1、1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质,1.了解杨辉三角的简单历史，理解二项式系数的性质，应用性质解决一些简单问题,2.根据本节课的内容和学生的实际水平，通过对二项式系数表（杨辉三角）的观察猜想、归纳出二项式系数的性质.,为了实现本节课的教学目标，在教法上采用“观察、猜想、归纳、论述、证明、合作交流”的方法。多给学生一点空间、时间, 由学生观察、探究与交流. 提高归纳猜想能力及表达能力,使学生获得较全面的发展。让学生通过对低阶杨辉三角的观察,猜想并归纳出二项式系数的性质。,本节课从杨辉三角出发，直观地认识二项式性质，构造函数 .,利用函数的思想理解二项式系数的对称性、增减性及最大值，并加以严格
2、的证明，按知识的逻辑关系来编排内容。,二项式定理,(a+b)n=,Cn0an+Cn1an-1b1+Cnkan-kbk+Cnnbn,展形式的第k+1项为,Tk+1=,Cnkan-kbk,计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表：,对称性,议一议,1）请看系数有没有明显的规律？,2）上下两行有什么关系吗？,3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?,a).表中每行两端都是1。,b).除1外的每一个数都等 于它肩上两个数的和。,4+6=10,当n不大时，可用该表来求二项式系数。,总结提炼1:,对称,总结提炼2:,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大,
3、当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大,知识探究3:,每行两端都是1 Cn0= Cnn=1从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1,杨辉三角,九章算术,杨辉,详解九章算法中记载的表,杨辉三角,类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角.在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现
4、的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是：,当 时，其图象是右图中的7个孤立点,对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式 得到,图象的对称轴：,二项式系数的性质,增减性与最大值,由于：,所以 相对于 的增减情况由 决定,二项式系数的性质,由：,二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,可知，当 时，,增减性与最大值,二项式系
5、数的性质,增减性与最大值,二项式系数的性质,各二项式系数的和,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：,同时由于 ，上式还可以写成：,这是组合总数公式,二项式系数的性质,例1.证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。,在二项式定理中，令 ，则：,特值法,1.( 1-x ) 13 的展开式中系数最小的项是( )(A)第6项 (B)第7项 （C）第8项 (D)第9项,2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 （ ）(A)20 (B)219
6、（C）220 (D)220 1,C,D,练习,4或5,例2,例2,例2,-2,-1094,1093,练习:,小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解,例3:在(3x -2y)20的展开式中，求系数最大的项;,杨辉三角的其它规律,第0行1,1、杨辉三角的第2k-1行的各数字特点,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,第5行 1 5 10 10 5 1,第6行 1 6 15 20 15 6 1,第n-1行 1,1,第n行1,1, ,第7行 1 7 21 35 35 21 7 1,杨辉三角的第2k-1行(k是正整数)的
7、各个数字都是奇数（质数的积）,第0行1,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,第5行 1 5 10 10 5 1,第6行 1 6 15 20 15 6 1,第n-1行 1,1,第n行1,1, , ,第7行 1 7 21 35 35 21 7 1,2、杨辉三角中若第P行除去1外，P整除其余的所有数，则行数P是,质数(素数),思考1求证:,略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：再由 得,思考2求证：,证明：,倒序相加法,试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,即证：,证明：在展开式 中 令a=1，b=1得,启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法赋值法.,思考1:,略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：再由 得,求证:,思考2,1.当n10时常用杨辉三角处理二项式系数问题; 2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值; 3.常用赋值法解决二项式系数问题.,课本第43页 A组 8题B组第2题,课后作业,再 见,敬请指导,
