1、综合法与分析法1.了解分析法证明数学问题的格式、步骤.(重点)2.理解分析法的思考过程、特点，会用分析法证明较复杂的数学问题.(难点、易混点)基础初探教材整理 分析法阅读教材 P37P 38练习 A 以上内容，完成下列问题.1.定义：分析法是从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.具体地说，分析法是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.2.分析法的推证过程 B（结 论 ）B1B2 BnA（已 知 ）判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)分析法就是从结论推向已知.( )(2)分析法的推理过程要比综合法优越.( )(3)并不是所有证明的题目
2、都可使用分析法证明.( )【解析】 (1)错误.分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程.(2)错误.分析法和 综合法各有优缺点.(3)正确.一般用 综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明.【答案】 (1) (2) (3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型应用分析法证明不等式已知 ab0，求证： b0，同时除以 ，得 2 ，a b a a b b即证 b0， 原不等式成立，即 0，求证： a 2.a2 1a2 2 1a【证明】
3、 要证 a 2，a2 1a2 2 1a只需证 2a ，a2 1a2 1a 2即证 ，(a2 1a2 2)2 (a 1a 2)2 即 a2 4 4a 2 2 4，1a2 a2 1a2 1a2 2(a 1a)只需证 2 .a2 1a2 2(a 1a)只需证 4 2 ，(a2 1a2) (a2 2 1a2)即 a2 2.1a2上述不等式显然成立，故原不等式成立.用分析法证明其他问题求证：以过抛物线 y22px (p0)焦点的弦为直径的圆必与直线x 相切.p2【精彩点拨】 【自主解答】 如图所示，过点 A，B 分别作 AA，BB 垂直准线于点A，B，取 AB 的中点 M， 作 MM垂直准线于点 M.要
4、证明以AB 为直径的 圆与准线相切，只需证|MM| |AB|.由抛物 线的定义有12|AA|AF|，|BB |BF |，所以|AB| |AA| BB|，因此只需证|MM| (|AA| BB|).12根据梯形的中位线定理可知上式是成立的，所以以过抛物线 y22px 焦点的弦为直径的圆必与直线 x 相切.p21.分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法.2.分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等.再练一题2.已
5、知 1，求证：cos sin 3(cos sin ). 1 tan 2 tan 【证明】 要证 cos sin 3(cos sin )，只需证 3，只需 证 3，cos sin cos sin 1 tan 1 tan 只需证 1tan 3(1tan )，只需证 tan .12 1， 1tan 2tan ，即 2tan 1.1 tan 2 tan tan 显然成立， 结论 得证.12探究共研型综合法与分析法的综合应用探究 1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情
6、推理中的“猜想”.探究 2 综合法与分析法有什么区别？【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.在某两个正数 x， y 之间，若插入一个数 a，则能使 x，a，y 成等差数列；若插入两个数 b，c，则能使 x，b，c，y 成等比数列，求证： (a1)2(b 1)(c 1).【精彩点拨】 可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来.【自主解答】 由已知条件得 2a x y，b2 cx，c2 by. )消去 x，y 得 2a ，b2c c2b且 a0，b0，c0.要证(a 1) 2 (b1)
7、( c1)，只需证 a1 ，因 ，（b 1）（c 1） （b 1）（c 1）（b 1） （c 1）2只需证 a1 ，b 1 c 12即证 2abc .由于 2a ，b2c c2b故只需证 bc ，b2c c2b只需证 b3c 3(bc )(b2c 2bc) (bc)bc，即证 b2c 2 bcbc，即证(bc) 20.因为上式显然成立，所以(a1) 2(b1)( c1).综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间
8、结论 P；若由 P 可推出 Q，即可得证.再练一题3.已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，求证： 1a b 1b c.3a b c【证明】 要证 ，1a b 1b c 3a b c即证 3，a b ca b a b cb c即证 1，ca b ab c只需证 c(bc )a(ab)(ab)( bc)，只需证 c2a 2ac b 2.A，B，C 成等差数列，2BAC，又 AB C180， B60.c2a 2b 22ac cos B，c2a 2b 2ac ，c2a 2ac b 2， 成立.1a b 1b c 3a b c构建体系1.要证明 2 ，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(
9、 )2 7 3A.综合法 B.分析法C.比较法 D.归纳法【解析】 由分析法和综合法定义可知选 B.【答案】 B2.已知 a0，b0，且 ab2，则( )A.a B.ab12 12C.a2 b22 D.a2b 23【解析】 ab22 ，ab1.aba2b 242ab， a2b 22.【答案】 C3. 0 B.ab0 且 abC.ab0，b0，c0，若 abc 1，则 的最小值为_. 1a 1b 1c【解析】 因为 abc1，且 a0，b0，c0 ，所以 1a 1b 1c a b ca a b cb a b cc3 ba ab cb bc ac ca32 2 2baab caac cbbc369
10、.当且仅当 abc 时等号成立 .【答案】 95.已知 a，b，c R 且不全相等，求证：a 2b 2c 2abbcca .【证明】 法一：(分析法)要证 a2b 2c 2abbcca，只需证 2(a2b 2c 2)2(abbcca )，只需证(a 2b 22ab) (b 2c 22bc)(c 2a 22ca)0，只需证(ab) 2(bc )2(ca) 20，因为 a，b，c R，所以(a b) 2 0，(bc )20，(ca) 20.又因为 a，b，c 不全相等 ，所以(a b) 2 (bc )2(ca) 20 成立.所以原不等式 a2b 2c 2abbcca 成立.法二：(综合法)因为 a，b，c R，所以(a b) 2 0，(bc )20，(ca) 20.又因为 a，b，c 不全相等 ，所以(a b) 2 (bc )2(ca) 20，所以(a 2b 22ab) (b 2c 22bc)(c 2a 22ca)0，所以 2(a2b 2c 2)2(abbcca ).所以 a2b 2c 2abbcca.
