1、物理学、力学、工程科学甚至经济和社会科学中等许多问题都可以归结为偏微分方程的定解问题。第二章中我们讨论了怎样将一个物理问题表达为定解问题，这一章以及以下几章的任务是怎样去求解这些定解问题，也就是说在已经列出方程和定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解 .从微积分学得知，在计算诸如多元函数的微分和积分（重积分等）时总是把它们转化为单元函数的相应问题来解决，与此类似，求解偏微分方程的定解问题也可以设法把它们转化为常微分方程的定解问题来求解。 分离变量法就是这样一种常用的转化方法。在这一章中，我们将通过一些实例，讨论分离变量法及其应用。 3.1 （ 1+1）维齐次方程的分离变量法一、有界
2、弦的自由振动由第 2章的讨论可知，讨论两端固定弦的自由振动规律问题可以归结为求解下列定解问题：这个问题的特点是，偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题可以运用叠加原理。我们知道，在求解常系数齐次常微分方程的初值问题时，是在先不考虑初始条件的情况下，求出满足方程的足够多的特解，再利用叠加原理做出这些特解的线性组合，构成方程的通解，然后利用初始条件来确定通解中的任意常数，得到初值问题的特解。这就启发我们要求解定解问题（ 2.1.1） （ 2.1.3），须首先寻求齐次方程（ 2.1.1）满足边界条件（ 2.1.2）的足够多的具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们做线性
3、组合，得到方程满足边界条件的一般解，再使这个一般解满足初始条件（ 2.1.3）。这种思想方法，还可以从物理模型中得到启示。从物理学知道，乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的声音，每种频率的单音，振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间 t，每个单音可以表示为的形式，这种形式的特点是 u（ x， t）中的变量 x和 t被分离出来了。当 ，它平均收敛于式（ 3.1.12）所给的形式解 u（ x， t）。由于 （ x， t）既满足方程（ 3.1.1）及边界条件（ 3.1.2），又近似地满足初始条件（ 3.1.3），所以当 n很大时，可以把（ x， t）看成是原问题的近似解。作为近似解平均收敛的极限 u（ x， t），当然也是很有意义的。此外，从上述求解偏微分方程的方法来看，在大多数情况下，也都是先求形式解，然后在一定条件下验证这个形式解就是古典解。这个验证的过程称为综合工作，鉴于篇幅和讲授时间的限制，也因为本书中所讨论的问题都是经典问题，在今后的叙述中，都不去做这个综合工作。也不去讨论所得的形式解成为古典解时需要附加的条件，只要求得了形式解，就认为问题得到了解决。从前面的运算过程可以看出，用分离变量法求解定解问题的关键步骤是确定固有函数和运用叠加原理。这些运算之所以能够进行，是因为所讨论的偏微分方程和边界条件都是线性齐次的，这是使用分离变量法的基础，希望读者注意。二、有限长杆上的热传导
