1、山东省实验中学 2019 届高三第一次诊断性考试数学试题( 文科)说明：本试卷满分 150 分，分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷为第 1 页至第 2 页，第卷为第 3 页至第 4 页。试题答案请用2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间 120 分钟。第卷 （共 60 分）一、选择题（本题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一个选项符合题意）1.设集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由 可解得 ，根据集合的交集运算求解即可.【详解】因为 ，根据指数函数的性质可解得 ，所以 ,故选
2、B.【点睛】本题主要考查了指数函数的性质及集合的交集运算，属于中档题.2.下列函数中在区间 上为增函数的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据常见基本初等函数的单调性，逐项分析各个选项即可求出.【详解】对于选项 A，在区间 上为减函数，对于选项 B, 在区间上为减函数，对于选项 C, 在区间 上为增函数，对于选项 D，在区间 上为减函数，故选 C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，属于中档题.3.设函数 （ ） ，则 是A. 最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数【答案】B【解析】试题分析： ，最小正周
3、期 T= ，为偶函数.考点：三角函数的奇偶性与最小正周期.4.已知命题 ，命题 ，如果 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简命题 q: 或 ， 是 的充分不必要条件可知 ，反之则不成立，所以 .【详解】由 可知， 或 ，因为 是 的充分不必要条件，所以，即 是 的真子集，故 ，选 B.【点睛】本题主要考查了充分不必要条件，子集的概念，属于中档题 .5.已知 ， ， ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质可比较 ，分析 ，即可比较大小.【详解】因为 ， ，所以 ，又因为 ，故选 B.【点睛】本题主要考查了
4、指数函数的性质及对数函数的性质，属于中档题.6.若函数 为奇函数，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据解析式可知， ,又函数为奇函数，故 .【详解】因为 ，而 为奇函数，所以 ，所以 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及分段函数的解析式，属于中档题.7.已知函数 则函数 的大致图象是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由 的解析式知，当 时，函数 图象中的一段在 处应该是空心点，所以可知 的图象中有一段在 ，即 时， 处为空心点，据此选出即可.【详解】因为函数为分段函数，且两段分别为指数和对数函数，当 时，其中对数函数一段图象在 为空心点，所以当
5、，即 时， 图象必在 处为空心点，故选 A.【点睛】本题主要考查了指数函数及对数函数的图象，属于中档题.8.在 中，角 为 ， 边上的高恰为 边长的一半，则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】作 延长线上一点 为等腰直角三角形，设 ，则 ，由勾股定理得 ，由余弦定理得 ，故选 A.9.函数 在 上单调递减，且 的图像关于 对称，若 ，则满足的 取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象平移可知， 关于 对称，所以 关于 y 轴对称，所以，结合增减性可知 只需 即可,所以可解出 .【详解】因为 的图象向左平移 2 个单位可得到 的图象，所以由 的图像
6、关于 对称可知 的图象关于 y 轴对称，为偶函数，所以 上为增函数且，所以 只需 ，解得 ，故选 D.【点睛】本题主要考查了抽象函数的奇偶性、增减性及解不等式，属于中档题.10.已知为自然对数的底数， 是可导函数.对于任意的 ， 恒成立，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意构造函数 ，则 ，可知函数为 R 上的减函数，所以，即可求出.【详解】根据题意构造函数 ，则 ,所以函数为 R 上的减函数，所以 ， ，即 ， ，化简可得，故选 C.【点睛】本题主要考查了导数在判断函数增减性中的应用，属于中档题.11.将函数 （ ）的图象向左平移 个单位长度，所得图象过点 ，则的最小
7、值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将函数 （ ）的图象向左平移 个单位长度，可得 ，图像过点 可知 ，故当 时即可.【详解】将函数 （ ）的图象向左平移 个单位长度，可得，因为图像过点 可知 ，由 且 最小知，当时，即 时成立，故选 C.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象和性质，属于中档题.12.已知对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立（为自然对数的底数） ，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用导数先求出函数 的值域，再利用导数研究函数 ，根据函数的大致图象，让 的值域是 的不含极值点的单值区间的子集即可.【详解】设 ，当 时
8、， ， 是增函数，所以 时，设 ， ，当 时， ，当 时，所以 在 上是减函数，在 上是增函数，且 ，因为对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，所以只需 ，解得 ，故选 D.【点睛】本题主要考查了方程恒成立问题，构造函数，利用导数求函数的单调性和取值范围，属于难题.第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本题包括 5 小题，共 20 分）13.函数 的定义域是_【答案】 .【解析】要使函数有意义，则自变量 需满足：，解得： ，且 ，函数 的定义域是： 点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可14.已知命题 “ ”.若命题 是假命
9、题，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据命题 是假命题知 p 是真命题，即转化为 恒成立问题，求的值域即可.【详解】因为命题 是假命题，所以 p 是真命题，即 ，所以有解即可，令 ， ，利用二次函数可知，故 .【点睛】本题主要考查了二次函数求值域，恒成立问题，属于中档题. 分离参数的方法是解题的关键.15.已知 （ ） ，则 _.【答案】-7【解析】【分析】由 （ ） ， 可得 ，而，即可求出.【详解】因为 （ ） ，所以 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，联立解得 ，所以 ，而 ，所以填 .【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于中档题 .16.已知 是
10、奇函数，当 时， （ ） ，当 时， 的最小值为 ，则的值为_【答案】1【解析】试题分析：由于当 时， 的最小值为 ，且函数 是奇函数，所以当时， 有最大值为-1，从而由 ，所以有 ；故答案为：1考点：1函数的奇偶性；2函数的导数与最值三、解答题（本题包括 6 小题，共 70 分）17.函数 ，（1）求 的值； （2）若 ，求 的值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）根据解析式直接计算 即可（2）利用诱导公式得 ，再根据二倍角公式计算.【详解】 （1）则（2）则【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式及两角和差的余弦公式，属于中档题 .18.函数 （ ）的导函数的图象如图所
11、示：（1）求 的值并写出 的单调区间；（2）若函数 有三个零点，求的取值范围【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】【分析】（1）根据导函数的图象可写出函数的单调区间（2）利用导数研究函数的极大值及极小值，根据增减性只需极大值大于 0，极小值小于 0 即可.【详解】(1)因为 f(x) x3 ax2 bx c，所以 f( x) x22 ax b.因为 f( x)0 的两个根为1，2，所以解得 a ， b2，由导函数的图象可知，当1 x2 时， f( x)0，函数单调递减，当 x1 或 x2 时， f( x)0，函数单调递增，故函数 f(x)在(，1)和(2，)上单调递增，在(1，2)上单调递
12、减(2)由(1)得 f(x) x3 x22 x c，函数 f(x)在(，1)，(2，)上是增函数，在(1，2)上是减函数，所以函数 f(x)的极大值为 f(1) c，极小值为 f(2) c .而函数 f(x)恰有三个零点，故必有解得 c .所以使函数 f(x)恰有三个零点的实数 c 的取值范围是 .【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，极值，零点问题，属于中档题.19.函数 （ ）的最小正周期为 .（1）求 的值；（2）当 时，求 的值域.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）化简函数解析式，利用周期求出 （2）根据角的范围得到 ，利用正弦函数的图象和性质即可求出.【详
13、解】 （1），（2） ， 在 上单调递减，在 上单调递增的值域为【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，正弦型函数的值域，属于中档题 .20.已知函数 （ ） （1）当 时，求此函数对应的曲线在 （为自然对数的底数）处的切线方程；（2）求函数 的单调区间【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，即可写出切线方程（2）求出函数导数，分类讨论，确定导数的正负，即可写出单调区间.【详解】 （ ）当 时， ， ， ，切线方程为 （ ） 令 ，则 或 ，当 时， 在 上为减函数， 上为增函数 当 时， 在 ， 上为增函数在 上为减函数， 当 时， 在 上为增
14、函数， 当 时， 在 ， 上为单调递增，在 上单调递减【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求切线方程，利用导数求函数单调区间，分类讨论的思想方法，属于中档题.21. 三个内角 的对边分别为 ， .（1）证明： ；（2）若 ， ， 为边 上一点且 ，求 的面积 .【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，化简得 ，即可证明（2）利用余弦定理求出 ，求出 ， ，利用面积公式求解即可 .【详解】 （1）在 中，（2）在 中，在 中，有或为边 上一点，的面积为【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题 .22.已知函数 （ ） （1）若
15、函数 在 上是减函数，求实数的取值范围；（2）令 ，是否存在实数，当 （为自然对数的底数）时，函数 的最小值是 ，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）当 时，证明： 【答案】 （1） ；（2） ；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据函数在 上是减函数知其导数 在 上恒成立，结合二次函数性质可求得的范围（2）先假设存在，对函数 求导，根据的值分情况讨论在 上的单调性和最小值取得，可知当 能够保证当 时 有最小值 3（3）令 由（2）知， ，令 可求出其最大值为 3，即有，化简即可得证.【详解】 （1） 在 上恒成立，令 ，有 得 ，得 （2）假设存在实数，使 有最小值 3，当 时， 在 上单调递减， （舍去） ，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 ，满足条件当 时， 在 上单调递减， （舍去） ，综上，存在实数 ，使得当 时 有最小值 3 （3）令 由（2）知， 。令 ，则当 时， ，所以 在 上单调递增，故 ，所以 ，即 ， 故 。【点睛】本题主要考查了导数的运算和函数的单调性，利用函数的单调性证明不等式，分类讨论的思想，属于难题.
