1 6.BC=BC 7.AC=DF或 A= D或 B= E二 、 8.D 9.B 10.D 11.C 12.B 13.C三 、 14.先 证 AEH ACH， 再 证 AED ACD， 15.（ 1） 证 CAQ BPA （ 2）略 16.（ 1） 略 （ 2） 、 （ 3） 均 由 （ 1） 可 得 17.（ 略 ） 18. 19.证 ABF BCE 20.(1)由 ACE CBD得 AE=CD （ 2） BD=6cm 21.延 长 ED到 G， 使 DG=ED， 连 结 GC、 CF， 证 BED CGD 22.略23.（ 1） 略 （ 2） “ AN=BM” 成 立 （ 3） ABD是 等边 三 角 形 ， 四 边 形 MDNC是 平 行 四 边 形 。
