1、11.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标：1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力(重点)2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用(难点)3.理解和初步掌握赋值法及其应用(重点)自 主 预 习探 新 知1杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C C C .rn 1 r 1n rn2二项式系数的性质(1)对称性：在( a b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 C C ，C
2、 C ，C C .0n n 1n n 1n rn n rn(2)增减性与最大值：当 k 时，二项式系数是逐渐增大的由对称性知它的后半n 12部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数 C取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数 C 与 C 相等，且同时取得最大值3各二项式系数的和(1)C C C C 2 n；0n 1n 2n n(2)C C C C C C 2 n1 .0n 2n 4n 1n 3n 5n基础自测1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列 ( )(2)二项展开式的二项式系数和为 C C C . (
3、 )1n 2n n(3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同 ( )解析 (1) 由杨辉三角可知每一斜行数字的差成一个等差数列，故正确(2) 二项展开式的二项式系数的和应为 C C C C 2 n.0n 1n 2n n(3) 二项式系数最大项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致答案 (1) (2) (3)2(12 x)15的展开式中的各项系数和是( )【导学号：95032084】A1 B1C2 15 D3 152B 令 x1 即得各项系数和，和为1.3在( a b)10二项展开式中与第 3 项二项式系数相同的项是( )A第 8 项 B第 7 项C第
4、9 项 D第 10 项C 由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等4(1 x)4的展开式中各项的二项式系数分别是( )【导学号：95032085】A1,4,6,4,1B1，4,6，4,1C(1) rC (r0,1,2,3)r4D(1) rC (r0,1,2,3,4)r4A 杨辉三角第 4 行的数字即为二项式系数合 作 探 究攻 重 难“杨辉三角”的应用如图 131，在“杨辉三角”中斜线 AB 的上方，从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，.记其前 n 项和为 Sn，求 S19的值图 131思路探究 由图知，数列中的首项是 C ，第 2 项是
5、 C ，第 3 项是 C ，第 4 项是2 12 23C ，第 17 项是 C ，第 18 项是 C ，第 19 项是 C .13 210 10 211解 S19(C C )(C C )(C C )(C C )2 12 23 13 24 14 210 10C (C C C C )(C C C C )(23410)C 211 12 13 14 10 2 23 210 211 312220274. 2 10 92规律方法 “杨辉三角”问题解决的一般方法观察分析；试验猜想；结论证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察如表所
6、示：3跟踪训练1将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15按照以上排列的规律，第 n 行( n3)从左向右的第 3 个数为_前 n1 行共有正整数12( n1)个，即 个，因此第 n 行第n2 n 62 n2 n23 个数是全体正整数中第 个，即为 .(n2 n2 3) n2 n 62求展开式的系数和设(12 x)2 018 a0 a1x a2x2 a2 018x2 018(xR)(1)求 a0 a1 a2 a2 018的值；(2)求 a1 a3 a5 a2 017的值；(3)求| a0| a1| a2| a2 018|的值. 【导学号：95
7、032086】思路探究 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解解 (1)令 x1，得a0 a1 a2 a2 018(1) 2 0181. (2)令 x1，得 a0 a1 a2 a2 017 a2 0183 2 018. 得2(a1 a3 a2 017)13 2 018，4 a1 a3 a5 a2 017 .1 32 0182(3) Tr1 C (2 x)r(1) rC (2x)r，r2 018 r2 018 a2k1 0( kN *)， a2k0( kN)| a0| a1| a2| a3| a2 017| a0 a1 a2 a3 a2 017 a20183 2 018.规律方法1解决
8、二项式系数和问题思维流程2对形如( ax b)n，( ax2 bx c)m(a， b， cR， m， nN *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对( ax by)n(a， bR， nN *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x y1 即可3一般地，若 f(x) a0 a1x a2x2 anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为 a0 a2 a4 ，f 1 f 12偶数项系数之和为 a1 a3 a5 .f 1 f 12跟踪训练2已知(2 x3) 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4，求：(1)a0 a1 a2 a3 a4；
9、(2)(a0 a2 a4)2( a1 a3)2.解 (1)由(2 x3) 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4，令 x1 得(23) 4 a0 a1 a2 a3 a4，所以 a0 a1 a2 a3 a41.(2)在(2 x3) 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4中，令 x1 得(23) 4 a0 a1 a2 a3 a4， 令 x1 得(23) 4 a0 a1 a2 a3 a4. 所以( a0 a2 a4)2( a1 a3)2( a0 a1 a2 a3 a4)(a0 a1 a2 a3 a4)(23) 4(23) 4(23) 4(23) 4625.5二项式系数性质的应用探究问
10、题1根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个 1 等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？提示 对称性，因为 C C ，也可以从 f(r)C 的图象中得到mn n mn rn2计算 ，并说明你得到的结论CknCk 1n提示 .CknCk 1n n k 1k当 k1，说明二项式系数逐渐增大；n 12 CknCk 1n同理，当 k 时，二项式系数逐渐减小n 123二项式系数何时取得最大值？提示 当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当 n 是奇数时，中间的两项C ，C 相等，且同时取得最大值已知 f(x)( 3 x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.3x2
11、(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项. 【导学号：95032087】思路探究 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将 x， y 的系数均考虑进去，包括“” “”号解 令 x1，则二项式各项系数的和为 f(1)(13) n4 n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n.由题意知，4 n2 n992.(2 n)22 n9920，(2 n31)(2 n32)0，2 n31(舍去)或 2n32， n5.(1)由于 n5 为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C (x )3(3x2
12、)290 x6，25T4C (x )2(3x2)3270 x .35(2)展开式的通项公式为 Tr1 C 3rx r5假设 Tr1 项系数最大，6则有Error!Error!Error! r ， rN， r4.72 92展开式中系数最大的项为 T5C x (3x2)4405 x .45规律方法1求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得跟踪训练3(12 x)n的展开式中第 6 项和第 7
13、 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项解 T6C (2x)5， T7C (2x)6，5n 6n依题意有 C 25C 26n8，5n 6n(12 x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5C (2x)41 120 x4.48设第 r1 项系数最大，则有 r0,1,2，8， r5 或 r6.系数最大的项为 T61 792 x5， T71 792 x6.当 堂 达 标固 双 基1已知( a b)n展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于( )A11 B10C9 D8D 第 5 项的二项式系数最大，故展开式为 9 项， n8.2在( x y)n展开式中第 4 项与第 8
14、 项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( ) 【导学号：95032088】A第 6 项 B第 5 项C第 5、6 项 D第 6、7 项7A 因为 C C ，所以 n10，系数最大的项即为二项式系数最大的项3n 7n3若( x3 y)n的展开式中各项系数的和等于(7 a b)10的展开式中二项式系数的和，则 n 的值为_5 (7 a b)10的展开式中二项式系数的和为 C C C 2 10，令( x3 y)n中01 10 10x y1，则由题设知，4 n2 10，即 22n2 10，解得 n5.4(2 x1) 6展开式中各项系数的和为_；各项的二项式系数和为_. 【导学号：95032089】1 64 在二项式中，令 x1，得各项系数和为 1；各项的二项式系数之和为 2664.5已知( a x)5 a0 a1x a2x2 a5x5，若 a280，求 a0 a1 a2 a5的值解 ( a x)5展开式的通项为 Tk1 (1) kC a5 kxk，令 k2，得 a2(1) 2C a380，k5 25解得 a2，即(2 x)5 a0 a1x a2x2 a5x5，令 x1，得 a0 a1 a2 a51.所以 a0 a1 a2 a51.
