1、1高三数学专题复习数形结合重庆二十九中李勇掌握数学思想方法，逐步强化对理性思维能力的培养，是数学学习和高考复习最重要的任务。用数形结合思想解题既能避免繁杂的计算与推理，又能通过图形直观地考证结论是否完整。因此在历年高考试题的解答中充分体现了数形结合思想的广泛应用。借助数形结合的思想，寻求解答思路及方法是高考热点之一.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有
2、明显的几何意义,函数的图像是函数关系的一种直观、形象的表示，是运用数形结合思想方法的基础。典型例题一:实数与数轴上的点的对应关系例 1(重庆 2004(7)题)一元二次方程 有一210,()axa个正根和一个负根的充分不必要条件是：（选 C ）A B C D0a01分析： 其图象与 x 轴的交点的横坐标是方，令 12)(xxf程 f(x)=0 的解, 由 y=f(x)的图象可知 ,要使两根一正、一负，只需 a0, f(0)0 同时成立解得 a0 D b3 时 U 的取值范围,就可以求出 x 的取值范围,解得 02 解得02,选 A例 4 设函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则函数yfx
3、()y21yx的单调递增区间为（ C ）|()|fxA. （ ） B. （-1， ）， C.0， ） D. （-1 ，0）分析：关键直接作出函数图象而不求函数解析式,从而提高解题速度.第一步是正确作出函数 的图象与函数 的图象如图(1)yfx()yx21第二步是正确作出函数 y= 如图(2)|三、曲线与方程的对应关系例 5. 已 知 ， 则 方 程 的 实 根 个 数 为01aaxxa|log|()A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 1 个或 2 个或 3 个分析：判断方程的根的个数就是判断图象的交点个数,画出|log| xyaax与两个函数的图象,易知两图象只有两个交点,故方程有
4、两个实根,选(B).例 6 解不等式 3log1lxaxa分析：令 =t 则原不等式变形为 ogt-3 设 y = ,y = t-31t1t2转化为比较 y 与 y 大小的问题 正确作出函数 y= ,y= t-3 的图象t令 y =y ,得 t=512因为函数 y = ,y = t-3 都是增函数1t2例 5例 6例 53所以不等式 t-3 的解为： 1t 1 时 ax a 5当 0a1 时 a xa (分类讨论思想)例 7 (重庆 2004(16)题)对任意实数 K，直线： 与椭圆：ykxb恒有公共点，则 b 取值范围是_)20(sin41co23yx分析：椭圆的方程为 ，要使对任意实数 K
5、，直线：16432yx与椭圆恒有公共点，则点（0，b）必须在椭圆的内部，令 f（x，y）=ykx164322y，则 f（0，b）= 解得：-10164322b3b四、以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念例 8(上海 2004(15)题)若函数 yf(x)的图象可由函数 ylg(x1)的图象绕坐标原点 O逆时针旋转 得到，则 f(x)( )2分析：可设 B(x,y)为函数 yf(x)的图象上任意一点, 绕坐标原点 O 顺时针旋转 得到点 A(y,-x),则点 A 必然在函数ylg(x 1) 的图象上 ,代入 ylg(x1)得: -x lg(y1),化简整理得: 即为所求数解析式。10xy例
6、 9.点 M 是椭圆 上的一点，它到其中一个焦点 的距离为 2，N 为1625yx 1FM 的中点，O 表示原点，则|ON|=（ ）1FABCD322484分析：设椭圆另一焦点为 F2， （如下图）则 ， 而|MFa125|8， 又注意到 N、O 各为 MF1、F1F2 的中点，ON 是MF1F2 的中位线， |F124五、所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义已 知 复 数 满 足 ， 求 的 模 的 最 大 值 、 最 小 值 的 范 围 。ziz|2分析： ，有明显的几何意义，它表示复|)(|2|i由 于数 z 对应的 Z在以（2，2）为圆心，半径 为的圆上（如图） ， 而 表示复|
7、z数 z 对应的点 Z 到原点 O 的距离，显然当点 Z、圆心 C、点 O 三点共线时， 取得最值，|minmaxzz232， ，例 11.如果实数 x，y 满足 的最大值为（ ）xy， 则)(ABCD12323分析：等式有明显的几何意义，她表示平面上的一个圆，圆心为（2，0） ，半径r= （如图） ，而 则表示圆上的点（x，y）与坐30标原点（0，0）的连线的斜率。该问题可转化为下面的几何问题：动点 P 在以（2，0）为圆心，半径 r= 的圆上运动，3求直线 OP 的斜率的最大值，由图可见，当 在第一象限，A且与圆相切时，OP 的斜率最大，为 60tg函数的图像是函数关系的一种直观、形象的表示，是运用数形结合思想方法的基础。高考主要考查学生“画图、识图、用图”的能力，考查形式有三种：一是直接考查运用所学各种基本初等函数的图像及图像变换的能力；二是考查从图像中获取信息（如奇偶性、单调性、周期性、对称性以及特殊点的位置、渐近线等）的能力；三是借助数形结合的思想，寻求解答思路及方法。
