1、例析均值不等式常见错解及解决办法运用均值不等式 （ ，当且仅当“ ”时取等号）是求解最2ab*,abRab值的一种常用方法，也是高考考查的重点内容之一笔者在教学中发现，不少同学在使用时不能很好的抓住本质要求，造成了很多不该发生的错误本文就教学过程中的几个典型问题举例说明例 1 已知 ，求 的最值01x4lgyx错解 为定值， ，4lgx 4l2lgx 的最小值为 4ly错解剖析 虽然 为定值，但是因为 ， ，所以此时不能直接lgx01xlg0应用均值不等式，需要将负数转化为正数后再使用均值不等式正解 ， ， ，01l0lgx ，即 ，当且仅当 即 时等号成立，4(lg)lyx4y4lglx10
2、x 的最大值为 lgyx例 2 已知 ，求 的最小值02sinyx错解 ， ， ，函数最小值为 x0si2nx2错解剖析 本题虽有 为定值 2，但是 不可能成立，所以等号成立sinx is前提下的最小值 取不到而可以利用函数的单调性解决2正解 设 ，则 ，sinxtyt(0,1)易证函数 在 上是减函数， 即 时，函数的最小值为 3yt,t2x例 3 已知 求 的最小值490,1,xxyxy错解 由 ，可知 ，再有 得 ，493612xyx14y2xy24xy 的最小值为 24错解剖析 运算过程中两次用到了均值不等式，但是两次运用时等号成立的条件并不一致（ 等号成立时 ，而 等号成立时 ）从而
3、493612xyx8,1xy2xyxy中的等号不可以取到而若采用代换便可以只使用一次均值不等式得出结果解法一 ，494()1()1313265xyxyxy当且仅当 且 即 时等号成立，所以 的最小值为 25949,0,5xy解法二 ，1,xy4x ，936363691(4)4 xxx又 且 ， ，0yx0 ，13()13265当且仅当 ，即 时等号成立（ ） ，此时 ， 的最小值为64xx15yxy25解法三 设 ，90,1,y224cs,9sec(,)kZ 22222244cseottan13tantx ，1365当且仅当 ，即 时等号成立，229tant2tan3此时 ，24cs(1co)
4、0,9sec15xy 的最小值为 25y例 4 已知 ，求 的最大值22,abxyaxby错解 ， ,22,axby2213axbyxby 的最大值为 by13错解剖析 取到最大值 的前提是 且 ，但是此时 ，即 ，2axby22abxy49显然等号不能成立，所以本题不能直接运用均值不等式，但仍然可以用如下方法予以解决解法一 令 ，cos,in,3cos,inabxy ，666()xby 的最大值为 6解法二 令 ，由平面向量的数量积的性质 ，得(,)(,)mabnxy |mn，当且仅当 和 同向，即 时等号成立（注意：不能表示为 ） ，6axbybabxy 的最大值为 6解法三 由柯西不等式 ，可知222111()()()mnmn，22()()3axbyxy即 ， 的最大值为 66ab可见，在应用均值不等式求解最值时，应该时刻注意“一正” 、 “二定” 、 “三相等”这三个条件，必须充分理解并掌握这些要点，并且要在解题时注意灵活运用类题练习：1 若 则 的取值范围是 ,01,abloglab2 求函数 的最小值254xy3 已知 ，且 ，求 的最小值0,1yxy4 已知 ，且 均为正实数，则,9abcz,abcxyz的最大值为 axbycz参考答案：1 2 3 4 3 (,52
