1、12017 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学四模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数 z=1+2i，则复数 z 的模等于（ ）A B2 C D2设集合 A=x|y=log2（x1）， ，则 AB=（ ）A （0，2 B （1，2） C （1，+） D （1，23已知数列a n，那么“对于任意的 nN *，点 Pn（n，a n）都在曲线 y=3x上”是“数列an为等比数列”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4对于平面 和不重合的两条直线 m、n，下列选项中正确的
2、是（ ）A如果 m，n，m、n 共面，那么 mnB如果 m，n 与 相交，那么 m、n 是异面直线C如果 m，n，m、n 是异面直线，那么 nD如果 m，nm，那么 n5设 是不共线的向量， ， ，若 与 共线，则实数 k 为（ ）A0 B1 C2 D16已知 a= ，b=lo ，c=log 2 ，则（ ）Aabc Bbca Ccba Dbac7执行如图所示的程序框图，若输出 S=16，则框图中处可以填入（ ）2An2 Bn4 Cn6 Dn88若圆（x1） 2+（y+1） 2=r2上有且只有两个点到直线 xy+1=0 的距离等于 ，则半径 r 的取值范围是（ ）A B C D9已知数列a n的
3、前 n 项和 Sn满足 Sn=2n2n，则数列a 2n的前 10 项和等于（ ）A380 B390 C400 D41010已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A36 B30 C29 D2011已知函数 ，若函数 f（x）在区间 上为单调递减函数，则实数 的取值范围是（ ）A B C D12已知定义域为（0，+）的函数 f（x）的图象经过点（2，4） ，且对x（0，+） ，都有 f（x）1，则不等式 f（2 x2）2 x的解集为（ ）3A （0，+） B （0，2） C （1，2） D （0，1）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13若曲线
4、 y=lnx 的一条切线是直线 ，则实数 b 的值为 14动点 P（x，y）满足 ，则 z=x+2y 的最小值为 15已知 x（0，+） ，观察下列各式：x+ 2，x+ 3，x+ 4，类比得：x+ ，则 a= 16已知 an= （b1，n2） ，若对不小于 4 的自然数 n，恒有不等式an+1a n成立，则实数 b 的取值范围是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17如图，在ABC 中，角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，满足sin2A+sin2Csin 2B= sinAsinC（）求角 B；（）点 D 在线段 BC 上，满足 DA=DC
5、，且 a=11，cos（AC）= ，求线段 DC 的长418为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，分别记录了 4 月 1 日至 4 月5 日每天的昼夜温差与每天 100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：日期 4 月 1 日 4 月 2 日 4 月 3 日 4 月 4 日 4 月 5 日温差 xC 12 11 13 10 8发芽率 y 颗 26 25 30 23 16（1）从这 5 天中任选 2 天，求至少有一天种子发芽数超过 25 颗的概率；（2）请根据 4 月 1 日、4 月 2 日、4 月 3 日这 3 天的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程= x+ ；（3）根据（2
6、）中所得的线性回归方程，预测温差为 16C 时，种子发芽的颗数参考公式： = ， = x19如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为边长为 2 的菱形，DAB=DBF=60，且 FA=FC（1）求证：FC平面 EAD；（2）求点 A 到平面 BDEF 的距离20在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E： =1（ab0）经过点和点 B（0，2） ，斜率为 k（k0）的直线经过点 P（2，0）且交 E 于 M，N 两点（1）求椭圆 E 的方程；（2）当AOM 与AON 面积比值为 7，求实数 k 的值21已知函数 f（x）=e xx2（a+2）x+b，曲线 y=f（x）在 x=0 处的切线方程
7、为2a2x+yb=0，其中 e 是自然对数的底数） （）确定 a，b 的关系式（用 a 表示 b） ；5（）对于任意负数 a，总存在 x0，使 f（x）M 成立，求实数 M 的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xOy 中，将圆 O：x 2+y2=4 上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 ，得到曲线 C（1）求曲线 C 的参数方程；（2）以坐标原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两坐标系中取相同的单位长度，射线 =（0）与圆 O 和曲线 C 分别交于点 A，B，求|AB|的
8、最大值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x）=|tx2|tx+1|，aR（1）当 t=1 时，解不等式 f（x）1；（2）若对任意实数 t，f（x）的最大值恒为 m，求证：对任意正数 a，b，c，当 a+b+c=m时， m62017 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学四模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数 z=1+2i，则复数 z 的模等于（ ）A B2 C D【考点】A8：复数求模【分析】利用复数模的计算公式即可得出【解答】解：z=1+2i，|z|= = ，故选：A2设集合
9、 A=x|y=log2（x1）， ，则 AB=（ ）A （0，2 B （1，2） C （1，+） D （1，2【考点】1E：交集及其运算【分析】运用对数函数的定义域和含根号函数的值域，化简集合 A，B，再由交集的定义，即可得到所求集合【解答】解：集合 A=x|y=log2（x1）=x|x10=x|x1，=y|y0，则 AB=x|x1y|y0=（1，+）0，+）=（1，+） ，故选：C3已知数列a n，那么“对于任意的 nN *，点 Pn（n，a n）都在曲线 y=3x上”是“数列an为等比数列”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、
10、充分条件与充要条件的判断【分析】根据等比数列的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可7【解答】解：若“对于任意的 nN *，点 Pn（n，a n）都在曲线 y=3x上” ，则 an=3n，则数列a n为公比 q=3 的等比数列，即充分性成立，若 an=2n，满足数列a n为等比数列，但点 Pn（n，a n）都在曲线 y=3x上不成立，即必要性不成立，即“对于任意的 nN *，点 Pn（n，a n）都在曲线 y=3x上”是“数列a n为等比数列”的充分不必要条件，故选：A4对于平面 和不重合的两条直线 m、n，下列选项中正确的是（ ）A如果 m，n，m、n 共面，那么 mnB如果 m，n
11、与 相交，那么 m、n 是异面直线C如果 m，n，m、n 是异面直线，那么 nD如果 m，nm，那么 n【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；2K：命题的真假判断与应用【分析】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，如果 m，n，则mn 或 m 与 n 异面，又由 m、n 共面，那么 mn；如果 m，n 与 相交，那么 m、n 相交或 m、n 是异面直线；如果 m，n ，当 m、n 是异面直线时，则 n 与 可能平行，也可能相交；如果 m，nm，那么 n 或 n分析后即可得到正确的答案【解答】解：A 答案中：如果 m，n，则 mn 或 m 与 n 异面，又由 m、n 共面，那
12、么 mn，故 A 正确；B 答案中：如果 m，n 与 相交，那么 m、n 相交或 m、n 是异面直线，故 B 答案错误；C 答案中：如果 m，n，当 m、n 是异面直线时，则 n 与 可能平行，也可能相交，故 C 答案错误；D 答案中：如果 m，nm，那么 n 或 n8故 D 答案错误；故选 A5设 是不共线的向量， ， ，若 与 共线，则实数 k 为（ ）A0 B1 C2 D1【考点】96：平行向量与共线向量【分析】根据平面向量的共线定理和向量相等的定义，列方程求出 k 的值【解答】解： 是不共线的向量，且 ， ，若 与 共线，则存在实数 ，使 = ； +k =（k + ）=k + ，由向量
13、相等得 ，解得 k=1故选：D6已知 a= ，b=lo ，c=log 2 ，则（ ）Aabc Bbca Ccba Dbac【考点】4M：对数值大小的比较【分析】分别判断 a，b，c 的取值范围即可得到结论【解答】解：a= = 1，b=lo （0，1） ，c=log 2 0，abc故选：A7执行如图所示的程序框图，若输出 S=16，则框图中处可以填入（ ）9An2 Bn4 Cn6 Dn8【考点】EF：程序框图【分析】据程序框图写出几次循环的结果，直到 S=16，判定出 n 满足的条件【解答】解：第一次循环：s=1，n=3；不满足条件；第二次循环：s=4，n=5，不满足条件；第三次循环：s=9，n
14、=7，不满足条件；第四次循环：s=16，n=9，满足条件；输出 s 的值，所以判断框中的条件可填写“n8” 故选：D8若圆（x1） 2+（y+1） 2=r2上有且只有两个点到直线 xy+1=0 的距离等于 ，则半径 r 的取值范围是（ ）A B C D【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】圆心（1，1）到直线 xy+1=0 的距离 d= ，由此根据圆上有且只有两个点到直线 xy+1=0 的距离等于 ，能求出半径 r 的取值范围【解答】解：圆（x1） 2+（y+1） 2=r2的圆心（1，1） ，半径为 r，圆心（1，1）到直线 xy+1=0 的距离 d= =10圆上有且只有两个点到直线 xy+
15、1=0 的距离等于 ， 即半径 r 的取值范围是（ ） 故选：B9已知数列a n的前 n 项和 Sn满足 Sn=2n2n，则数列a 2n的前 10 项和等于（ ）A380 B390 C400 D410【考点】8E：数列的求和【分析】S n=2n2n，n2 时，a n=SnS n1 n=1 时，a 1=S1=1，可得 an，进而达到 a2n再利用求和公式即可得出【解答】解：S n=2n2n，n2 时，a n=SnS n1 =2n2n2（n1） 2（n1）=4n3n=1 时，a 1=S1=1，对于上式也成立a n=4n3a 2n=8n3则数列a 2n的前 10 项和等于= =410故选：D10已知
16、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A36 B30 C29 D20【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由已知三视图得到几何体是平放的三棱柱，底面为直角三角形，高为 4，由此计算外接球的表面积【解答】解：由已知三视图得到几何体是平放的三棱柱，底面为直角边分别为 2，3 的直角11三角形，棱柱的高为 4，所以外接球的直径为 ，所以表面积为：；故选 C11已知函数 ，若函数 f（x）在区间 上为单调递减函数，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【考点】H2：正弦函数的图象【分析】根据三角函数的图象和性质求出函数的单调递减区间，建立不等式关系即可得求得实数 的取值范围
17、【解答】解：函数 在区间 上为单调递减函数，由 2k+ x 2k+ ，求得 + + ，故函数 f（x）的减区间为 + ， + ，kZ函数 f（x）在区间 上为单调递减函数，故有 ，求得 2k+ + ，令 k=0，可得 ，故选：B12已知定义域为（0，+）的函数 f（x）的图象经过点（2，4） ，且对x（0，+） ，都有 f（x）1，则不等式 f（2 x2）2 x的解集为（ ）A （0，+） B （0，2） C （1，2） D （0，1）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系【分析】令 g（x）=f（x）x，求出函数的导数，得到函数 g（x）的单调性，问题转化为g（2 x2）g（2） ，根据函数
18、的单调性求出 x 的范围即可12【解答】解：令 g（x）=f（x）x，则 g（x）=f（x）10，故 g（x）在（0，+）递增，而 g（2）=f（2）2=2，由 f（2 x2）2 x，得 g（2 x2）g（2） ，故 ，解得：1x2，故选：C二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13若曲线 y=lnx 的一条切线是直线 ，则实数 b 的值为 1+ln2 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得切线的斜率，列出方程求解即可【解答】解：曲线 y=lnx，可得 y= ，曲线 y=lnx 的一条切线是直线 y= x+b，
19、可得 = ，解得切点的横坐标 x=2，则切点坐标（2，ln2） ，所以 ln2=1+b，可得 b=1+ln2故答案为：1+ln214动点 P（x，y）满足 ，则 z=x+2y 的最小值为 3 【考点】7C：简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案13【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（3，0） ，化目标函数 z=x+2y 为 y= + ，由图可知，当直线 y= + 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 3故答案为：315已知 x（0，+） ，观察下列各式：x
20、+ 2，x+ 3，x+ 4，类比得：x+ ，则 a= n n 【考点】F3：类比推理；F1：归纳推理【分析】观察前几个式子的分子分母可发现规律得出结论【解答】解：当 n=1 时，a=1，14当 n=2 时，a=2=2 2，当 n=3 时，a=27=3 3，当分母指数取 n 时，a=n n故答案为 nn16已知 an= （b1，n2） ，若对不小于 4 的自然数 n，恒有不等式an+1a n成立，则实数 b 的取值范围是 （3，+） 【考点】6P：不等式恒成立的问题；8H：数列递推式【分析】根据题意可得 b =1+ ，再根据数列的函数特征，即可求出 b 的取值范围【解答】解：若对不小于 4 的自
21、然数 n，恒有不等式 an+1a n成立，则 ，即（n+1） （1b）+3b2n（1b）b+3b 22b，即（1b） （n+1nb）（3b2） （b1） ，b1，nb（n+1）3b2，b（n3）n1，n4，b =1+ ，设 Tn=1+ ，当 n4 时，该数列为递减数列，1+ 1+ =3，b3，故 b 的取值范围为（3，+） ，故答案为：（3，+）15三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17如图，在ABC 中，角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，满足sin2A+sin2Csin 2B= sinAsinC（）求角 B；（）点 D 在线段 BC
22、上，满足 DA=DC，且 a=11，cos（AC）= ，求线段 DC 的长【考点】HT：三角形中的几何计算；HP：正弦定理【分析】 （）根据正弦定理以及余弦定理可得 cosB= ，即可求出 B 的值，（）根据正弦定理和三角形的关系即可求出答案【解答】解：（）由正弦定理及 sin2A+sin2Csin 2B= sinAsinC 可得，a2+c2b 2= ac，cosB= = ，B（0，） ，（）由条件BAD=AC，由 cos（AC）= 可得 sin（AC）= ，设 AD=x，则 CD=x，BD=11x，在ABD 中，由正弦定理得 = ，故 = ，解得 x=4 5，所以 AD=DC=4 518为了
23、解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，分别记录了 4 月 1 日至 4 月5 日每天的昼夜温差与每天 100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：日期 4 月 1 日 4 月 2 日 4 月 3 日 4 月 4 日 4 月 5 日16温差 xC 12 11 13 10 8发芽率 y 颗 26 25 30 23 16（1）从这 5 天中任选 2 天，求至少有一天种子发芽数超过 25 颗的概率；（2）请根据 4 月 1 日、4 月 2 日、4 月 3 日这 3 天的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程= x+ ；（3）根据（2）中所得的线性回归方程，预测温差为 16C 时，种子发芽的颗
24、数参考公式： = ， = x【考点】BK：线性回归方程【分析】 （1）利用对立事件的概率计算所求的概率值；（2）计算 、 ，求出回归系数 ， ，写出回归方程；（3）利用回归方程，计算 x=16 时 的值即可【解答】解：（1）从这 5 天中任选 2 天，至少有一天种子发芽数超过 25 颗的概率为P=1 = ；（2）请根据 4 月 1 日、4 月 2 日、4 月 3 日这 3 天的数据，计算 = （12+11+13）=12，= （26+25+30）=27，回归系数为 = = = ，= =27 12=3，y 关于 x 的线性回归方程为 = x3；（3）根据（2）中所得的线性回归方程，计算 x=16
25、时， = 163=37；即预测温差为 16C 时，种子发芽的颗数为 371719如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为边长为 2 的菱形，DAB=DBF=60，且 FA=FC（1）求证：FC平面 EAD；（2）求点 A 到平面 BDEF 的距离【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LS：直线与平面平行的判定【分析】 （1）由已知分别证明 FBED，BCAD，再由面面平行的判定可得平面 FBC/平面EAD，进一步得到 FC平面 EAD；（2）设 ACBD=O，则 O 为 AC 的中点，可得 FOAO，又 AOBD，由线面垂直的判定可得AO平面 BDEF，在菱形 ABCD 中，求解三角形得答案
26、【解答】证明：（1）BDEF 是菱形，FBED，又 ED平面 EAD，FB平面 EAD，FB平面 EAD，ABCD 是菱形，BCAD，又 AD平面 EAD，BC平面 EAD，BC平面 EAD，又 FBBC=B，FB平面 EAD，BC 平面 EAD，平面 FBC平面 EAD，又 FC平面 FBC，FC平面 EAD；解：（2）设 ACBD=O，则 O 为 AC 的中点，FA=FC，FOAO，又 AOBD，FOBD=O，AO平面 BDEF，在菱形 ABCD 中，AB=2，DAB=60， ，故点 A 到平面 BDEF 的距离为 1820在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E： =1（ab0）经过点
27、和点 B（0，2） ，斜率为 k（k0）的直线经过点 P（2，0）且交 E 于 M，N 两点（1）求椭圆 E 的方程；（2）当AOM 与AON 面积比值为 7，求实数 k 的值【考点】KL：直线与椭圆的位置关系【分析】 （）由椭圆 E 经过点 和点 B（0，2） ，列出方程组，求出a=2，b= ，由此能求出椭圆的标准方程（）取立 ，得（3k 2+4）y 2+16ky+4k2=0，由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能求出实数 k 的值【解答】解：（）椭圆 E： =1（ab0）经过点 和点 B（0，2） ， ，解得 a=2，b= ，椭圆的标准方程为 19（）设点 M（x 1，y 1） ，N
28、（x 2，y 2） ，取立 ，得（3k 2+4）y 2+16ky+4k2=0， ，且=256k 216k 2（3k 2+4）0，解得 0k 24，y 1=7y2 ， ，解得实数 k 的值为121已知函数 f（x）=e xx2（a+2）x+b，曲线 y=f（x）在 x=0 处的切线方程为2a2x+yb=0，其中 e 是自然对数的底数） （）确定 a，b 的关系式（用 a 表示 b） ；（）对于任意负数 a，总存在 x0，使 f（x）M 成立，求实数 M 的取值范围【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性20【分析】 （）求导数，利用曲线 y=f（x）在 x=0
29、 处的切线方程为 2a2x+yb=0 确定 a，b的关系式（用 a 表示 b） ；（）对于任意负数 a，总存在 x0，使 f（x）M 成立，即对于任意负数 a，x0，使f（x） minM 成立，即可求实数 M 的取值范围【解答】解：（）f（x）=e xx2（a+2）x+b，f（x）=e xx2ax+b（a+2），f（0）=2a 2，b=a+22a 2；（）对于任意负数 a，总存在 x0，使 f（x）M 成立，即对于任意负数 a，x0，使 f（x） minM 成立，由（）可知 f（x）=e x（x2a） （x+a） ，令 f（x）=0，可得 x=2a，或 x=aa0，0xa，f（x）0，函数单调
30、递减，xa，f（x）0，函数单调递增，x0，f（x） min=f（a）=e a （3a+2） ，令 g（a）=e a （3a+2） ，则 g（a）=e a （13a）0，此时函数单调递增，即 g（a）g（0）=2，M2请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xOy 中，将圆 O：x 2+y2=4 上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 ，得到曲线 C（1）求曲线 C 的参数方程；（2）以坐标原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两坐标系中取相同的单位长度，射线 =（0）与圆 O 和曲线 C
31、 分别交于点 A，B，求|AB|的最大值【考点】JE：直线和圆的方程的应用【分析】 （1）圆的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 C 的参数方程为（ 为参数）（2）曲线 C 的极坐标方程为极坐标方程 = ，令 =，则极坐标系中 A21，B（ ，+） ，则|AB|=2 ，即可求解【解答】解：（1）圆的参数方程为 （ 为参数）根据题意，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）（2）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） 极坐标方程 =令 =，则极坐标系中 A ，B（ ，+）则|AB|=2 ，当 =0 时，|AB|取最大值为 4选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x）=|tx2|tx+1|，aR（1）
32、当 t=1 时，解不等式 f（x）1；（2）若对任意实数 t，f（x）的最大值恒为 m，求证：对任意正数 a，b，c，当 a+b+c=m时， m【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式【分析】 （1）求出 f（x）的分段函数的形式，求出 f（x）的最大值，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出 m 的值，结合不等式的性质证明即可【解答】解：（1）t=1 时，f（x）=|x2|x+1|，所以 f（x）1，22故不等式的解集为0，+）（2）由绝对值不等式得|tx2|tx+1|（tx2）（tx+1）|=3，所以 f（x）最大值为 3，故 m=3，故 + + + + + + = =3，当且仅当 a=b=c=1 时等号成立，故原结论成立
