1、综合法与分析法教学设计1 .教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力； 以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。2 .教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点3 .教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点4 .教具准备：与教材内容相关的资料。5 .教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。6 .教学过程：学
2、生探究过程：1 .综合法综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：P=Q1(Q1=Q2)Q2=Q3 . Qn=Q综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发， 利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 .例1、在4ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成 等比数列，求证 ABC为等边三角形.分析：将 A , B , C成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为 ABC的内角，这是一
3、个隐含条件，明确表示出来是 A + B + C =兀；a , b, c成等比数列，转化为 符号语言就是b2 =ac.此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之 间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具 进行证明.解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语 言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来.例2、已知a,bw r+,求证aabb之abba.本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1）差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设a b0.b b a _
4、ba_b=a b (a - b ) _ 0从而原不等式得证。a -b _0a b b aa b -a b2）商值比较法：设a b 0,a b丫 a 1,a -b 0,a-b- =（a）a” 之1.故原不等式得证。babbab注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。讨论：若题设中去掉 x =1这一限制条件，要求证的结论如何变换？2 .分析法证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q出发，反推回去，寻求保证 Q成立的条件， 明式2成立，再去寻求式 2成立的充分条件 3、定理、定义、公理等）为止.乞，再去 寻求式1成立的充分条件式 2
5、 ;为了证 直到找到一个明显成立的条件（已知条即 使Q成立的充分条件 1 .为了证明式1成立，分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法.用分析法证明不等式的.逻辑关系是：（QU P 广（PU P2）.（用口田 旧口 P）分析法的思维特点是：执果索因 .分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题 B为真，从而有这只需要证明命题 b2为真，从而又有这只需要证明命题 A为真.而已知A为真，故命题B必为真.例3、求证，3十J7 25证明：因为 J3 + J7和2/5都是正数，所以为了证明 ；3+J72j5只需证明(,3,7)2 :二(2,5)2展开得 10 2 21 20即 2 21 ：二10,21 ：二25因为21 25成立，所以(J3 + J7)2 (2，5)2 成立即证明了 .3.7 ： 2.5说明：分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法.分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题 B为真,这只需要证明命题B1为真，从而有这只需要证明命题B2为真，从而又有这只需要证明命题A为真而已知A为真，故B必真 巩固练习 教学反思
