1、选修 2-3 第二章 2.3 2.3.3 一、选择题1已知随机变量 X 的分布列是X 1 2 3P 0.4 0.2 0.4则 E(X)和 D(X)分别等于( )A1 和 0 B1 和 1.8 C2 和 2 D2 和 0.8答案 D解析 E( X)10.420.2 30.42，D(X)(21) 20.4(22) 20.2(23) 20.40.8.2已知随机变量 X 的分布列为X 0 1 2P 715 715 115且 2X3，且 E()等于( )A B 35 65C D215 125答案 C解析 E( X)0 1 2 ，175 715 115 35E( )E (2X3)2E (X)3 .2153
2、某人从家乘车到单位，途中有 3 个交通岗假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是 0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( )A0.4 B1.2 C0.4 3 D0.6答案 B解析 途中遇红灯的次数 X 服从二项分布，即 XB (3,0.4)，E(X )30.41.2.4已知 X 的分布列为X 1 0 1P 12 13 16若 2X2，则 D()的值为( )A B 13 59C D109 209答案 D解析 E( X)1 0 1 ，D (X)12 13 16 13 2 2 2 ，( 1 13) 12 (0 13) 13 (1 13) 16 59D()D(2 X2)4D(X) .4
3、59 2095(2013景德镇市高二期末) 随机变量 X 服从二项分布 XB(n，p)，且 E(X)300，D( X) 200，则 P 等于( )A B0 23C1 D13答案 D解析 X B(n，p)，E( X)300，D (X)200，Error!p .136(2013山西模拟)某班举行了一次 “心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给 A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学若小组内同学甲猜对成语的概率是 0.4，同学乙猜对成语的概率是 0.5，且规定猜对得 1 分，猜不对得 0 分，则这两个同学各猜 1 次，得分之和 X(单位：分 )的数学期望为(
4、)A0.9 B0.8 C1.2 D1.1答案 A解析 X 的取值为 0、1、2 ，P(X0)(10.4)(10.5) 0.3，P(X1)0.4(10.5)(10.4)0.50.5，P(X2)0.40.50.2，E(X )00.310.52 0.20.9.二、填空题7牧场的 10 头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为 0.02，设发病牛的头数为 X，则 D(X)等于_答案 0.196解析 由题意知，随机变量服从二项分布，所以 D(X)npq100.02(10.02)0.196.8某次考试中，第一大题由 12 个选择题组成，每题选对得 5 分，不选或选错得 0分小王选对每题的概
5、率为 0.8，则其第一大题得分的均值为_答案 48解析 设小王选对个数为 X，得分为 5X，则 XB(12,0.8)，E(X) np120.89.6，E()E (5X) 5E(X)59.648.三、解答题9(2014豫东、豫北十所名校联考) 为了解当前国内青少年网瘾的状况，探索青少年网瘾的成因，中国青少年网络协会调查了 26 个省会城市的青少年上网情况，并在已调查的青少年中随机挑选了 100 名青少年的上网时间作参考，得到如下的统计表格，平均每天上网时间超过了 2 个小时可视为“网瘾”患者.时间(单位：小时) 0,1 (1,2 (2,3 (3,4 (4,5 (5,6 (6,12人数 52 23
6、 10 5 4 4 2(1)以该 100 名青少年来估计中国青少年的上网情况，则在中国随机挑选 3 名青少年，求至少有一人是“网瘾”患者的概率；(2)以该 100 名青少年来估计中国青少年的上网情况，则在中国随机挑选 4 名青少年，记 X 为 “网瘾”患者的人数，求 X 的分布列和数学期望解析 (1)由题意得，该 100 名青少年中有 25 个是“网瘾”患者设 Ai(0 i3) 表示 “所挑选的 3 名青少年有 i 个青少年是网瘾患者” ， “至少有一人是网瘾患者”记为事件 A，则 P(A)P(A 1)P(A 2)P (A3)1P( A0)1( )3 .75100 3764(2)X 的可能取值
7、为 0、1、2、3、4，P(X0)( )4 ，34 81256P(X1)C ( )3( ) ，1434 14 2764P(X2)C ( )2( )2 ，2434 14 27128P(X3)C ( )( )3 ，3434 14 364P(X4)C ( )4 .414 1256X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 81256 2764 27128 364 1256则 E(X)0 1 2 3 4 1.81256 2764 27128 364 125610根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量 X X300 300X700 700X900 X900工期延误
8、天数 Y 0 2 6 10历年气象资料表明，该工程施工期间降水量 X 小于 300、700、900 的概率分别为0.3、0.7、0.9.求：(1)工期延误天数 Y 的均值与方差；(2)在降水量 X 至少是 300 的条件下，工期延误不超过 6 天的概率分析 (1)利用概率的加法公式及对立事件求分布列，再求均值与方差(2)利用条件概率公式求解解析 (1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X300)0.3，P(300X700)P( X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P( X700)0.90.70.2.P(X900)1P(X900)10.90.1.所以 Y
9、 的分布列为：Y 0 2 6 10P 0.3 0.4 0.2 0.1于是，E( Y)00.320.460.2100.13；D(Y)(03) 20.3(2 3) 20.4(63) 20.2(103) 20.19.8.故工期延误天数 Y 的均值为 3，方差为 9.8.(2)由概率的加法公式，P(X300) 1P(X300)0.7，又 P(300X900)P(X900)P( X300)0.90.30.6.由条件概率，得 P(Y6|X300) P (X900|X300) .P300 x900PX 300 0.60.7 67故在降水量 X 至少是 300mm 的条件下，工期延误不超过 6 天的概率是 .
10、67点评 本题考查随机变量的分布列与均值、方差、条件概率等知识，考查抽象概括能力与计算能力一、选择题11已知 X 服从二项分布 B(n，p) ，且 E(3X2)9.2，D(3X2)12.96，则二项分布的参数 n、p 的值为( )An4，p0.6 Bn6，p0.4Cn8，p0.3 Dn24，p0.1答案 B解析 由 E(3X2)3E( X)2，D (3X2)9D(X)，及 X B(n，p)时，E(X)np，D( X)np (1p)可知Error!Error!12已知某班有 6 个值日小组，每个值日小组中有 6 名同学，并且每个小组中男生的人数相等，现从每个小组中各抽一名同学参加托球跑比赛，若抽
11、出的 6 人中至少有 1 名男生的概率为 ，则该班有男生( ) 人( )728729A24 B18 C12 D6答案 A解析 设每个小组抽一名同学为男同学的概率为 p，则由已知 1(1p) 6 ，即728729(1p) 6 ，解得 p ，所以每个小组有 6 4 名男生，全班共有 24 名男生1729 23 2313有 10 张卡片，其中 8 张标有数字 2,2 张标有数字 5，从中任意抽出 3 张卡片，设3 张卡片上的数字之和为 X，则 X 的数学期望是( )A7.8 B8 C16 D15.6答案 A解析 X 的取值为 6、9、12 ，P(X6) ，C38C310 715P(X9) ，P (X
12、 12) .C28C12C310 715 C18C2C310 115E(X)6 9 12 7.8.715 715 115二、填空题14在一次商业活动中，某人获利 300 元的概率为 0.6，亏损 100 元的概率为 0.4，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是_答案 140解析 设此人获利为随机变量 X，则 X 的取值是 300， 100，其概率分布列为：X 300 100P 0.6 0.4所以 E(X)3000.6(100)0.4140.15若 X 的分布列如下表：X 1 2 3 4P 14 14 14 14则 D _.(14X)答案 564解析 E( X) (1234) ，14 52D(
13、X) (1 52)2 (2 52)2 (3 52)2 (4 52)2 ，14 54D D(X) .(14X) 116 564三、解答题16袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n1,2,3,4) 现从袋中任取一球， 表示所取球的标号(1)求 的分布列、均值和方差；(2)若 a b，E()1，D ()11，试求 a、b 的值解析 (1) 的分布列为： 0 1 2 3 4P 12 120 110 320 15E()0 1 2 3 412 120 110 320 151.5.D()(01.5) 2 (11.5) 2 (21.5) 2 (3 1.5)
14、2 (4 1.5) 212 120 110 320 152.75.(2)由 D()a 2D()，得 a22.7511，即 a2.又 E()aE() b，所以当 a2 时，由 121.5b，得 b2；当 a2 时，由 121.5b，得 b4，Error!或Error!即为所求17下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨) 的频率分布直方图(1)求直方图中 x 的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 3 位居民( 看作有放回的抽样)，求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望分析 (1)由频率和为 1，列式求出 x 的值；(2)从图中知用水为 3 至
15、4 吨的概率为0.1，又本抽样为有放回抽样，故 XB(3,0.1)，其中 X0,1,2,3.解析 (1)依题意及频率分布直方图知，(0.020.1x 0.370.39) 11，解得x0.12.(2)由题意知，XB(3,0.1) 因此 P(X0)C 0.930.729，03P(X1)C 0.10.920.243，13P(X2)C 0.120.90.027，23P(X3)C 0.130.001.3故随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P 0.729 0.243 0.027 0.001X 的数学期望为 E(X)30.10.3.点评 本题通过频率分布直方图，将统计知识与概率结合起来考查了二项分布，离散型随机变量的分布列与数学期望(均值)
