1、专题一 三角函数与解三角形必考点一 三角函数图象与性质类型一 学会踩点例 1 (本题满分 12 分)已知函数 f(x)cos xsin cos2x ，xR.(x 3) 3 34(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在闭区间 x 上的最大值和最小值 4，4解：(1)由已知得 f(x)cos x cos2x sin xcos (12sin x 32cos x) 3 34 12x cos2x (2 分)32 34 sin 2x (1cos 2x) sin 2x cos 2x(4 分)14 34 34 14 34 sin .(6 分)12 (2x 3)所以，f( x)的最小正周期 T .(
2、7 分)22(2)因为 f(x)在区间 上是减函数，在区间 上是增函数(10 分) 4， 12 12，4f ， f ，f .(11 分)( 4) 14 ( 12) 12 (4) 14所以，函数 f(x)在闭区间 上的最大值为 ，最小值为 .(12 分) 4，4 14 12评分细则：得分点及踩点说明(1)第(1)问无化简过程，直接得到 f(x)sin ，扣 5 分每一步用公式正确就得分12 (2x 3)(2)化简结果错误，但中间某一步正确，给 2 分(3)第(2)问只求出 f ，f 得出最大值为 ，最小值为 ，得 1 分( 4) 14 (4) 14 14 14(4)若单调性出错，只得 1 分(5
3、)单调性正确，但计算错误，扣 2 分(6)若求出 2x 的范围，再求函数的最值，同样得分31已知函数 f(x)4cos xsin (0) 的最小正周期为 .(x 4)(1)求 的值；(2)讨论 f(x)在区间 上的单调性0，2解：(1)f(x) 4cos x sin(x 4)2 sin xcos x2 cos2x2 2 (sin 2xcos 2x)2 22sin .(2x 4) 2因为 f(x)的最小正周期为 ，且 0，所以 ，故 1.22(2)由(1)知，f(x)2sin .(2x 4) 2若 0x ，则 2x .2 4 4 54当 2x ，即 0x 时，f(x) 单调递增；4 4 2 8当
4、 2x ，即 x 时，f( x)单调递减2 4 54 8 2综上可知，f(x )在 上单调递增，在 上单调递减0，8 8，2类型二 学会审题例 2 已知函数 f(x) sin(x) 的图象关于直线 x 对3 ( 0， 2 2) 3称，且图象上相邻两个最高点的距离为 .(1)求 和 的值；(2)若 f ，求 cos 的值(2) 34(6 23) ( 32)审题路线图(1)条 件 ：fx图 象 上 相 邻 两 个 最 高 点 距 离 为 fx的 周 期 为 2条 件 ：fx图 象 关 于 直 线 x 3对 称23 k 2k Z 6(2)条 件 ：f(2) 34sin( 6) 14cos( 6) 1
5、54cos( 32) 3 158规范解答 (1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 ，所以 f(x)的最小正周期为 T ，从而 2.2T又因为 f(x)的图象关于直线 x 对称，3所以 2 k ，kZ.3 2由 ，得 k0，2 2所以 .2 23 6(2)由(1)得 f sin ，(2) 3 (22 6) 34所以 sin .( 6) 14由 ，6 23得 0 ，6 2所以 cos .( 6) 1 sin2( 6) 1 (14)2 154所以 cos sin sin( 32) ( 6) 6sin cos cos sin( 6) 6 ( 6) 6 14 32 154 12 .3 158
6、2(2016山东临沂一模 )已知函数 f(x)2cos 2x12 cos xsin x(0 1)，3直线 x 是 f(x)图象的一条对称轴3(1)试求 的值；(2)已知函数 yg(x)的图象是由 yf(x )图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，然后再向左平移 个单位长度得到的 ，若 g ， ，求 sin 的23 (2 3) 65 (0，2)值解：f(x) 2cos 2x12 cos xsin xcos 2x sin 2x2sin .3 3 (2x 6)(1)由于直线 x 是函数 f(x)32sin 图象一条对称轴，(2x 6)sin 1.(23 6) k (kZ)，23 6 2 k (kZ
7、)32 12又 01，k Z，从而 k0， .12(2)由(1)知 f(x)2sin ，(x 6)由题意可得g(x)2sin ，12(x 23) 6即 g(x)2cos x.12g 2cos ，(2 3) ( 6) 65cos .( 6) 35又 ，(0，2) ，6 6 23sin ，( 6) 45sin sin ( 6) 6sin cos cos sin( 6) 6 ( 6) 6 .45 32 35 12 43 310类型三 学会规范例 3 (本题满分 12 分)已知函数 f(x)a(ba)，其中向量 a(cos x，0)，b(sin x,1)，且 为正实数3(1)求 f(x)的最大值；(2
8、)对任意 m R，函数 yf(x)，xm，m) 的图象与直线 y 有且仅有一个交12点，求 的值，并求满足 f(x) 的 x 值3 12 (x 12，712)考生不规范示例解：(1)f(x)a( ba)ab|a| 2 cos xsin x0cos 2x sin 2xcos 2x332 sin 2x sin 32 1 cos 2x2 (2x 6) 12又1sin 1，f(x )的最大值为 .(2x 6) 12(2)函数 f(x)与直线 y 有且只有一个交点，12f(x)的周期为 ， ，2，2f(x)sin ，(4x 6) 12sin ，(4x 6) 12 3 12sin ，(4x 6) 32x
9、，4x ，12，712 3，734x ，6 6，1364x 或 ，即 x 或 x .6 3 23 8 524规范解答 (1)ab cos xsin x013 sin 2x.(2 分)32f(x)a(ba)ab|a |2 sin 2xcos 2x32 sin 2x32 1 cos 2x2 sin2x cos 2x (4 分)32 12 12sin .(2x 6) 121sin 1，f(x )的最大值为 .(6 分)(2x 6) 12(2)函数 f(x)的最大值为 ，yf(x) ，xm，m) 的图象与直线 y 有且仅有一个12 12交点，(8 分)函数 f(x)的周期 T 为 . ，1.22f(x
10、)sin ，(2x 6) 12sin ，(2x 6) 12 3 12sin .(10 分)(2x 6) 32x ，2x ，12，712 6，762x 0， ，2x 或 ，即 x 或 x .(12 分)6 6 3 23 4 512终极提升登高博见方法诠释将三角函数化为 yAsin(x)之后(1)令 xk (kZ)，可求得对称轴方程2(2)令 xk(k Z)，可求得对称中心的横坐标(3)将 x 看作整体，可求得 yAsin(x )的单调区间，注意 的符号(4)讨论意识：当 A 为参数时，求最值应分情况讨论A0，A 0.限时规范训练一 三角函数图象与性质(建议用时 45 分钟)解答题(解答应写出文字
11、说明，证明过程或演算步骤)1已知函数 f(x)cos x(sin xcos x ) .12(1)若 0 ，且 sin ，求 f()的值；2 22(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间解：(1)因为 0 ，sin ，所以 cos .2 22 22所以 f() .22( 22 22) 12 12(2)因为 f(x)cos x(sin xcos x) sin xcos xcos 2x sin 12 12 122x sin 2x cos 2x sin ，所以 T .1 cos 2x2 12 12 12 22 (2x 4) 22由 2k 2x 2k ，kZ，2 4 2得 k x k ，k Z.
12、38 8所以 f(x)的单调递增区间为 ，kZ .k 38，k 82已知向量 a(cos x，sin x )，向量 b(cos x，sin x)，f(x)ab.(1)求函数 g(x)f(x) sin 2x 的最小正周期和对称轴方程；(2)若 x 是第一象限角且 3f(x)2f(x) ，求 tan 的值(x 4)解：(1)g(x )f(x) sin 2xcos 2xsin 2xsin 2xcos 2 xsin 2x sin ，2 (2x 4)函数 g(x)f(x)sin 2x 最小正周期 T .22当 2x k (kZ)时，4 2x .k2 8函数 g(x)f(x)sin 2x 的对称轴方程为
13、x (kZ)k2 8(2)由 3f(x)2f(x) ，得 3cos 2x4sin 2x.3cos2x3sin 2x8sin x cos x0.(3cos xsin x )(cos x3sin x) 0.又 x 是第一象限角 ，cos x3sin x ，故 tan x .13tan 2.(x 4)tan x tan41 tan xtan41 131 133(2016山东枣庄质检 )已知函数 f(x)sin sin 2cos 2 ，x R(其中 0)(x 6) (x 6) x2(1)求函数 f(x)的值域；(2)若函数 f(x)的图象与直线 y1 的两个相邻交点间的距离为 ，求函数 f(x)的单2
14、调递增区间解：(1)f(x) sin x cosx sin x cos x(cos x1)32 12 32 122 1(32sin x 12cos x)2sin 1.(x 6)由1sin 1，(x 6)得32sin 11，(x 6)所以函数 f(x)的值域为3,1(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，f(x)的周期为 ，所以 ，即 2.2所以 f(x)2sin 1 ，(2x 6)再由 2k 2x 2k (kZ)，2 6 2解得 k x k (k Z)6 3所以函数 f(x)的单调递增区间为 (k Z)k 6，k 34已知函数 f(x)Asin(x ) 的部分图象如图所(x R，A 0，
15、0，0 2)示，P 是图象的最高点，Q 为图象与 x 轴的交点， O 为坐标原点若OQ4，OP ，PQ .5 13(1)求函数 yf(x)的解析式；(2)将函数 yf(x)的图象向右平移 2 个单位后得到函数 yg(x )的图象，当x(1,2)时，求函数 h(x)f(x) g(x)的值域解：(1)由条件知 cosPOQ ，所以 P(1,2)42 52 132245 55由此可得 A2，周期 T4(41)12，又 12，则 .将点 P(1,2)代入 f(x)2 62sin ，(6x )得 sin 1， 2k ，2k (kZ)(6 ) 6 2 3因为 0 ，所以 ，于是 f(x)2sin .2 3
16、 (6x 3)(2)由题意得 g(x)2sin 2sin x.6x 2 3 6所以 h(x)f(x) g(x)4sin sin x(6x 3) 62sin 2 x2 sin xcos x1cos x6 3 6 6 3sin x12sin .33 (3x 6)当 x(1,2)时， x ，3 6 ( 2，2)所以 sin ( 1,1), 即 12sin ( 1,3)于是函数 h(x)的值域为(3x 6) (3x 6)(1,3)必考点二 解三角形类型一 学会踩点例 1 (本题满分 12 分)ABC 中，D 是 BC 上的点， AD 平分BAC，ABD 是ADC 面积的 2 倍(1)求 .sin Bs
17、in C(2)若 AD1，DC ，求 BD 和 AC 的长22解：(1)S ABD ABADsinBAD ，(1 分)12SADC ACADsinCAD(2 分)12因为 SABD 2SADC ，BADCAD ，所以 AB2AC.(4 分)由正弦定理可得 .(6 分)sin Bsin C ACAB 12(2)因为ABD 与ADC 等高，所以 SABD SADC BD DC，所以 BD .(8 分)2在ABD 和 ADC 中，由余弦定理知，AB2AD 2BD 22AD BDcosADB，(9 分)AC2AD 2DC 22AD DCcosADC，(10 分)故 AB22AC 23AD 2BD 22
18、DC 26.(11 分)由(1)知 AB2AC，所以 AC1.(12 分)评分细则：得分点及踩点说明(1)第(1)问，正确列出面积公式各得 1 分(2)得出 AB2AC，得 2 分(3)将正弦比转化为边长比得 2 分，错误结果扣 1 分(4)第(2)问，正确得出 BD 的值得 2 分，面积比转化正确，值算错扣 1 分(5)正确利用余弦定理各得 1 分(6)两式相加消去角得 1 分1(2016高考全国乙卷 )ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A) c.(1)求 C；(2)若 c ，ABC 的面积为 ，求ABC 的周长7332解：(1)由
19、已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C ，即 2cos Csin(AB) sin C，故 2sin Ccos Csin C.可得 cos C ，所以 C .12 3(2)由已知得 absin C .12 332又 C ，所以 ab6.3由已知及余弦定理得 a2b 22abcos C7，故 a2b 213，从而(ab) 225.所以ABC 的周长为 5 .7类型二 学会审题例 2 ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 abcos Cc sin B.(1)求 B；(2)若 b2，求 ABC 面积的最大值审题路线图：规范解答 (1)
20、由已知及正弦定理得 sin Asin Bcos Csin Csin B 又 A(B C )，故 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由和 C(0，)得 sin Bcos B.又 B(0 ，)，所以 B .4(2)ABC 的面积 S acsin B ac.12 24由已知及余弦定理得 4a 2c 22ac cos .4又 a2c 22 ac，故 ac ，当且仅当 ac 时，等号成立42 2因此ABC 面积的最大值为 1.22(2016高考山东卷 )在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 2(tan Atan B) .tan Acos B tan
21、Bcos A(1)证明：a b2c ；(2)求 cos C 的最小值解：(1)证明：由题意知2 ，(sin Acos A sin Bcos B) sin Acos Acos B sin Bcos Acos B化简得 2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B，即 2sin(AB) sin Asin B.因为 AB C，所以 sin(AB) sin(C)sin C ，从而 sin Asin B2sin C，由正弦定理得 ab2c .(2)由(1)知 c ，a b2所以 cos C a2 b2 c22ab a2 b2 (a b2 )22ab ，38(ab ba) 14 12
22、当且仅当 ab 时，等号成立，故 cos C 的最小值为 .12类型三 学会规范例 3 (本题满分 12 分)已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若 ab，求 cos B；(2)设 B90，且 a ，求ABC 的面积2考生不规范示例(1)b 2ac，abcos B a2 c2 b22ac 14(2)a 2c 2b 2，a ca S12 2规范解答 (1)由题设及正弦定理可得 b22ac .(2 分)又 ab，可得 b2c ，a 2c.由余弦定理可得 cos B .(6 分)a2 c2 b22ac 14(2)由(1)知 b22ac.因
23、为 B90，由勾股定理得 a2c 2b 2.(8 分)故 a2c 22 ac，得 ca .2所以ABC 的面积为 S ac 1.(12 分 )12 12 2 2终极提升登高博见求解三角形的基本量的技巧：先将几何问题转化为代数问题，正确分析已知等式中的边角关系，利用正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等进行三角形中边角的互化若要把“边”化为“角” ，常利用“a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C”，若要把“角”化为“边” ，常利用 “sin A ，sin B ，sin a2R b2RC ，cos C ”等，然后利用三角形的内角和定理、大边对大角及c2R a2 b2 c22ab三角
24、函数等知识求出三角形的基本量.限时规范训练二 解三角形(建议用时 45 分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1如图，在ABC 中，ABC90，AB ，BC1，P 为ABC 内一点，3BPC90.(1)若 PB ，求 PA；12(2)若APB 150，求 tanPBA.解：(1)由已知得， PBC 60，所以PBA30.在PBA 中，由余弦定理得 PA23 2 cos 30 .故 PA .14 3 12 74 72(2)设PBA ，则BCP ，在 Rt BCP 中，PBBCsin sin ，在PBA 中，由正弦定理得 ，3sin 150 sin sin30 化简得 cos 4s
25、in .3所以 tan ，即 tanPBA .34 342如图，在ABC 中，B ，AB8，点 D 在 BC 边上，且 CD2，3cosADC .17(1)求 sinBAD；(2)求 BD，AC 的长解：(1)在ADC 中，因为cosADC ，所以 sinADC .17 437所以 sinBADsin(ADCB)sin ADCcos Bcos ADCsin B .437 12 17 32 3314(2)在ABD 中，由正弦定理得BD 3.ABsinBADsinADB83314437在ABC 中，由余弦定理得AC2AB 2BC 22AB BCcos B8 25 2285 49.12所以 AC7.
26、3在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 A ，b 2a 2 c2.4 12(1)求 tan C 的值；(2)若ABC 的面积为 3，求 b 的值解：(1)由 b2 a2 c2 及正弦定理得 sin2B 12 12sin2C，所以 cos 2Bsin 2C.12又由 A ，即 BC ，得4 34cos 2 B cos2 cos sin 2C2sin Ccos C，(34 C) (32 2C)2sin Ccos Csin 2C 解得 tan C2.(2)由 tan C2，C (0 ，)得 sin C ，255cos C .55又因为 sin Bsin(AC)sin ，所
27、以 sin B .(4 C) 31010由正弦定理 ， 得 c b，bsin B csin C 223又因为 A ， bcsin A 3，所以 bc6 ，故 b3.4 12 24ABC 的内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c.向量 m(a， b)与 n(cos 3A，sin B)平行(1)求 A；(2)若 a ，b2，求ABC 的面积7解：(1)因为 mn，所以 asin B bcos A0，由正弦定理，得 sin Asin B sin 3 3Bcos A0，又 sin B0，从而 tan A ，3由于 0A，所以 A .3(2)法一：由余弦定理 a2b 2c 22bccos A，及
28、 a ，b2，A ，73得 74c 2 2c，即 c22c30，因为 c0，所以 c3.故ABC 的面积为 bcsin A .12 332法二：由正弦定理，得 ，7sin3 2sin B从而 sin B ，217又由 ab，知 AB，所以 cos B .277故 sin Csin( AB)sin (B 3)sin Bcos cos B sin .3 3 32114所以ABC 的面积为 absin C .12 332专题一 规范滚动训练(一)(建议用时 45 分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1在锐角ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B ，C 所对的边，且 a2c sin
29、 A.3(1)求角 C 的大小；(2)若 c2，且ABC 的面积为 ，求 ab 的值3解：(1)由题意得 sin A，由正弦定理得 sin A，3a2c 3sin A2sin C又 sin A0，sin C ，又 0C90，32C 60.(2)S ABC absin 60 ，ab4.12 3又 c2，由余弦定理得 c2a 2b 22abcos 60，即 4a 2b 22ab ，即 4(ab) 22abab，12(a b)24 3ab16，ab4.2已知函数 f(x)2cos xcos2 sin(x1)sin cos x 的部分图象2 (0 2)如图所示(1)求 的值及图中 x0 的值；(2)将
30、函数 f(x)的图象上的各点向左平移 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐16标不变，纵坐标伸长到原来的 倍，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间3上的最大值和最小值 12，13解：(1)f(x) 2cos xcos2 sin(x1)sin cos xcos x sin 2 (2cos22 1)xsin cos xcos sin xsin cos( x)由题图可知，cos ，又 0 ，所以 .32 2 6又 cos ，所以 x0 ，(x0 6) 32 6 116所以 x0 .53(2)由(1)可知 f(x)cos ，将图象上的各点向左平移 个单位长度得到 ycos(x 6) 16(
31、x 16) 6cos 的图象，然后将各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 倍后得(x 3) 3到 g(x) cos 的图象3 (x 3)因为 x ，所以 x . 12，13 6 3 23所以当 x 0，即 x 时，g(x )取得最大值 ；3 13 3当 x ，即 x 时， g(x)取得最小值 .3 23 13 323已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，向量 m(2b,1)，n(2ac，cos C )，且 mn.(1)若 b2ac，试判断ABC 的形状；(2)求 y1 的值域2cos 2A1 tan A解：(1)由已知， mn，则 2bcos C2ac，由正弦定理，得 2
32、sin Bcos C2sin(BC)sin C，即 2sin Bcos C2sin Bcos C2cos Bsin Csin C，在ABC 中，sin C0，因而 2cos B1，则 B .3又 b2ac，b 2a 2c 22 accos B，因而 aca 2 c22accos ，即(ac )20，3所以 ac， ABC 为等边三角形(2)y12cos 2A1 tan A12cos2A sin2A1 sin Acos A12cos A(cos Asin A)sin 2 Acos 2A sin ，由已知条件 B 知 A .2 (2A 4) 3 (0，23所以，2A .4 ( 4，34)因而所求函
33、数的值域为(1， 24已知函数 f(x)2sin sin ，xR.(x 6) (x 3)(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)在ABC 中，若 A ，c2，且锐角 C 满足 f ，求ABC 的面积 S.4 (C2 6) 12解：(1)由题意得，f(x)2sin sin(x 6) (x 3)2sin sin(x 6) 2 (x 6)2sin cos(x 6) (x 6)sin ，(2x 3)所以函数 f(x)的最小正周期为 .22(2)由(1)得，f sin sin C ，(C2 6) 2(C2 6) 3所以 sin C ，又角 C 为锐角，所以 C .12 6由正弦定理，得 ，ac sin Asin Csin4sin62212 2又 c2，所以 a2 .2又 sin Bsin ( AC) sin(AC)sin Acos C cos Asin C ，6 24所以ABC 的面积 S acsin B 2 2 1 .12 12 2 6 24 3
