1、1专题三 5 大数学思想方法第二节 数形结合思想类型六 数形结合在实数中的应用)(2018山东青岛中考)如图，点 A所表示的数的绝对值是( )A3 B3 C. D13 13【分析】根据负数的绝对值是其相反数解答即可【自主解答】5(2018四川成都中考)实数 a，b，c，d 在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是( )Aa Bb Cc Dd6(2018山东枣庄中考)实数 a，b，c，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是( )A|a|b| B|ac|acCbd Dcd0类型七 数形结合在概率中的应用(2018江苏连云港中考)汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之
2、间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜假如甲、乙两队每局获胜的机会相同(1)若前四局双方战成 22，那么甲队最终获胜的概率是_；(2)现甲队在前两局比赛中已取得 20 的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？【分析】(1)直接利用概率公式求解；(2)画树状图展示所有 8种等可能的结果数，再找出甲至少胜一局的结果数，然后根据概率公式求【自主解答】27(2018浙江湖州中考)某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是( )A. B. C. D.19
3、 16 13 238(2018浙江丽水中考)如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 60，90，210.让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是( )A. B. C. D.16 14 13 712类型八 数形结合在几何中的应用(2018陕西中考)问题提出(1)如图 1，在ABC 中，A120，ABAC5，则ABC 的外接圆半径 R的值为_问题探究(2)如图 2，O 的半径为 13，弦 AB24，M 是 AB的中点，P 是O 上一动点，求 PM的最大值问题解决(3)如图 3所示，AB，AC， 是某新区的三条规划路，其中 AB6 km，AC 3 km，BAC60，BC 所
4、对的圆心角为 60，新区管委会想在 路边建物资总站点 P，在 AB，AC 路边分别建物资分站点BC BC E，F，也就是，分别在 、线段 AB和 AC上选取点 P，E，F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资BC 站点间按 PEFP 的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路 PE，EF 和 FP.为了快捷、环保和节约成本要使得线段 PE，EF，FP 之和最短，试求 PEEFFP 的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)【分析】(1)设 O是ABC 的外接圆的圆心，易证ABO 是等边三角形，所以 ABOAOB5；(2)当 PMAB 时，此时 PM最大，连结 OA，由垂
5、径定理可知 AM AB12，再由勾股定理可知 OM5，所123以 PMOMOP18；(3)设连结 AP，OP，分别以 AB，AC 所在直线为对称轴，作出 P关于 AB的对称点为 M，P 关于 AC的对称点为 N，连结 MN，交 AB于点 E，交 AC于点 F，连结 PE，PF，所以 AMAPAN，设 APr，易求得MN r，所以 PEEFPFMEEFFNMN r，即当 AP最小时，PEEFPF 可取得最小值3 3【自主解答】9(2018贵州贵阳中考)如图，AB 为O 的直径，且 AB4，点 C在半圆上，OCAB，垂足为点 O，P 为半圆上任意一点，过 P点作 PEOC 于点 E，设OPE 的内
6、心为 M，连结 OM，PM.(1)求OMP 的度数；(2)当点 P在半圆上从点 B运动到点 A时，求内心 M所经过的路径长4类型九 数形结合在不等式中的应用(2018浙江舟山中考)已知，点 M为二次函数 y(xb) 24b1 图象的顶点，直线 ymx5分别交 x轴正半轴，y 轴于点 A，B.(1)判断顶点 M是否在直线 y4x1 上，并说明理由(2)如图 1，若二次函数图象也经过点 A，B，且 mx5(xb) 24b1，根据图象，写出 x的取值范围(3)如图 2，点 A坐标为(5，0)，点 M在AOB 内，若点 C( ，y 1)，D( ，y 2)都在二次函数图象上，试比14 34较 y1与 y
7、2的大小5【分析】(1)根据顶点式表达式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数表达式检验，可得答案；(2)根据待定系数法可得二次函数的表达式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；(3)根据解方程组可得顶点 M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质可得答案【自主解答】10(2018江苏连云港中考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yk 1xb 的图象与反比例函数 y的图象交于 A(4，2)，B(2，n)两点，与 x轴交于点 C.k2x(1)求 k2，n 的值；(2)请直接写出不等式 k1xb 的解集；k2x(3)将 x轴下方的图象沿 x轴翻折，点 A落在点 A处，连结 AB，
8、AC，求ABC 的面积6类型十 数形结合在函数中的应用(2018四川达州中考)如图，二次函数 yax 2bxc 的图象与 x轴交于点 A(1，0)，与 y轴的交点 B在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线 x2.下列结论：abc0；9a3bc0；若点 M( ，y 1)，点 N( ，y 2)是函数图象上的两点，则12 52y1y 2； a .35 25其中正确结论有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案【自主解答】7在函数问题中，借助图形理清解题思路，找出题目中的数量关系，从而解决问题，所以，函数及其图象本身就是数形结合
9、的典范数形结合思想在数学中应用还有很多方面，在此不一一列举“数缺形时少直观；形少数时难入微”，把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得以解决11(2018天津中考)已知抛物线 yax 2bxc(a，b，c 为常数，a0)经过点(1，0)，(0，3)，其对称轴在 y轴右侧有下列结论：抛物线经过点(1，0)；方程 ax2bxc2 有两个不相等的实数根；3ab3；其中，正确结论的个数为( )A0 B1 C2 D3参考答案类型六【例 6】 |3|3.故选 A.变式训练5D 6.B类型七【例 7】 (1)12(2)画树状图如下8共有 8种等可能的结
10、果数，其中甲至少胜一局的结果数为 7，甲队最终获胜的概率 .78变式训练7C 8.B 类型八【例 8】 (1)如图，设 O是ABC 的外接圆的圆心，OAOBOC.A120，ABAC5，ABO 是等边三角形，ABOAOB5.(2)当 PMAB 时，此时 PM最大，如图，连结 OA.由垂径定理可知 AM AB12.12OA13，由勾股定理可知 OM5，PMOMOP18.(3)如图，连结 AP，OP，分别以 AB，AC 所在直线为对称轴，作出 P关于 AB的对称点为 M，P 关于 AC的对称点为 N，连结 MN，交 AB于点 E，交 AC于点 F，连结 PE，PF，9AMAPAN.MABPAB，NA
11、CPAC，BACPABPACMABNAC60，MAN120，M，P，N 在以 A为圆心，AP 为半径的圆上设 APr，易求得 MN r.3PEME，PFFN，PEEFPFMEEFFNMN r，3当 AP最小时，PEEFPF 可取得最小值APOPOA，APOAOP，即点 P在 OA上时，AP 可取得最小值如图，设 AB的中点为 Q，AQAC3.BAC60，AQQCACBQ3，ABCQCB30，ACB90，由勾股定理可知 BC3 .3BOC60，OBOC3 ，3OBC 是等边三角形，OBC60，ABO90，由勾股定理可知 OA3 .7OPOB3 ，3APrOAOP3 3 ，7 3PEEFPFMN
12、r3 9，3 21PEEFPF 的最小值为(3 9)km.2110变式训练9解：(1)OPE 的内心为 M，MOPMOC，MPOMPE，PMO180MPOMOP180 (EOPOPE)12PEOC，即PEO90，PMO180 (EOPOPE)180 (18090)135.12 12(2)如图，连接 CM，过 C，M，O 三点作O，连 OC，OO，在优弧 CO取点 D，连 DA，DO.OPOC，OMOM，而MOPMOC，OPMOCM，CMOPMO135，点 M在以 OC为弦，并且所对的圆周角为 135的两段劣弧上( 和 )OMC ONC 点 M在扇形 BOC内时，CMO135，CDO180135
13、45，COO90，而 OA2 cm，OO OC 2 ，22 22 2弧 OMC的长 (cm)90 2180 22同理点 M在扇形 AOC内时，同上的方法得 的长为 cm，ONC 22内心 M所经过的路径长为 2 (cm)12 2 2类型九【例 9】 (1)点 M为二次函数 y(xb) 24b1 图象的顶点，M 的坐标是(b，4b1)把 xb 代入 y4x1 得 y4b1，11点 M在直线 y4x1 上(2)直线 ymx5 交 y轴于点 B，B 点坐标为(0，5)，又 B在抛物线上，5(0b) 24b15，解得 b2，二次函数的表达式为 y(x2) 29.当 y0 时，(x2) 290，解得 x
14、15，x 21，A(5，0)由图象得当 mx5(xb) 24b1 时，x 的取值范围是 x0 或 x5.(3)如图，直线 y4x1 与直线 AB交于点 E，与 y轴交于 F，A(5，0)，B(0，5)得直线 AB的表达式为 yx5，联立 EF，AB 得方程组 解得y 4x 1，y x 5， ) x 45，y 215， )点 E( ， )，F(0，1)45 215点 M在AOB 内，14b1 ，2150b .45当点 C，D 关于抛物线的对称轴对称时，b b，14 34b ，且二次函数图象开口向下，顶点 M在直线 y4x1 上12综上所述，当 0b 时，y 1y 2，12当 b 时，y 1y 2
15、，12当 b 时，y 1y 2.12 4512变式训练10解：(1)将 A(4，2)代入 y 得 k28，k2xy .8x将(2，n)代入 y 得 n ，8x 82n4，k 28，n4.(2)根据函数图象可知2x0 或 x4.(3)将 A(4，2)，B(2，4)代入 yk 1xb 得 k11，b2，一次函数的关系式为 yx2，与 x轴交于点 C(2，0)，图象沿 x轴翻折后得 A(4，2)，SABC (42)(42) 44 228，12 12 12ABC 的面积为 8.类型十【例 10】 由开口可知 a0，对称轴 x 0，b0，b2a由抛物线与 y轴的交点可知 c0，abc0，故正确；抛物线与 x轴交于点 A(1，0)，对称轴为 x2，抛物线与 x轴的另外一个交点为(5，0)，x3 时，y0，9a3bc0，故正确；由于 2 ，且( ，y 2)关于直线 x2 的对称点的坐标为( ，y 2)，12 52 52 32 ，12 32y 1y 2，故正确； 2，b4a.b2ax1，y0，abc0，c5a.2c3，25a3， a ，故正确故选 D.35 25变式训练11C13
