1、安庆一中 2018 届高三热身考试数学(文科)试卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集 ，集合 ， ，则下图中阴影部分所表示的集合为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：求出函数 的值域可得集合 ，解不等式 可得集合 ，然后可求出 详解：由题意得 ， 图中阴影部分所表示的集合为 ， 故选 B点睛：本题考查函数值域的求法、不等式的解法和集合的运算，解答的关键是正确理解图中阴影部分所表示的集合的含义2. “ 为假”是“ 为假”的( )条件.A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要
2、D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】分析：根据充分、必要条件的定义进行判断即可详解：当“ 为假”时，则 都为假，故“ 为假” ；反之，当“ 为假”时，则中至少有一个为假，此时“ 为假”不一定成立所以“ 为假”是“ 为假”的充分不必要条件故选 A点睛：利用定义判断充分、必要条件时，可直接判断命题“若 p，则 q”、 “若 q，则 p”的真假即可在判断时，首先要确定条件是什么、结论是什么3. 下面命题中，错误的有( )个若 ，则 是 一个极值点函数 单调递增区间为若函数 区间 上单调递减，则 ，对 恒成立单位正三角形 中，A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】分析：对给出的四
3、个命题逐一判断后可得结论详解：对于，当 时， 不一定是 的极值点，还要看在 左右函数的单调性是否发生变化，故不正确对于，函数 的定义域为 ，单调增区间为 ，故不正确对于，函数 区间 上单调递减时，则 对 恒成立，故不正确对于，正三角形 中，向量 的夹角为 ，所以 ，故不正确综上可得错误的命题有 4 个故选 A点睛：本题考查命题正确与否的判定方法，解题时根据题意对所给的命题逐一判断即可，同时要注意演绎推理和举反例等方法的运用4. 数列 中，已知 ，且 ，( 且 )，则此数列 为( )A. 等差数列 B. 等比数列C. 从第二项起为等差数列 D. 从第二项起为等比数列【答案】D【解析】分析：由已知
4、得 ， , ( 且 )，即 ，( 且 )，由此能推导出数列 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列详解：由 得 ；又 ，得 ，( 且 )， , ( 且 )， ，( 且 )，当 时，上式不成立故数列 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列故选 D点睛：数列的通项 an与前 n 项和 Sn的关系是 ，当 n1 时， a1若适合Sn Sn1 ，则 n1 的情况可并入 n2 时的通项 an；当 n1 时， a1若不适合 Sn Sn1 ，则用分段函数的形式表示5. 在 上任取一个个实数 ，则事件“直线 与圆 ”相交的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据直线与圆相交求出 的
5、取值范围，然后再根据几何概型求解详解：直线 与圆 相交， ，解得 由几何概型概率公式可得所求概率为 故选 C点睛：本题以直线和圆的位置关系为载体考查几何概型，解题的关键是确定几何概型的类型，然后根据公式求解，主要考查学生的转化能力和计算能力6. 某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题设可知该几何体是棱长为 的正四面体，如图，则 ，应选答案 D 。7. 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法.该作中有题为“李白沽酒:李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和
6、花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒?”右图为该问题的程序框图，若输出的 值为 0，开始输入的 值满足 则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：依次运行程序框图中的程序，得到 的取值，然后根据三角函数的相关知识求解详解：设输入的 ，依次运行程序框图中的程序得： ，满足条件，继续运行； ，满足条件，继续运行； ，不满足条件，停止运行输出 由题意得 ，解得 又 ， 故选 B点睛：本题将程序框图和三角求值融合在一起，考查学生的综合运用能力对于三角求值的问题，解题时要依据所给出的角进行适当的变换，通过“拼” 、 “凑”等方式变化成已知角的形式，然后再利用公式求值8. 已知单调函数
7、，对任意的 都有 ，则 ( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】分析：设 ，根据条件求出函数的解析式，再令 代入求解即可详解：设 ，则 ，且 ，令 ，则 ，解得 ， ， 故选 C点睛：解答本题的关键是借助换元法求得函数的解析式，然后再求函数值，主要考查学生的变换能力9. 已知锐角 的三个内角 的对边分别为 ，若 ，则 的值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由 、倍角公式和正弦定理得 ，故 ，根据 是锐角三角形可得 ，于是可得所求范围详解： ， ，由正弦定理得 ， ， 是锐角三角形， ，解得 ， ， 即 的值范围是 10. 已知椭圆 与双曲线 有相
8、同的焦点 ，若点 是 与 在第一象限内的交点，且 ，设 与 的离心率分别为 ，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：设椭圆与双曲线中 ，由题意可得 ，然后用 表示出，得到 的表达式，然后结合二次函数的性质即可求出所求的范围详解：如图，设椭圆与双曲线中 ，则 ，设 由定义可得 ， ， ， ， ， .设则 ，即 故 的取值范围为 故选 D点睛：椭圆或双曲线中的离心率问题可转化为 间的关系的问题，即根据题意得到 间的方程或不等式，然后解方程或不等式可得所求本题中将椭圆和双曲线综合在一起，解题的关键是将 转化为 的函数求解11. 偶函数 定义域为 ，其导函数是 .当 时，
9、有 ，则关于 的不等式 的解集为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据题意，设 g（x）= ，结合题意求导分析可得函数 g（x）在（0， ）上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数 g（x）为偶函数，进而将不等式转化为 g（x）g（ ） ，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得 x 的取值范围详解：由当 时，有 ，可得： cosx+f（x）sinx0根据题意，设 g（x）= ，其导数为 g（x）= ，又由 时，有 cosx+f（x）sinx0，则有 g（x）0，则函数 g（x）在（0， ）上为减函数，又由 f（x）为定义域为 的偶函数，则 g（x）= = =g（ x） ，则函
10、数 g（x）为偶函数， f（ ） g（x）g（ ） ，又由 g（x）为偶函数且在（0， ）上为减函数，且其定义域为 ，则有|x| ，解可得： x0 或 0x ，即不等式的解集为 ；故选：C点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造 ,（2）若 ，就构造 ， （3） ，就构造， （4） 就构造 ，等便于给出导数时联想构造函数.12. 在计算机语言中，有一种函数 叫做取整函数(也叫高斯函数)，它表示 等于不超过 的最大整数，如 ， ，已知 ，（ ，且 ） ，则 ( )A. 2 B. 5 C. 7 D. 8【答案】D【解析】分析：根据题意得到数列 项，通过
11、观察可得数列的周期性，然后根据周期性求值即可详解： ， （ ，且 ） ， ，同理可得 ，即数列 的周期为 6 故选 D点睛：本题考查数列周期性的判定和应用，考查学生的应用意识和解决问题的能力，解题的关键是通过给出的新定义结合列举得到数列 的周期，然后再利用周期求值二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分.13. 观察下列各式: ， ， ，则_.【答案】123【解析】分析：观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,，所求值为数列中的第十项，根据数列的递推规律求解详解：观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，继续写出此数列为 1,
12、3,4,7,11,18,29,47,76,123,，由题意得所求值为数列中的第十项，且第十项为 123，即 点睛：归纳推理中对于由式子归纳得到结论的问题，解题时需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等14. 已知一组数据确定的回归直线方程为 ，且 ，发现两组数据 ，误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线的斜率为 ，当 时，_.【答案】5【解析】分析：由题意求出样本中心点，然后求出新数据的样本中心，利用回归直线的斜率估计值为 ，求出新的回归方程，然后再计算 时 的值详解：一组数据确定的回归直线方程为 ，且 ， ，解得 ，原数据的样本中心点
13、为( 2,4)由题意得去掉数据 后新数据的样本中心为( 2,4)，重新求得的回归直线的斜率估计值为 ，可设新的回归直线方程设为 ，将点( 2,4)代入上式后得 ，解得 ，新的回归直线的方程为 ，将 代入回归直线方程求得 点睛：线性回归方程过样本中心点 是重要的结论，利用此结论可求回归直线中的参数，也可求原样本数据中的参数另外，根据线性回归方程可进行估计和预测15. 已知等腰梯形 如下图所示，其中 ，线段 上有一个动点 ，若，则 _.【答案】【解析】分析：建立平面直角坐标系，由 确定点 E 的位置，然后根据坐标法求详解：由题意建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，设点 E 的坐标为 由题意得 ，解
14、得 。 ， 点睛：建立平面直角坐标系后可将向量数量积的运算转化成数的运算处理，这样可简化数量积的运算、提高计算的速度16. 若对任意的 ，都有 ，且 ， ，则 的值为_.【答案】【解析】分析：根据题意求得函数 的周期，然后根据周期性求值即可详解：对任意的 ，都有 ， ， ， ， ， ，故函数 的周期为 1， 三、解谷题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知数列 中， ，且 .(1)求证 是等比数列，并求 的通项公式 ；(2)数列 满足 求数列 的前 项的和为 .【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）本题给出条件式子较复杂，要把握好证明中式子的结构，从等比数列的定义出发
15、，合理对式子变形进行证明知公比和首项，可求出通项公式（2）给出新数列 结合（1） ，对 化简，易发现为等差与等比商式，联系错位相减法（注意第二个式子所乘的因数为公比）进行求和，可得试题解析： （1）证明：由 ，得 ，所以数列 是以 3 为公比，以为首项的等比数列，从而 ；（2） ， 两式相减得：考点：（1）等比数列的定义及代数变形能力 （2）错位相减法18. 已知某中学高三文科班学生共有 800 人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取 100 人进行成绩抽样调查，先将 800 人按 001，002，800 进行编号.(1)如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读，请你依次
16、写出最先检查的 3 个人的编号；(下面摘取了第 7 行到第 9 行)(2)抽取的 100 人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级;横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如:表中数学成绩为良好的共有 .若在该样本中，数学成绩优秀率是 ，求 的值：在地理成绩及格的学生中,已知 ,求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率.【答案】 （1）785,667,199；（2）【解析】分析：（1）根据随机数表法逐次抽取三个样本即可 （2）根据在该样本中，数学成绩优秀率是 可求得，进而可得 列举出所有基本事件的情况，然后根据古典概型概率公式求解详解：（1）在随机数表中，从第 8
17、行第 7 列的数开始向右三位三位的读数，依次可得抽取的个体的编号为 785,667,199（2）由题意得 ，解得 ， .故 的值分别为 14,17由题意得 ，因为 ， ，所以 搭配的所有情况有：，共 14 种设“ ， 时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件 ，即 .则事件 包含的基本事件有： ，共 2 个 ，即数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为 .点睛：古典概型的概率求解步骤(1)判断试验是否为古典概型，只有同时满足有限性和等可能性的试验才是古典概型；(2)计算基本事件的总数 n 和事件 A 包含的基本事件的个数 m；(3)计算事件 A 的概率 19. 如图,已知四棱锥 的底面为菱
18、形, .(1)求证: ；(2)若 , 与平面 成 角,求点 到平面 的距离.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：（1）取 AB 中点 E,连 PE,CE，由平面几何知识可得 ，于是，故 （ 2）过 P 作 垂足为 F，则 由题意可证得，从而 ，故 可得 E,F 重合又可证得 ，从而得 A,D 到面 PBC 的距离相等然后根据 可得所求详解：(1)取 AB 中点 E,连 PE,CE. ，又四边形 为菱形，且 ， 为等边三角形， 又 ， ，(2) 由(1)知 ， ，过 P 作 垂足为 F，则故 E,F 重合， , ，A,D 到面 PBC 的距离相等设点点 到平面 的距离为 ，由 ，得 ，即
19、 ，解得 即点 到平面 的距离为 点睛：用几何法求点到平面的距离时，一般用等体积法求解，解题时可选择包含所求距离为高的三棱锥，并且从另外一个角度求得该锥体的体积，然后解方程可得所求的距离另外，当直线与平面平行时，则直线上的点到平面的距离处处相等也是在求点到面的距离时常用的结论20. 已知椭圆 的长轴长为 4,且椭圆 与圆 :的公共弦长为 .(1)求椭圆 的方程(2)椭圆 的左右两个顶点分别为 ,直线 与椭圆 交于 两点,且满足,求 的值.【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）由题意得 ，根据椭圆 与圆 的公共弦长为 可得椭圆 经过点，可求得 ，于是可得椭圆的方程 （2）联立直线和椭圆的
20、方程，根据根据系数的关系及 可求得 的值详解：（1）由题意可得 ，所以 .由椭圆 与圆 ： 的公共弦长为 ，即为圆 的直径，所以椭圆 经过点 ，所以 ，解得 .所以椭圆 的方程为 （2）由 得 ，显然0 恒成立设 ，则 ， 又 ， ，又 ， ，整理得 解得 点睛：由于直线与圆锥曲线的位置关系中涉及到大量的计算，因此在解题时要注意“整体代换” 、 “设而不求”等方法的运用，以减少计算量提高解题的效率另外，在解决直线和圆锥曲线位置关系的问题时不要忽视判别式在解题中的应用21. 已知函数 .（1）求 的最大值；（2）证明:对任意的 ,都有 ；（3）设 ,比较 与 的大小,并说明理由.【答案】 （1）
21、 ；（2）见解析；（3）见解析【解析】分析：（1）判断出函数的单调性，然后可求得最大值 （2）由（1）得 设 ，转化为证明 即可，根据 的单调性可得结论成立 （3）由条件得 ，且 ，由于，故只需比较 与 的大小令 ，设 ，故只需证明 即可，由函数的单调性可得结论成立详解：（1）由题意得 ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减， （2）由（1）得 设 ，则 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ， 所以 对任意的 恒成立（3）由条件得 ，且 ， ， ，故只需比较 与 的大小令 ，设 ，则 .因为 ，所以 ，函数 在 上单调递增， 对任意 恒成立，即 ， 点睛：（1）证明不等式或比较两式的大小
22、时，可通过构造函数、根据函数的单调性得到函数的最值，达到证明或比较大小的目的（2）证明 时，也可通过证明 来进行22. 在平面直角坐标系 中,以原点 为极点, 轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知曲线 ,直线 .(1)将曲线 上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2 倍、 倍后得到曲线 ,请写出直线,和曲线 的直角坐标方程；(2)若直线 经过点 且 与曲线 交于点 ,求 的值.【答案】 （1） ， ；（2）2【解析】分析：（1）根据极坐标和直角坐标系间的转化公式及变换公式可得所求的方程 （2）由题意可求得直线 的参数方程，将其代入曲线 的方程消元后得到关于参数的二次方程，然后
23、根据参数的几何意义可得所求详解：（1）将 代入 ，可得 ，直线的直角坐标方程为 设曲线 上任一点坐标为 ，则 ，所以 ，代入 得 ，所以 的方程为 （2）直线： 的倾斜角为 ，由题意可知直线 的参数方程为 （为参数） ，把 （为参数）代入曲线 的方程整理得 设点 对应的参数分别为 ，则 ，由直线参数的几何意义可知 点睛：直线的参数方程中参数的几何意义为求线段的长度带来了方便，但此时要求参数方程中参数的系数的平方和为 1，只有在这一条件下参数的绝对值才表示直线上的点到定点的距离23. 若关于 的不等式 的解集为 ,记实数的最大值为.(1)求的值；(2)若正实数 满足 ,求 的最小值.【答案】 （1）3；（2）3【解析】分析：（1）将问题转化为 ，只需求出的最小值即可 （2）结合 ，利用基本不等式求解即可详解：（1）由题意得 （2）由（1）得 ，且 ，当且仅当 且 ，即 时等号成立，即 的最小值为 3点睛：绝对值三角不等式和基本不等式都是求最值的常用方法，解题时要根据题意选择合适的方法进行求解，同时也要注意这两种方法的使用条件
