1、学点一,学点二,学点三,学点四,1.实数与向量的积及几何意义 （1）实数和向量a的乘积是一个 ，记 作 ，且a的长|a|= . （2）a(a0)的方向 当0时，与a 方向，当0时，与a 方向. （3）当=0或a=0时，0a= 或0= . （4）a中的实数，叫做向量a的 .数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向 或 . 2.数乘向量的运算律 设,为实数，则 (1)(+)a= ；(2)(a)= ；,向量,a,|a|,同,反,0,0,系数,放大,缩小,a+a,()a,(3)(a+b)= （分配律）. 3.平行向量基本定理：如果a=b，则ab;反之，如果ab,且b0,则一定存在准一一个
2、实数,使 . 4.a的单位向量：给定一个非零向量a，与 a 且 ,叫做向量a的单位向量. 5.轴上向量的坐标 已知轴l，取单位向量e，使e的方向与l同方向，根据向量平行的条件，对轴上任意向量a，一定 ，使a=xe.这里的单位向量e叫做轴l的 ，x叫做a在l上的 .,坐标（或数量）,a+b,a=b,同方向,长度等于1的向量,存在唯一实数x,基向量,6.轴上两个向量相等的条件是 ； 轴上两个向量和的坐标等于 . 设a=x1e,b=x2e，则a+b=(x1+x2)e. 7.轴上向量的坐标等于向量 的坐标减去 的坐标，即AB=x2-x1. 8.数轴上两点间的距离公式： .,它们的坐标相等,两个向量的坐
3、标的和,终点,始点,|AB|=|x2-x1|,化简： (4a-3b)+ b- (6a-7b) . 【分析】利用实数与向量的积的运算律化简式子.,【解析】原式= (4 a-3 b + b ） . = (4- ) a+(-3+ + ) b . = （ ） =,学点一 实数与向量的运算,【评析】由于实数与向量的积的运算与实数中代数式的化简计算十分相似，要充分利用好知识的迁移，以便更好地掌握实数与向量的运算.,【评析】用平面向量基本定理，有时可以很容易证明几何中的三点共线问题.,学点二 平面向量的共线,已知向量a,b满足：求证： 向量a和b共线.,证明： 2(a+3b)-5(a-b)=2(3a+2b)
4、， 即2a+6b-5a+5b=6a+4b， 2a-5a-6a=-6b-5b+4b， 即-9a=-7b， a= b, a与b共线.,学点三 平面几何中的向量表示,【评析】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加减法、数乘向量外，还充分利用平面几何的一些定理（本例应用相似三角形对应边成比例）.,学点四 数轴上向量的坐标运算,已知数轴上A，B两点的坐标x1,x2,根据下列各题中的已知条件，求点A的坐标x1. （1）x2=3,AB=5;（2）x2=-5,BA=-3; （3）x2=-5,|AB|=2.,（1）AB=x2-x1=3-x1=5, x1=-2. （2）BA=x1-x2=
5、x1-(-5)=-3, x1=-8. （3）|AB|=|x2-x1|=|-5-x1|=2. x1=-3或-7.,1.如何理解实数与向量的乘法？ 实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的推广.a是一个向量；a也有长度和方向，其长度等于的绝对值与a的长度的乘积，其方向与的符号有关，当=0时，a等于零向量. 2.向量共线的充要条件中起什么作用？ 两个向量共线的充要条件中的实数的作用有二：一是的符号决定着两个向量是同向还是反向；二是的绝对值决定着两个向量长度之间的倍数关系.,实数与向量的乘法是向量加减法的延伸，也是进行向量运算的基础，基本定理的引入为下一学案的学习奠定了基础，考试中常常要求用已知的向量表示未知向量，因此，要结合上学案知识，深刻理解a与a之间的关系.,祝同学们学习上天天有进步！,
