1、2.2.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质,【自主预习】主题:双曲线的范围、对称性、顶点、离心率及渐近线观察图示,探究下面问题.,(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的,那么它是否与椭圆一样有范围限制?提示:有限制,因为 1,即x2a2,所以xa,或x-a.,(2)观察双曲线图形,它是否是轴对称图形?对称轴是哪条直线?是否是中心对称图形?对称中心是哪个点?提示:关于x轴、y轴和原点都是对称的,x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.,(3)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点,这种说法对吗?为什么?提示:不对,双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点
2、,只有在标准形式下,坐标轴才是双曲线的对称轴,此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.,(4)若要求你画一个双曲线,你认为需要知道哪些?试着完成下表.,F1(-c,0),F2(c,0),F1(0,-c),F2(0,c),|F1F2|=2c,x-a,xa,y-a,ya,坐标轴,原点,A1(-a,0),A2(a,0),A1(0,-a),A2(0,a),(1,+),A1A2,2a,B1B2,2b,a,b,【深度思考】结合教材P58例3你认为如何由已知双曲线的方程确定其相关性质?第一步:_.第二步:_.第三步:_.,把双曲线方程化为标准形式,由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值,由c2=a2+b2求
3、出c值,从而写出双曲线的几何性质,【预习小测】1.双曲线 的渐近线方程是(),【解析】选C.a2=4,b2=9,焦点在x轴上,所以渐近线方程为,2.双曲线 的离心率为()A.2B.2C.3D.4【解析】选B.因为a2=2,所以a= .又b2=14,所以c2=a2+b2=16.所以c=4.所以e=,【备选训练】中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是(),【解析】选B.考虑焦点在x轴或y轴两种情况.,3.双曲线 的实轴长是_、虚轴长是_、顶点坐标是_、焦点坐标是_.【解析】由题意知a2=3,b2=4,所以c2=a2+b2=3+4=7,解得a= ,b=2,c= .因此,双曲线的实轴
4、长2a=2 ,虚轴长2b=4.,顶点坐标为(- ,0),( ,0),焦点坐标为(- ,0),( ,0).答案:,4.椭圆 与双曲线 有相同的焦点,则a的值是_.【解析】因为a0,所以焦点在x轴上,所以4-a=a+2,所以a=1.答案:1,5.求双曲线16x2-9y2=-144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标.(仿照教材例3的解析过程),【解析】把方程16x2-9y2=-144化为标准方程得由此可知,实轴长2a=8,虚轴长2b=6,c= =5,焦点坐标为(0,-5),(0,5),离心率 顶点坐标为(0,-4),(0,4).,【互动探究】1.能不能用a,b表示双曲线的离心率?提示:能.
5、,2.双曲线的离心率的大小如何决定双曲线的开口大小?提示:由于 所以 因此离心率的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线的开口大小.离心率越大,双曲线开口越开阔;离心率越小,双曲线开口越扁狭.,3.从离心率 直观上看,随着a与c的变化双曲线的形状如何变化?提示:当 趋于1时,双曲线的开口非常小,此时双曲线的形状接近两条以顶点为端点的射线;当 趋于无穷大时,双曲线的开口非常大,此时双曲线的形状接近两条过顶点平行于y轴的直线.,【探究总结】知识归纳:,方法总结:双曲线草图的画法1.定位:依焦点.2.定形:依渐近线.双曲线渐近线方程的求法将标准方程右侧的1换成0,整理后可得两条渐近线的方程.,
6、【题型探究】类型一:根据双曲线方程研究几何性质【典例1】求双曲线nx2-my2=mn(m0,n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.,【解题指南】,【解析】把方程nx2-my2=mn(m0,n0),化为标准方程 (m0,n0),由此可知,实半轴长a= ,虚半轴长b= ,c= ,焦点坐标( ,0),(- ,0),离心率,顶点坐标为(- ,0),( ,0).所以渐近线的方程为,【延伸探究】将本例双曲线方程改为“4x2-y2=-4”,试求解之.【解析】将方程4x2-y2=-4变形为 所以a=2,b=1,c= .所以实半轴长为2,虚半轴长为1,焦点坐标为(0,- ),(0,
7、 ).离心率 ,顶点坐标为(0,-2),(0,2).渐近线方程为y=2x.,【规律总结】根据双曲线方程研究其性质的基本思路(1)将双曲线的方程转化为标准形式.(2)确定双曲线的焦点位置,弄清方程中的a,b所对应的值,再利用c2=a2+b2得到c的值.(3)根据确定的a,b,c的值求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、离心率及渐近线方程等.,【巩固训练】(2016天津高考)已知双曲线 (a0,b0)的焦距为2 ，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0 垂直，则双曲线的方程为( ),【解析】选A.由题意得c= .双曲线的渐近线为y= x，因为渐近线与直线2x+y=0垂直，所以(-2) =-1，
8、所以 = .又因为c2=a2+b2，解得a=2,b=1，所以双曲线的方程为 -y2=1.,类型二:双曲线的离心率【典例2】(1)(2016宜春高二检测)若双曲线(a0,b0)的一条渐近线经过圆(x-1)2+(y-2 )2=16的圆心,则此双曲线的离心率是()A.2B.3C. D.9,(2)(2016山东高考)已知双曲线E： (a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 .,【解题指南】(1)利用已知条件求出双曲线的渐近线方程，从而得到a,b的关系式，再求双曲线的离心率.(2)充分利用图象的几何性质，找出矩形一个顶点的坐
9、标，代入曲线方程，便可求得离心率.,【解析】(1)选B.由题意知圆心(1,2 )在双曲线的渐近线y= x上,则2 = ,所以b2=8a2,即c2-a2=8a2,所以e= =3.,(2)假设点A在左支位于第二象限内，由双曲线和矩形的性质，可得 代入双曲线方程 ,可得 =1，所以e2-1= ，又e1，所以可求得e=2.答案:2,【规律总结】求双曲线离心率的方法(1)若可求得a,c,则直接利用e= 得解.(2)若已知a,b,可直接利用 得解.(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且p0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.,【巩固训练】(201
10、6全国卷)已知F1，F2是双曲线E： 的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1= ,则E的离心率为( ),【解析】选A.离心率e= ，由正弦定理得,类型三:双曲线的渐近线【典例3】(1)(2014山东高考)已知ab0,椭圆C1的方程为 双曲线C2的方程为 C1与C2的离心率之积为 ,则C2的渐近线方程为()A.x y=0B. xy=0C.x2y=0D.2xy=0,(2)(2016石家庄高二检测)已知双曲线 (a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,求双曲线的方程.,【解题指南】(1)由离心率可以求得a,b的关系,从而得出渐近线方程.
11、(2)渐近线与直线平行,则两直线斜率相等;焦点在直线上,可以列出a,b,c的方程组.,【解析】(1)选A. 所以 所以 所以双曲线的渐近线方程为,(2)因为双曲线的一个焦点在直线l上,所以0=-2c+10,即c=5,又因为渐近线平行于直线l:y=2x+10,故有 结合c2=a2+b2,得a2=5,b2=20,所以双曲线的标准方程为,【延伸探究】(改变问法)若题(2)中条件不变,求双曲线的离心率.【解析】因为c=5,a2=5,所以离心率,(变换条件,改变问法)求与题(2)中所求的双曲线有相同的渐近线且过点(2,2)的双曲线方程.【解析】因为(2)中的双曲线是 故可设双曲线方程为 把点(2,2)代
12、入方程得 所以所求的双曲线方程为,【规律总结】由渐近线设双曲线方程的方法(1)渐近线为 的双曲线方程可设为: (2)如果两条渐近线的方程为AxBy=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m0).,(3)与双曲线 共渐近线的双曲线方程可设为,【拓展延伸】1.双曲线草图的画法画双曲线图形,要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为两邻边的矩形对角线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势,就可画出双曲线的草图.,2.共渐近线的双曲线系方程 称为双曲线 的共渐近线的双曲线系.,【补偿训练】求一条渐近线方程是3x+4y=0且过点( ,3)的双曲线的标准方程,并求此双曲线的离心率.,【解析】由题意可设双曲线的方程为9x2-16y2=(0),又点( ,3)在双曲线上,则9( )2-1632=,得=-9,即双曲线的方程为9x2-16y2=-9,标准方程为,由此可知a2= ,b2=1,c2=a2+b2= ,离心率,
