1、2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法一、二阶矩阵1.矩阵的概念 (2, 3)，将 的坐标排成一列，并简记为OP OP 2323某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛 复赛甲 80 90乙 86 88 概念一：象 的矩形数字（或字母）阵列称为 矩阵.通常用大写的拉丁23 8096234m字母 A、B、C表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.名称介绍：上述三个矩阵分别是 21 矩阵，22 矩阵（二阶矩阵） ，23 矩阵，注意 行的个数在前。矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为 AB。行矩阵：a 11,a12（仅有一行）列矩阵： （仅有一列）a11a
2、21向量 （x,y） ，平面上的点 P（x,y）都可以看成行矩阵 或列矩阵 ，在本书中 ,xyxy规定所有的平面向量均写成列向量 的形式。xy练习 1：1.已知 , ，若 A=B，试求243xA21zBzyx,2 3 m3 2 4yx23O(2, 3)2380 9086 881,4xyz简记为 234m2.设 ， ，若 A=B，求 x,y,m,n 的值。23xAy2mnxyB概念二：由 4 个数 a,b,c,d 排成的正方形数表 称为二阶矩阵。a,b,c,d 称为矩阵的元素。abcd零矩阵：所有元素均为 0，即 ，记为 0。二阶单位矩阵： ，记为 E2.1二、二阶矩阵与平面向量的乘法定义：规定
3、二阶矩阵 A= ，与向量 的乘积为 ，即 abcdxyaxbyAcdAabcdxyy练习 2：1.（1） 130（2） 32. = ，求10yx1yx三、二阶矩阵与线性变换1.旋转变换问题 1:P（x,y）绕原点逆时针旋转 180o得到 P(x,y),称 P为 P 在此旋转变换作用下的象。其结果为 ，也可以表示为 ，即 怎xy0xyx10yx么算出来的？问题 2. P（x,y ）绕原点逆时针旋转 30o得到 P(x,y),试完成以下任务 写出象 P； 写出30o这个旋转变换的方程组形式；写出矩阵形式.问题 3.把问题 2 中的旋转 30o改为旋转 角，其结果又如何？2.反射变换定义：把平面上任
4、意一点 P 对应到它关于直线的对称点 P的线性变换叫做关于直线的反射。研究：P（x,y）关于 x 轴的反射变换下的象 P(x,y)的坐标公式与二阶矩阵。3.伸缩变换定义：将每个点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标变为原来的 倍， （ 、 均不为 0） ，1k2k12k这样的几何变换为伸缩变换。试分别研究以下问题：.将平面内每一点的纵坐标变为原来的 2 倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵. 将每个点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标变为原来的 倍的伸缩变换的坐标公式与1k2k二阶矩阵.4.投影变换定义：将平面上每个点 P 对应到它在直线上的投影 P（即垂足） ，这个变换称为关于直线的投影变换。
5、研究：P（x,y）在 x 轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。5.切变变换定义：将每一点 P（x,y）沿着与 x 轴平行的方向平移 个单位，称为平行于 x 轴的切变变ky换。将每一点 P（x,y）沿着与 y 轴平行的方向平移 个单位，称为平行于 y 轴的切变变换。x研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。练习：P 10 1.2.3.4 四、简单应用1.设矩阵 A= ，求点 P(2,2)在 A 所对应的线性变换下的象。10练习：P 13 1.2.3.4.5【第一讲.作业】1.关于 x 轴的反射变换对应的二阶矩阵是 2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转 120o的旋转变换对应的二阶矩
6、阵是 3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是 4.平面内的一种线性变换使抛物线 的焦点变为直线 y=x 上的点，则该线性变换对应2yx的二阶矩阵可以是 5.平面上一点 A 先作关于 x 轴的反射变换，得到点 A1,在把 A1绕原点逆时针旋转 180o，得到点 A2，若存在一种反射变换同样可以使 A 变为 A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是 6.P（1，2）经过平行于 y 轴的切变变换后变为点 P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为 7. 设 ， ，且 A=B.则 x x224zxB8.在平面直角坐标系中，关于直线 y=-x 的正投影变换对应的矩阵为 9.在矩阵 对
7、应的线性变换作用下，点 P(2,1)的像的坐标为 12A10.已知点 A（2，1） ，B（2，3） ，则向量 在矩阵 对应的线性变换下得到AB120的向量坐标为 11.向量 在矩阵 的作用下变为与向量 平行的单位向量，则 a011a12.已知 ， ， ，设 ， ，求 ，15234Aab34abA；13.已知 ， ， ，若 与 的夹角为 135o，求 x.102Aa1bxAab14.一种线性变换对应的矩阵为 。若点 A 在该线性变换作用下的像为（ 5，5）,10求电 A 的坐标；解释该线性变换的几何意义。15.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为 。求点 A（1/5,3）在012该变换作用下的像；圆 上任意一点 在该变换作用下的像。21xy0(,)Pxy答案：1. 2. 3. 4. 5. 6. 10321360oRa102xy7.1 8. 9.（0，5） 10.（2，8） 11. ， 12. 、21 27189413.2/3 14.(5,y) 15. ,1532oxy
