1、1等差数列【知识概要】1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） 奎 屯王 新 敞新 疆 1）公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；2）对于数列 ,若 =d (与 n 无关的数或字母 )，n2，nN ，则此数列是na1n 等差数列，d 为公差；3）常数 d 可以等于 0，此时等差数列为常数列.2. 等差中项若 ，A， 成等差数列，那么 A 叫做 与 的等差中项 奎 屯王 新 敞新 疆abab1）不难发现，在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列的
2、末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；2）A= 是 a, A, b 成等差数列的充要条件；3）对任意两个实数的等差中项是唯一的.3. 等差数列的通项公式及递推公式1）等差数列的通项公式 ； dnan)1(nadm)(注： ，即：m1 m)1(1则： =n)( ndam)()(即的第二通项公式 ： d= anm2）等差数列的递推公式 *1()nadN3）等差数列的单调性 0;n0;nad24. 等差数列前 项和公式n1）公式 1： 公式 2： 2)(1naS2)1(1dnaSn注：公式 1 nn 13122aaSn+： )()()()(22311 nnnn a 2312na 由此得：)(2
3、1nnS)(1nnaS公式 2 用上述公式要求 必须具备三个条件：n n,1但 代入公式 1 即得： dan)1(2)(daSn此公式要求 必须已知三个条件： （有时比较有用）nSd,2）数列的通项公式 与 的关系：na1()2nnSa5. 等差数列前 项和公式 的性质nS1）项数（下标）的“等和性”： 2)(1nna1()2mna2）项的个数的奇偶性：等差数列 中，公差为 ，则有nd 若共有 项，则n21 1();:.n nSaSnSa 偶 奇 偶 奇 ： 若共有 项，则11 1().n偶 奇 偶 奇 ：3） “片段和性质”：依次取出等差数列的连续几项的和也构成一个等差数列。【精讲精练】1.
4、 等差数列的判定方法3（1）定义法: (常数) 是等差数列；1nadna（2）等差中项法： 是等差数列；22n（3）通项法： （ 为常数） 是等差数列；nkb,n（4）若 为等差数列， ，则 ， 等也是等差数列；anakb若 ， 为等差数列，则 也是等差数列.n 2. 对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用 :na当 0，d0 ，前n项和有最小值 奎 屯王 新 敞新 疆 可由 0，且 0，求得n的值 奎 屯王 新 敞新 疆n（2） 利用 ： 二次函数配方法求得最值时 n的值 奎 屯王 新 敞新 疆S)2da(12例 1 下列数列一定不是等差数列的是（ ）A. 0 , 1, 2 ,
5、3 , B. -1 , -3 , -5 , -7 ,C. 3 , 5, 8 , 11 , D. 541763例 2 如数列：1，3，5，7，9，11，13中5 是 3 和 7 的等差中项，1 和 9 的等差中项 奎 屯王 新 敞新 疆9 是 7 和 11 的等差中项，5 和 13 的等差中项 奎 屯王 新 敞新 疆看来， 73645142,aaa思考：通过此例题可以得出什么结论？性质：在等差数列中，若 m+n=p+q，则， qpnm即 m+n=p+q (m, n, p, q N ) qpnmaa但通常 由 推不出 m+n=p+q ， nma例 3 在等差数列 中，已知 ， ，求 , ,na10
6、52a1dn20解法一： ， ，则1052431041da321da53)1(ndan5920解法二： 371071 d 奎 屯王 新 敞新 疆820da 5)12(2nan小结：第二通项公式 mn)(例 4 等差数列 中， + + =12, 且 =80. 求通项 na135a1a35na分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题 奎 屯王 新 敞新 疆 而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来 奎 屯王 新 敞新 疆解： + =2 153 820804122a 51531 33 aa=10, =2 或 =2, =10515 d= d=3 或315a
7、=10+3 (n1) = 3n 13 或 =2 3 (n 1) = 3n+5n na例 5 在等差数列 中, 已知 450, 求 及前 9 项和na345672a8.9S解：由等差中项公式： 2 ， 2375a465由条件 450, 得3a4565 450, 90, 2 180.85 9S12345a67a9( )( )( )( ) 9 810.a983465a例 6 已知数列 的前 项和 ，求这个数列的通项 .n 210nS5解： *10()2,nnaN注： 由 求 的时候，要注意分 两种情况；nS1,2n 若数列 的前 项和为 ，则 一定不是等差数列，但从a2(0)abcna第二项开始是等
8、差数列例 7 根据数列 的前 项和公式，判断下列数列是否是等差数列na1） ； 2） ；2nS21nS解：1）是 2）不是例 8 求：1）一个项数为 36 的等差数列前四项和为 21，末四项和为 67，求 ；36S2）已知等差数列 前 项和为 ，前 项和为 ，求它的前 项和；nama2bm3）项数为奇数的等差数列 中，奇数项之和为 80，偶数项之和为 75，求此数列的n中间项与项数；解：1）396 2）3（ ） 3）31 项，ba165a例 9 一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差 d.解：设这个数列的首项为 , 公差为 d，则偶
9、数项与奇数项分别都是公差为 2d 的等1a差数列，由已知得 , 解得 d5.273065412d解法 2：设偶数项和与奇数项和分别为 S 偶，S 奇，则由已知得 ,求27354奇偶 奇偶 S得 S 偶192， S 奇162，S 偶S 奇6d, d5.6例 10 一个等差数列的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，求它的前 110 项和 奎 屯王 新 敞新 疆解：在等差数列中，, , , , , , 成等差数列，10S2103S2010S910S 新数列的前 10 项和原数列的前 100 项和，10 D 10, 解得 D2210910 10D120, 110.S10S例11 已知等
10、差数列 中 =13且 = ,那么n取何值时, 取最大值.na131n解法1：设公差为d，由 = 得：S313+32d/2=1113+1110d/2d= -2, =13-2(n-1), =15-2n,nana由 即 得：6.5n7.5,所以n=7时, 取最大值.01n0)1(25 nS解法2:由解1得d= -2,又a 1=13所以= - n +14 n)da(S2n2= -（n-7） +49当n=7， 取最大值 奎 屯王 新 敞新 疆n例12 设等差数列 的前n项和为 ，已知 12， 0， 0, 0,13S77a12S6a76a 0, 最大.6a6【基础夯实】71. 若数列a n的通项公式是 a
11、n=2(n1) 3，则此数列 ( A )(A)是公差为 2 的等差数列 (B)是公差为 3 的等差数列(C) 是公差为 5 的等差数列 (D)不是等差数列2. 等差数列a n中，a 1=3,a100=36,则 a3a 98 等于( C )(A)36 (B)38 (C)39 (D)423. 在等差数列a n中，公差为 d，已知 S104S 5，则 是( A )da1(A) (B)2 (C) (D)421 44. 设a n是公差为 2 的等差数列，如果 a1+ a4+ a7+ a97=50，则 a3+ a6+ a9+ a99= ( C )(A)182 (B)80 (C)82 (D)845. 数列a
12、 n的通项公式 ，已知它的前 n 项和为 Sn=9，则项数 n= nn1( C )(A)9 (B)10 (C)99 (D)1006. 在项数为 2n+1 的等差数列中，若所有奇数项的和为 165，所有偶数项的和为 150，则 n等于 ( B )(A)9 (B)10 (C)11 (D)127. 等差数列a n 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为( C )(A)130 (B)170 (C)210 (D)1608. an是公差为 2 的等差数列， a1+a4+a7+a97=50，则 a3+a6+ a99= ( D )(A)50 (B)50 (C)16 (D)1.
13、829. 夏季高山上温度从山脚起每升高 100 米，降低 0.7，已知山顶的温度是 14.1，山脚的温度是 26，则山的相对高度是 ( D )(A)1500 (B)1600 (C)1700 (D)180010. 数列 an中，若 a1,a2,a3 成等差数列,a 2,a3,a4 成等比数列,a 3,a4,a5 的倒数又成等差数列，则a1,a3,a5 成_ 数列. 答案：等比11. 数列前 n 项和为 Sn=n2+3n,则其通项 an 等于_. 答案：2n+212. 等差数列a n中, 前 4 项和为 26, 后 4 项之和为 110, 且 n 项和为 187, 则 n 的值为_. 答案：11.
14、13. 已知等差数列 an的公差 d0, 且 a1,a3,a9 成等比数列, 的值是_. 1042931a答案： 136【巩固提高】814已知 a、b、c 的倒数成等差数列，求证： ， ， 的倒数也acbbca成等差数列 奎 屯王 新 敞新 疆分析：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数 x、y、z 成等差数列的充要条件：x+y=2z 奎 屯王 新 敞新 疆证明：因为 a、b、c 的倒数成等差数列 ，即 2ac=b(a+c)cab12又 + = -2acb)()(= -2= -2 ac)(2c22= -2= -2 = -2=2)()(2bbc)(ba)(所以 ， ， 的倒数也成等差数
15、列 奎 屯王 新 敞新 疆acca15. 己知 为等差数列， ，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原n12,3数列的数构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第 12 项是新数列的第几项？ （2）新数列的第 29 项是原数列的第几项？ 解：设新数列为 ,4,)1(,3,2, 1551 dbnbabbn 有根 据则即 3=2+4d， ，4d17()4n，1()na又 3n即原数列的第 n 项为新数列的第 4n3 项（1）当 n=12 时，4n3=4123=45，故原数列的第 12 项为新数列的第 45 项；（2）由 4n3=29,得 n=8，故新数列的第 29 项是原数列的第 8 项。16.
16、设等差数列 的前项的和为 S n ,且 S 4 =62, S 6 =75,求：na（1） 的通项公式 a n 及前项的和 S n ；（2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+|a 14 |.解：设等差数列首项为 a1，公差为 d，依题意得 75162da解得：a 1=20,d=3。 ；)30(2)(,3)(1 nSndnn 24n 120,a的 项 随 着 的 增 大 而 增 大 2,(),(),7kakkkZ设 且 得 且 即 第 项 之 前 均 为 负 数 1231418914| )aa .47S17. 某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用 12 万元，以后每年
17、都增9加 4 万元，每年捕鱼收益 50 万元，（）问第几年开始获利？（）若干年后，有两种处理方案：（1）年平均获利最大时，以 26 万元出售该渔船；（2）总纯收入获利最大时，以 8 万元出售该渔船.问哪种方案合算.解：（）由题设知每年费用是以 12 为首项，4 为公差的等差数列， 设纯收入与年数的关系为 f(n) 获利即为 f(n)098209)(16250)( nnnf 2,984即解之得： 又 nN， n=3，4，171.7.510即当 n=3 时即第 3 年开始获利 （） （1）年平均收入= ，当且仅当 n=7 时)49(2)(nnf192取“=” ， 40-214=12（万元）即年平均
18、收益，总收益为 127+26=110 万元，此时 n=7 nf)(； （2） 当102)()f 102)(,maxnf总收益为 102+8=110 万元，此时 n=10 比较两种方案，总收益均为 110 万元，但第一种方案需 7 年，第二种方案需 10 年，故选择第一种。 【真题演练】18. 在等差数列 中， 则 =_.na357,6,a答案：1319. 等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 =_.nnS53S4a答案： 1310【课后作业】一、选择题1、等差数列 中， ，那么 （ ）na102S10aA. B. C. D. 2436482、已知等差数列 ， ，那么这个数列的前 项和 （ ）n9
19、nsA.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数3、已知等差数列 的公差 ， ，那么na12d8014aa 10SA80 B120 C 135 D1604、已知等差数列 中， ，那么n 61295213A390 B195 C180 D1205、从前 个正偶数的和中减去前 个正奇数的和，其差为（ ）18080A. B. C. D. 906、等差数列 的前 项的和为 ，前 项的和为 ，则它的前 项的和为( )nam32m13mA. B. C. D. 130170167、在等差数列 中， ， ，若数列 的前 项和为 ，则（ ）n628ananSA. B. C. D. 54S545S56S8、一个等差数列前 项和为 ，后 项和为 ，所有项和为 ，则这个数列的项数为3314390（ ）A. B. C. D. 1209、已知某数列前 项之和 为，且前 个偶数项的和为 ，则前 个奇数项的n3n)4(2n和为（ ）A )1(32nB C D )4(2233110 若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为 100，最大角为 140，这个凸多边形的边比为（ ）A6 B C 10 D128
