1、1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质问题导学一、与杨辉三角有关的问题活动与探究 1如图所示，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，记这个数列的前 n 项和为 S(n)，则 S(16)等于( )A144 B146C164 D461迁移与应用下列是杨辉三角的一部分(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？(2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看
2、、隔行看，从多角度观察二、二项式系数的性质活动与探究 2(12x) n的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项迁移与应用1 10 的展开式中，系数最大的项为( )(x 1x)A第六项 B第三项C第三项和第六项 D第五项和第七项2若 n(n N*)的展开式中只有第 6 项系数最大，则该展开式中的常数项为( )(x3 1x2) A462 B252 C210 D10(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，
3、需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得三、二项式系数、展开式系数的求和活动与探究 31设 的二项展开式中各项系数之和为 t，二项式系数和为 h，若 ht 272，12()nx则二项展开式含 x2 项的系数为_2设函数 f(x， y) x(m0，y0)若 f(4，y) a 0 ，且(1 my) a1y a2y2 a3y3 a4y4a0a 1a 2a 3a 481，则 a0a 2a 4_迁移与应用1若(2x )4a 0a 1xa 2x2a 3x3a 4x4，则(a 0a 2a 4)2( a1a 3)2 的值为( )3A1 B1C0 D22已知(2x1) na 0a
4、1xa 2x2a nxn展开式中偶数项的二项式系数和为 32，若偶数次项的系数和为 h，奇数次项的系数和为 t，则 h2t 2_来源: 学优 gkstk赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项一般地，对于多项式 f(x)a 0a 1xa 2x2a nxn，各项系数和为 f(1)，奇次项系数和为 f(1)f(1)，偶次项系数和12为 f(1)f( 1) ，a 0f(0)12答案：课前预习导学【预习导引】1(1)1 相等 (2) 和 C Cr 1n rn2(1)首末两端等距离 (2) 增大 减小 ，2n12
5、Cn3(1)2 n (2)2 n1预习交流 (1)提示：C(2)提示：D课堂合作探究【问题导学】活动与探究 1 思路分析：该数列从第 3 项开始每隔一项等于前两项的和解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和C 解析：由题图知，数列中的首项是 C ，第 2 项是 C ，第 3 项是 C ，第 4 项是2 12 23C ，第 15 项是 C ，第 16 项是 C 13 29 19S(16)C C C C C C12 2 13 23 19 29(C C C ) (C C C )12 13 19 2 23 29(C C C C C )(
6、C C C )2 12 13 19 2 3 23 29C C 1210 310164迁移与应用 解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字 1 组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和(2)设 a11，a 23，a 36，a 410，若令 bna n1 a n，则 b12，b 23，b 34，所以可得b n是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列活动与探究 2 思路分析：求(abx) n的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为 A1，A 2，A n1 ，再设第 k1 项系数最大，则由不等式组Error! 确定 k 的值解：T 6C (2x)5，T 7C (2
7、x)6，依题意有来源:学优 GKSTK5n 6nC 25C 26 n85n 6n (12x) 8 的展开式中，二项式系数最大的项为T5C (2x)41 120x 448设第 k1 项系数最大，则有Error! 5k6k5 或 k6(k 0,1,2，8)系数最大的项为 T61 792x 5，T 71 792x 6迁移与应用 1D 解析：由二项式定理可知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等由于二项式系数的最大项为 T6，且 T6C x5 5C 中的二项式系数等于项的系数510 ( 1x) 510的相反数，此时 T6 的系数最小而 T5C x6 4C x2， T7C x4 6C x2
8、，且 C C ，410 ( 1x) 410 610 ( 1x) 610 410 610系数最大的项为第五项和第七项2C 解析：由于展开式中只有第 6 项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为 11，从而 n10，于是得其常数项为 C 210 来源:GKSTK.Com610活动与探究 3 思路分析：本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，用赋值法求各项系数和，利用公式求二项式系数和1 解析：由已知令 x1，则展开式各项系数和 t(31) n4 n，二项式系数和hC C C 2 n，0n 1n nht4 n2 n272，解得 n4(3x x )n(3x x )413 12 13 1
9、2则展开式的通项公式为 Tr1 C (3x )4r (x )r3 4r C x ，r413 12 r443 r6令 2，则 r443 r6含 x2 项的系数为 12思路分析：由 a0a 1a 2a 3a 481 表示的为各项系数和，可令 y1 求得 m值a 0a 2a 4 为奇数项系数和，可令 y1，结合已知求出41 解析：f(4，y )a 0 4，a1y a2y2 a3y3 a4y4 (1 my)令 y1，得 a0a 1a 2a 3a 4(1m) 481，又 m0，m2令 y1，得 a0a 1a 2a 3a 4(1m) 41两式相加得 2(a0a 2a 4)82，a 0a 2a 441迁移与
10、应用 1A 解析：令 x1，得 a0a 1a 2a 3a 4(2 )4，3令 x1，得 a0a 1a 2a 3a 4( 2) 43(a 0a 2a 4)2( a1a 3)2(a 0a 1a 2a 3a 4)(a0a 1a 2a 3a 4)(2 )4(2 )4( 2)( 2) 413 3 3 32729 解析：由已知 2n1 32，n6来源:gkstk.Com(2x 1)6a 0a 1xa 2x2a 6x6令 x1，得 a0a 1a 2a 61，令 x1，得 a0a 1a 2a 3a 4a 5a 6(3) 6而 ha 0a 2a 4a 6，ta 1a 3a 5，h 2t 2(ht)( ht)3
11、6729 当堂检测1 的展开式中二项式系数最大的项是( )1xA第 6 项 B第 8 项C第 5,6 项 D第 6,7 项答案：D 解析：由 n11 为奇数，则展开式中第 项和第 项，即第 6 项和121第 7 项的二项式系数相等，且最大2已知(ax) 5a 0a 1xa 2x2a 5x5，若 a280，则 a0a 1a 2a 5( )A32 B1C243 D1 或243答案：B 解析：展开式的通项为 Tr1 (1) r a5r xr，C令 r2，则 a2(1) 2 a380，a25C(2x) 5a 0a 1xa 2x2a 5x5，令 x1，得 a0a 1a 513(2013 课标全国高考，理
12、 9)设 m 为正整数，(x y) 2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x y)2m1 展开式的二项式系数的最大值为 b若 13a7 b，则 m( ) 来源:GKSTK.ComA5 B6C7 D8答案：B 解析：由题意可知， ， ，2ma21C又13a7b， ，(2)!()137!即 解得 m6故选 B134已知 的二项展开式中奇数项的二项式系数和为 16，则二项展开式中 x 的系2nx数为_答案：10 解析：由已知 2n1 16，n5， 展开式的通项为 Tr1 (x2)5r x103r ，521xC1r5C令 103r1，则 r3，含 x 项的系数为 305(2013 江苏常州模拟)在 的
13、展开式中，82(1)系数的绝对值最大的项是第几项？答案：解：T r1 (1) r 2r 82C()rrrx8C542x(1)设第 r1 项系数的绝对值最大，则 1882.rr，,12.9r故系数绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项(2)求二项式系数最大的项答案：二项式系数最大的项为中间项，即为第 5 项T 5 24 1 120x 6 8C20(3)求系数最大的项答案：由(1)知，展开式中的第 6 项和第 7 项系数的绝对值最大，而第 6 项的系数为负，第7 项的系数为正则系数最大的项为 T7 26x11 1 792x 11 8C(4)求系数最小的项答案：系数最小的项为 T6(1) 5 25 1 792 872172x提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记
