1、21、如下图，问： 1）下左图中，有多少个长方形（包括正方形）？ 2）下右图中，有多少个长方体（包括正方体）？ 分析： 1） 由于长方形是由两组分别平行的线段构成的，因此，只要看上左图中水平方向的所有平等线中，可以选出几组两条平行线，竖直方向上的所有平地线中，可以选出几组两条平行线？2） 由于长方体是由三组分别平行的平面组成的。因此，只要看上面右图中，平行于长方体上面的所有平面中，可以选出几组两个互相平行的平面，平行于长方体右面的所有平面中，可以选出几组两个互相平等的两个平面，平行于长方体前面的所有平面中，可以选出几组两个互相平行的平面。解：1) C25C27=210 (个)因此，左图中共有2
2、10个长方形2） C25C26C24900 (个)因此，右图中共有900个长方体22、七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？ 1）七个人排成一排；2）七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；3）七个人排成一排，某两人必须站在两头；4）七个人排成一排，某两人不能站在两头；5）七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排。1）P77=5040 2) 2P66=1440 3) 2P55=240 4) 55P552400 5）234P55288023、如图，直线A、B、C、D与直线1、2、3、4相交组成9个正方形，图中有点x和点y，一人从点x出发沿着这9个正方形的各边向y走，问从x
3、到y共有多少条最短路线？ 解：从点x到点y在横向上需过B、C、D，在纵向上需经过2、3、4，而最短路线必要经过（B, C, D, 2,3, 4），但不能有多余的去走，也即最短路线条数就是B, C, D, 2, 3, 4这6个元素的一个合理排列，则这时 B在C 前，C在D 前，2在3 前，3在4 前，这种 下B, C, D, 2, 3, 4这6个 元素的排列有多少种可能？（ ：因 不 B在C 前，C在D 前，2在3 前，3在4 前这种 的必 最短路线）可以这 ，这6个元素的排列只要 几 是B，C，D去走也就 ，因B，C，D的前后 是 的，而余下的三 是2，3，4去分， 前后 也是 的，因而 一
4、在 中可以有 三 B，C，D，这 上就是从6个中出3个的一个组合，也即C36，因而最短路线共有C36条， 上也可以看右图：可以看出到x线上方某一点的最短线条等于与这点向下相currency1的两“点的最短路线条数的和，因此就可出如下最后一个图等于C36。（ ：此 956GMATfifl 中一 ）：如 看上边最后一图， 上多同学发 就是”的中，如下：24、 ，共有 。个 1 ，过的不。 某 中，是个 （ ），求某到 的。解： 出 ，法 数 （ ） 。 某到 即必须 只须是某 的 一。有种法， 1有（ 1） 种法；因此组成 件某到 的法数 （ 1） ，所求 的是这与 ， 不 后，到 的 一 。25
5、、 27 到7个不同的中，如 要求个 不， 两个 的 数 不一多，问能 到， 能， 出 体方， 不能， 理由。 分析与解 ：因 个 不，所以 中 少有一 ；同时，两中 数不一 ，所以7个中共有的 数 少 1 2 3 4 5 6 728。但 中只 27 ，所以， 中要求不能 到。26、x y z=1993有多少组正 数解？ 解：x=1991,则y z=2,y=z=11组x=1990,则y z=3,2组x=1989,则y z=4,3组x=1988,则y z=5,4组x=2,则y z=1991,1990组x=1,则y z=1992,1991组，x不能等于1992，1993。所以， 方的不同的 数解的
6、组数是：1 2 3 19911983036 中 分 的 ，按照x的 分 ，在一 中，又从y的角度 分 ，如：x=1987时，因 yz=6， y、z均 正 数，所以y最小1，最5,即按y=1, 2, 3, 4, 5 分 ，一 对应一组解，因此，x=1987时，共5 解。27、 自数如下排列：在这 的排列下，数字3排在2行1列，13排在3行3列，问：1993排在几行几列？ 分析与解 不难看出，数表的排列规律如箭头所指， 研究的方便，我们不妨 图 时针 动45o ，就成 三角阵（如右图），三角阵中，1行1个数，2行2个数 n行就有n个数，设1993在三角阵中的n行，则：1 2 3 n-119931
7、2 3 n即：n(n-1)21993n(n 1)2 的方法，可以求出n=63又因 1 2 3 62=1953，即62行中最的数 1953。三角阵中，奇数列的数字从左到右， 增，又1993 195340,所以，1993是三角阵中63行从左”始数起的40个数（ 从右”始数，则24个数）。三角阵与左图作比较，可以发 ：1） 三角阵中一行从左”始数起的几个数，就于左图的几列；2） 三角阵中一行从右”始数起的几个数，就于左图的几行。由此，我们可 ，1993于 图的24行40列。28、求和：（ 1） （2 2） （3 3） （n n） 29、分解因 x2 3xy 10y2 x 9y2 分析 按x降幂排列，
8、并y当作常数， 也可以认 是 于x的 三，这时常数是 于y的 三 10y2 9y2解法一 x2 （1 3y）x （ 10y2 9y2）x2 （1 3y）x （ 5y 2）（2y1）又 （x 5y 2）（x 2y-1）分析 多按y降幂排列，并x当作常数， 也可以认 是 于y的 三，则常数是x2 x 2解法 10y2 （9 3x）y （x2 x 2） 10y2 （9 3x）y （x 2）（x 1）又 （ 5y x 2）（2y x 1）（x 5y 2）（x 2y 1）补充 ：在元 多中， 能 十字相乘法分解因，一般需要经过两个 骤：1、 一个字母 主要字母， 看成 于这个字母的多，这时另一个字母看作
9、是常数；2、按这个主要字母 多降幂排列， 十字相乘法尝能 分解以及怎 分解（有时需要反复 十字相乘法）。30、已经 1 w w2 = 0，求w1993 w1994 w1995 w1996 w1997 w1998 w1999 w2000 w2001的 。 解： w1993（ 1 w w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8） w1993（ 1 w w2） w3（ 1 w w2） w6（ 1 w w2） w1993（ 1 w w2）（1 w3 w6） 031、蓄水池有一条 水 和一条排水 。要灌 一池水，单” 水 需5小时，排光一池水，单”排水 需3小时。 在池内有半池水，如 按 水、排水、 水、
10、排水 的 轮流各”1小时。问：多长时间后水池的水刚好排完？（精 到分钟）分析与解 ：1） 在解 水 水 问 时，出 一个 水 ，一个出水 的 。 水 、出水 同时”，则积水的时间1（ 水 工效 出水 工效）排水的时间1（出水 工效 水 工效）2） 这 应 是分析推理与计算相结合的 。根据已 条件推出水池中的水小时减少 。水池中有半池水即 ，经过6小时后还剩 。如 按 水、排水的 行，则又应 水1小时，这时水池内共有水 。如 按小时 的流速排出需要经过 （小时）。共 的时间 （小时）7小时54分钟刚好排完。32、小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎水壶掉 江中，当们发 并调过船头时，水壶与船已
11、经相距2千米，假 小船的速度是小时4千米，水流速度是小时2千米，那么们追上水壶需要多少时间？分析 此 是水中追及问 ，已 路差是2千米，船在 水中的速度是船速 水速。水壶飘流的速度只等于水速，所以速度差船 水速度 水壶飘流的速度（船速 水速） 水速船速。解： 路差船速追及时间240.5（小时）：们人追水壶需 0.5小时。21、如下图，问： 1）下左图中，有多少个长方形（包括正方形）？ 2）下右图中，有多少个长方体（包括正方体）？ 分析： 1） 由于长方形是由两组分别平行的线段构成的，因此，只要看上左图中水平方向的所有平等线中，可以选出几组两条平行线，竖直方向上的所有平地线中，可以选出几组两条平
12、行线？2） 由于长方体是由三组分别平行的平面组成的。因此，只要看上面右图中，平行于长方体上面的所有平面中，可以选出几组两个互相平行的平面，平行于长方体右面的所有平面中，可以选出几组两个互相平等的两个平面，平行于长方体前面的所有平面中，可以选出几组两个互相平行的平面。解：1) C25C27=210 (个)因此，左图中共有210个长方形2） C25C26C24900 (个)因此，右图中共有900个长方体22、七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？ 1）七个人排成一排；2）七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；3）七个人排成一排，某两人必须站在两头；4）七个人排成一排，某两人不能站在两
13、头；5）七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排。1）P77=5040 2) 2P66=1440 3) 2P55=240 4) 55P552400 5）234P55288023、如图，直线A、B、C、D与直线1、2、3、4相交组成9个正方形，图中有点x和点y，一人从点x出发沿着这9个正方形的各边向y走，问从x到y共有多少条最短路线？ 解：从点x到点y在横向上需过B、C、D，在纵向上需经过2、3、4，而最短路线必要经过（B, C, D, 2,3, 4），但不能有多余的去走，也即最短路线条数就是B, C, D, 2, 3, 4这6个元素的一个合理排列，则这时 B在C 前，C在D 前，2
14、在3 前，3在4 前，这种 下B, C, D, 2, 3, 4这6个 元素的排列有多少种可能？（ ：因 不 B在C 前，C在D 前，2在3 前，3在4 前这种 的必 最短路线）可以这 ，这6个元素的排列只要 几 是B，C，D去走也就 ，因B，C，D的前后 是 的，而余下的三 是2，3，4去分， 前后 也是 的，因而 一 在 中可以有 三 B，C，D，这 上就是从6个中出3个的一个组合，也即C36，因而最短路线共有C36条， 上也可以看右图：可以看出到x线上方某一点的最短线条等于与这点向下相currency1的两“点的最短路线条数的和，因此就可出如下最后一个图等于C36。（ ：此 956GMAT
15、fifl 中一 ）：如 看上边最后一图， 上多同学发 就是”的中，如下：24、 ，共有 。个 1 ，过的不。 某 中，是个 （ ），求某到 的。解： 出 ，法 数 （ ） 。 某到 即必须 只须是某 的 一。有种法， 1有（ 1） 种法；因此组成 件某到 的法数 （ 1） ，所求 的是这与 ， 不 后，到 的 一 。25、 27 到7个不同的中，如 要求个 不， 两个 的 数 不一多，问能 到， 能， 出 体方， 不能， 理由。 分析与解 ：因 个 不，所以 中 少有一 ；同时，两中 数不一 ，所以7个中共有的 数 少 1 2 3 4 5 6 728。但 中只 27 ，所以， 中要求不能 到。
16、26、x y z=1993有多少组正 数解？ 解：x=1991,则y z=2,y=z=11组x=1990,则y z=3,2组x=1989,则y z=4,3组x=1988,则y z=5,4组x=2,则y z=1991,1990组x=1,则y z=1992,1991组，x不能等于1992，1993。所以， 方的不同的 数解的组数是：1 2 3 19911983036 中 分 的 ，按照x的 分 ，在一 中，又从y的角度 分 ，如：x=1987时，因 yz=6， y、z均 正 数，所以y最小1，最5,即按y=1, 2, 3, 4, 5 分 ，一 对应一组解，因此，x=1987时，共5 解。27、 自
17、数如下排列：在这 的排列下，数字3排在2行1列，13排在3行3列，问：1993排在几行几列？ 分析与解 不难看出，数表的排列规律如箭头所指， 研究的方便，我们不妨 图 时针 动45o ，就成 三角阵（如右图），三角阵中，1行1个数，2行2个数 n行就有n个数，设1993在三角阵中的n行，则：1 2 3 n-119931 2 3 n即：n(n-1)21993n(n 1)2 的方法，可以求出n=63又因 1 2 3 62=1953，即62行中最的数 1953。三角阵中，奇数列的数字从左到右， 增，又1993 195340,所以，1993是三角阵中63行从左”始数起的40个数（ 从右”始数，则24个
18、数）。三角阵与左图作比较，可以发 ：1） 三角阵中一行从左”始数起的几个数，就于左图的几列；2） 三角阵中一行从右”始数起的几个数，就于左图的几行。由此，我们可 ，1993于 图的24行40列。28、求和：（ 1） （2 2） （3 3） （n n） 29、分解因 x2 3xy 10y2 x 9y2 分析 按x降幂排列，并y当作常数， 也可以认 是 于x的 三，这时常数是 于y的 三 10y2 9y2解法一 x2 （1 3y）x （ 10y2 9y2）x2 （1 3y）x （ 5y 2）（2y1）又 （x 5y 2）（x 2y-1）分析 多按y降幂排列，并x当作常数， 也可以认 是 于y的 三
19、，则常数是x2 x 2解法 10y2 （9 3x）y （x2 x 2） 10y2 （9 3x）y （x 2）（x 1）又 （ 5y x 2）（2y x 1）（x 5y 2）（x 2y 1）补充 ：在元 多中， 能 十字相乘法分解因，一般需要经过两个 骤：1、 一个字母 主要字母， 看成 于这个字母的多，这时另一个字母看作是常数；2、按这个主要字母 多降幂排列， 十字相乘法尝能 分解以及怎 分解（有时需要反复 十字相乘法）。30、已经 1 w w2 = 0，求w1993 w1994 w1995 w1996 w1997 w1998 w1999 w2000 w2001的 。 解： w1993（ 1
20、w w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8） w1993（ 1 w w2） w3（ 1 w w2） w6（ 1 w w2） w1993（ 1 w w2）（1 w3 w6） 031、蓄水池有一条 水 和一条排水 。要灌 一池水，单” 水 需5小时，排光一池水，单”排水 需3小时。 在池内有半池水，如 按 水、排水、 水、排水 的 轮流各”1小时。问：多长时间后水池的水刚好排完？（精 到分钟）分析与解 ：1） 在解 水 水 问 时，出 一个 水 ，一个出水 的 。 水 、出水 同时”，则积水的时间1（ 水 工效 出水 工效）排水的时间1（出水 工效 水 工效）2） 这 应 是分析推理与计算相结合
21、的 。根据已 条件推出水池中的水小时减少 。水池中有半池水即 ，经过6小时后还剩 。如 按 水、排水的 行，则又应 水1小时，这时水池内共有水 。如 按小时 的流速排出需要经过 （小时）。共 的时间 （小时）7小时54分钟刚好排完。32、小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎水壶掉 江中，当们发 并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假 小船的速度是小时4千米，水流速度是小时2千米，那么们追上水壶需要多少时间？分析 此 是水中追及问 ，已 路差是2千米，船在 水中的速度是船速 水速。水壶飘流的速度只等于水速，所以速度差船 水速度 水壶飘流的速度（船速 水速） 水速船速。解： 路差船速追及时间2
22、40.5（小时）：们人追水壶需 0.5小时。21、如下图，问： 1）下左图中，有多少个长方形（包括正方形）？ 2）下右图中，有多少个长方体（包括正方体）？ 分析： 1） 由于长方形是由两组分别平行的线段构成的，因此，只要看上左图中水平方向的所有平等线中，可以选出几组两条平行线，竖直方向上的所有平地线中，可以选出几组两条平行线？2） 由于长方体是由三组分别平行的平面组成的。因此，只要看上面右图中，平行于长方体上面的所有平面中，可以选出几组两个互相平行的平面，平行于长方体右面的所有平面中，可以选出几组两个互相平等的两个平面，平行于长方体前面的所有平面中，可以选出几组两个互相平行的平面。解：1) C
23、25C27=210 (个)因此，左图中共有210个长方形2） C25C26C24900 (个)因此，右图中共有900个长方体22、七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？ 1）七个人排成一排；2）七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；3）七个人排成一排，某两人必须站在两头；4）七个人排成一排，某两人不能站在两头；5）七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排。1）P77=5040 2) 2P66=1440 3) 2P55=240 4) 55P552400 5）234P55288023、如图，直线A、B、C、D与直线1、2、3、4相交组成9个正方形，图中有点x和点y，一人从
24、点x出发沿着这9个正方形的各边向y走，问从x到y共有多少条最短路线？ 解：从点x到点y在横向上需过B、C、D，在纵向上需经过2、3、4，而最短路线必要经过（B, C, D, 2,3, 4），但不能有多余的去走，也即最短路线条数就是B, C, D, 2, 3, 4这6个元素的一个合理排列，则这时 B在C 前，C在D 前，2在3 前，3在4 前，这种 下B, C, D, 2, 3, 4这6个 元素的排列有多少种可能？（ ：因 不 B在C 前，C在D 前，2在3 前，3在4 前这种 的必 最短路线）可以这 ，这6个元素的排列只要 几 是B，C，D去走也就 ，因B，C，D的前后 是 的，而余下的三 是
25、2，3，4去分， 前后 也是 的，因而 一 在 中可以有 三 B，C，D，这 上就是从6个中出3个的一个组合，也即C36，因而最短路线共有C36条， 上也可以看右图：可以看出到x线上方某一点的最短线条等于与这点向下相currency1的两“点的最短路线条数的和，因此就可出如下最后一个图等于C36。（ ：此 956GMATfifl 中一 ）：如 看上边最后一图， 上多同学发 就是”的中，如下：24、 ，共有 。个 1 ，过的不。 某 中，是个 （ ），求某到 的。解： 出 ，法 数 （ ） 。 某到 即必须 只须是某 的 一。有种法， 1有（ 1） 种法；因此组成 件某到 的法数 （ 1） ，所
26、求 的是这与 ， 不 后，到 的 一 。25、 27 到7个不同的中，如 要求个 不， 两个 的 数 不一多，问能 到， 能， 出 体方， 不能， 理由。 分析与解 ：因 个 不，所以 中 少有一 ；同时，两中 数不一 ，所以7个中共有的 数 少 1 2 3 4 5 6 728。但 中只 27 ，所以， 中要求不能 到。26、x y z=1993有多少组正 数解？ 解：x=1991,则y z=2,y=z=11组x=1990,则y z=3,2组x=1989,则y z=4,3组x=1988,则y z=5,4组x=2,则y z=1991,1990组x=1,则y z=1992,1991组，x不能等于1
27、992，1993。所以， 方的不同的 数解的组数是：1 2 3 19911983036 中 分 的 ，按照x的 分 ，在一 中，又从y的角度 分 ，如：x=1987时，因 yz=6， y、z均 正 数，所以y最小1，最5,即按y=1, 2, 3, 4, 5 分 ，一 对应一组解，因此，x=1987时，共5 解。27、 自数如下排列：在这 的排列下，数字3排在2行1列，13排在3行3列，问：1993排在几行几列？ 分析与解 不难看出，数表的排列规律如箭头所指， 研究的方便，我们不妨 图 时针 动45o ，就成 三角阵（如右图），三角阵中，1行1个数，2行2个数 n行就有n个数，设1993在三角阵
28、中的n行，则：1 2 3 n-119931 2 3 n即：n(n-1)21993n(n 1)2 的方法，可以求出n=63又因 1 2 3 62=1953，即62行中最的数 1953。三角阵中，奇数列的数字从左到右， 增，又1993 195340,所以，1993是三角阵中63行从左”始数起的40个数（ 从右”始数，则24个数）。三角阵与左图作比较，可以发 ：1） 三角阵中一行从左”始数起的几个数，就于左图的几列；2） 三角阵中一行从右”始数起的几个数，就于左图的几行。由此，我们可 ，1993于 图的24行40列。28、求和：（ 1） （2 2） （3 3） （n n） 29、分解因 x2 3xy
29、 10y2 x 9y2 分析 按x降幂排列，并y当作常数， 也可以认 是 于x的 三，这时常数是 于y的 三 10y2 9y2解法一 x2 （1 3y）x （ 10y2 9y2）x2 （1 3y）x （ 5y 2）（2y1）又 （x 5y 2）（x 2y-1）分析 多按y降幂排列，并x当作常数， 也可以认 是 于y的 三，则常数是x2 x 2解法 10y2 （9 3x）y （x2 x 2） 10y2 （9 3x）y （x 2）（x 1）又 （ 5y x 2）（2y x 1）（x 5y 2）（x 2y 1）补充 ：在元 多中， 能 十字相乘法分解因，一般需要经过两个 骤：1、 一个字母 主要字母
30、， 看成 于这个字母的多，这时另一个字母看作是常数；2、按这个主要字母 多降幂排列， 十字相乘法尝能 分解以及怎 分解（有时需要反复 十字相乘法）。30、已经 1 w w2 = 0，求w1993 w1994 w1995 w1996 w1997 w1998 w1999 w2000 w2001的 。 解： w1993（ 1 w w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8） w1993（ 1 w w2） w3（ 1 w w2） w6（ 1 w w2） w1993（ 1 w w2）（1 w3 w6） 031、蓄水池有一条 水 和一条排水 。要灌 一池水，单” 水 需5小时，排光一池水，单”排水 需3小时
31、。 在池内有半池水，如 按 水、排水、 水、排水 的 轮流各”1小时。问：多长时间后水池的水刚好排完？（精 到分钟）分析与解 ：1） 在解 水 水 问 时，出 一个 水 ，一个出水 的 。 水 、出水 同时”，则积水的时间1（ 水 工效 出水 工效）排水的时间1（出水 工效 水 工效）2） 这 应 是分析推理与计算相结合的 。根据已 条件推出水池中的水小时减少 。水池中有半池水即 ，经过6小时后还剩 。如 按 水、排水的 行，则又应 水1小时，这时水池内共有水 。如 按小时 的流速排出需要经过 （小时）。共 的时间 （小时）7小时54分钟刚好排完。32、小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎水壶掉 江中，当们发 并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假 小船的速度是小时4千米，水流速度是小时2千米，那么们追上水壶需要多少时间？分析 此 是水中追及问 ，已 路差是2千米，船在 水中的速度是船速 水速。水壶飘流的速度只等于水速，所以速度差船 水速度 水壶飘流的速度（船速 水速） 水速船速。解： 路差船速追及时间240.5（小时）：们人追水壶需 0.5小时。
