1、1 冯 西 桥 清华大学工程力学系 2006.11.02 第五章 本构关系 Constitutive Relation 2 目 录 Chapter 5 引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性 3 Difference between solids and fluids. Mechanics of Solids, The New Encyclopedia of Britannica, 15th edition, Vol. 23, pp. 734-747, 2002. “A material is called solid rather than fluid if it
2、can also support a substantial shearing force over the time scale of some natural process or technological application of interest.” J. R. Rice 3 Chapter 2.1 弹性的定义 4 引 言 Chapter 5 , 0ji j if 应力张量 应力平衡方程： 位移矢量 u 应变张量 e 几何方程： （应变协调方程： ） , 0m jk nil ij k lee e ,( ) / 2ij i j i juue 5 本构关系 材料的变形与所受应力之间的
3、关系； 是材料本身所固有的性质； 本构关系的研究是固体力学最重要的课题之一。 引 言 Chapter 5 ( , , , , , , . . . . . . )i j i j i if u T x t H D 6 目 录 Chapter 5 引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性 7 Chapter 5.1 ACBoe由实验可知当加载到 A点后卸载， 加载与卸载路径并不完全重合 ，亦即应力与应变之间 不是单值对应 的关系。OBACO称为 滞后回线 。其所包含的面积称为 滞后面积 。 弹性的定义 8 Chapter 5.1 对大多数材料来讲，当应力加载幅值较小时，滞后回
4、线非常窄小，可以认为加载与卸载是 重合 的。因此应力与应变间可看作是 单值对应 关系。 弹性的定义 9 弹性本构关系： T F , a其中 F x a4 Chapter 2.1 F 弹性的定义 10 弹性本构关系： 应力与应变率无关，也不依赖于变形历史； 没有迟滞效应。 小变形弹性本构关系 均匀材料的小变形弹性本构关系 均匀材料的小变形线弹性本构关系 ,Tae T C :6 Chapter 2.1 弹性的定义 11 Chapter 5.1 各向同性弹性体 假设物体是 均匀 、 连续 、 各向同性 的，应力和应变间的关系只决定于物体的物理性质，应力和应变之间的关系与坐标的位置和方向无关。 下面所
5、研究的物体仅限于 完全弹性 体，即当物体除去外力后变形完全消失而恢复原状，而且应力与应变间成单值的线性关系。 弹性的定义 12 两个假设 弹性体的响应仅依赖于当前的状态； 弹性体变形可以用一个状态张量关系表示。 7 Chapter 2.1 超弹性（ Green） 弹性的定义 13 线弹性 : ijijWekliji j k lCW ee21广义胡克定律 : kli j k lijij CW ee 8 Chapter 2.1 超弹性（ Green） 弹性的定义 14 , 14 Chapter 2.2 晶体 弹性的定义 15 , 15 Chapter 2.2 silicon 晶体 弹性的定义 16
6、 , 16 Chapter 2.2 晶体 三斜 单斜 正交 三角 四方 六方 立方 弹性的定义 17 17 Chapter 2.2 长链高分子 弹性的定义 18 本构关系 Chapter 5 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性 19 广义胡克定律 Chapter 5.1 单向应力状态时的胡克定律是 式中 E 称为弹性模量。对于一种材料在一定温度下， E 是常数。 xxEe杨氏模量 20 广义胡克定律 Chapter 5.1 在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。在弹性极限内，横向相对缩短 和纵向相对伸长 成正比，因缩短与伸长的符号相反，有： yxeeyexe其中
7、 是弹性常数，称为 泊松比 。 泊松比 21 广义胡克定律 Chapter 5.1 zxyxxyyzzo先考虑在各正应力作用下沿 x 轴的相对伸长，它由三部分组成，即 x x x xe e e e 线弹性叠加原理 22 广义胡克定律 Chapter 5.1 x x x xe e e e 其中 是由于 x的作用所产生的相对伸长 xexx Ee 是由于 y的作用所产生的相对缩短 xeyx Ee 是由于 z的作用所产生的相对缩短 xe zx Ee 23 广义胡克定律 Chapter 5.1 将上述三个应变相加，即得在 x、 y、 z同时作用下在 x轴方向的应变 1yx zx x y z E E E
8、E e 同理可得到在 y轴和 z轴方向的应变 11y y x zz z x yEEe e 24 广义胡克定律 Chapter 5.1 根据实验可知， xy只引起 xy 坐标面内的剪应变 xy，而不引起 xz、 yz，于是可得 xyxy G 同理 yzyzzxzxGG25 广义胡克定律 Chapter 5.1 于是，得到各向同性材料的应变 -应力关系： 111xyx x y z x yyzy y x z y zzxz z x y zxEGEGEGe e e 26 广义胡克定律 Chapter 5.1 杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为 EG=+ 2 ( 1 )将弹性本构关系写成指标形式为 1
9、i j i j k k i jEEe 27 广义胡克定律 Chapter 5.1 111x x y zy y x zz z x yEEEe e e 1212x y z x y z x y zx y zEEe e e 28 广义胡克定律 Chapter 5.1 如用应变第一不变量 代替三个正应变之和，用应力第一不变量 表示三个正应力之和，则 123EK 12x y z x y zE e e e 其中 称为体积模量。 3 (1 2 )EK 29 广义胡克定律 Chapter 5.1 1 1 2 ; i j i j k k i jE E E e 1121 1 2ij ij ijij ijEEG e e 1 1 2E 令 2ij ij k k ijG e e 则 30 广义胡克定律 Chapter 5.1 弹性关系的常规形式为 2 ; 2 ; 2 ; x x x y x yy y y z y zx z zx zxGGGGGG e e e 其中 G 和 称为 拉梅常数 。
