1、 第 9 讲 函数模型及其应用一、填空题1某商场在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定如一次购物不超过 200 元，不给予折扣；如一次购物超过 200 元而不超过 500 元，按标准价给予九折优惠；如一次购物超过 500 元，其中 500 元的部分给予九折优惠，超过 500 元的剩余部分给予八五折优惠某人两次去购物，分别付款 176 元和 432 元如果他只去一次购买同样的商品，则他应该付款为_元解析 设购物应付款 x 元，实际付款 y 元，则由题意知yError!，那么该人两次实际购物应付款分别为 x1176 元，x 24320.9480 元，则 x1x 2656 元，如果他只去一次，则
2、应该付款 y0.8565625582.6 元答案 582.6中华.资*源%库 2从盛满 20 升纯消毒液的容器中倒出 1 升，然后用水加满，再倒出1 升，再用水加满这样继续下去，则所倒次数 x 和残留消毒液 y 之间的函数解析式为_解析 所倒次数 1 次，则 y19；所倒次数 2 次，则 y19 ，所倒次数 x 次，1920则 y19 x1 20 x.(1920) (1920)答案 y20 x(1920)3为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下明文 密文 密文 明文 加 密 发 送 解 密 已知加密为 ya x2(x 为明文， y 为密文)，如果明文“3”通过加
3、密后得到密文为“6” ，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为 “14”，则原发的明文为_$来&源：解析 依题意 ya x2 中，当 x3 时，y6，故 6a 32，解得 a2.所以加密为y2 x2，因此，当 y14 时，由 142 x2，解得 x4.答案 44某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a 元，每期利率为 r，存期是 x，本利和(本金加利息)为 y 元，则本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式为_$来&源：解析 已知本金为 a 元，利率为 r，则1 期后本利和为 yaara(1r) ，2 期后本利和为 ya(1 r) a(1r) ra(1r) 2，3 期后本利和为
4、ya(1 r) 3，x 期后本利和为 ya(1r) x，xN *.答案 ya(1 r) x，xN *5. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图) ，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分) 备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x，y 应分别为_中/华 -资*源% 库解析 由三角形相似，得 ，得 x (24y)，所以24 y24 8 x20 54Sxy (y12) 2180，所以当 y12 时，S max180，此时 x15.54答案 15,126将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线 yae nt.若 5 分钟后
5、甲桶和乙桶的水量相等，又过了 m 分钟后甲桶中的水只有 升，则 m 的值为_ a8解析 令 aae nt，即 e nt，因为 e 5n，故 e 15n，比较知 t15，m15510.18 18 12 18答案 107小王每月除去所有日常开支，大约结余 a 元小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行 a 元，存期 1 年(存 12 次) ，到期取出本和息假设一年期零存整取的月利率为 r，每期存款按单利计息那么，小王的存款到期利息为_元解析 依题意得，小王存款到期利息为 12ar11ar10ar3ar2ararar78ar 元1212 12答案 78ar8一个工厂生产某种产品每年需
6、要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元，年产量为 x(xN *)件当 x20 时，年销售总收入为(33 xx 2)万元；当x20 时，年销售总收入为 260 万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y万元，则 y(万元)与 x(件)的函数关系式为_，该工厂的年产量为 _件时，所得年利润最大(年利润年销售总收入一年总投资)解析 本题考查了函数的实际应用当 x20 时，y (33xx 2)x100x 232x 100；当 x20 时，y260100x160x.故yError!(xN *)当 020时，160x ，即 f(x) 不恒成立，115 105 x5故函数模型 y 2 不符合公司要求x150(2)对于函数模型 yg(x) ，10x 3ax 2即 g(x)10 ，3a 20x 2当 3a200，即 a 时递增，203为使 g(x)9 对于 x10,1 000恒成立，即要 g(1 000)9,3a181 000，即 a ，9823为使 g(x) 对于 x10,1 000恒成立，x5即要 5，即 x248x15a0 恒成立，10x 3ax 2即(x24) 215a5760(x 10,1 000)恒成立，又 2410,1 000，故只需 15a5760 即可，所以 a .1925综上，a ，故最小的正整数 a 的值为 39.1925
