八年级数学上册 第五章 二元一次方程组同步辅导素材（打包7套）（新版）北师大版.zip

1一次函数协助方程组来闯关一、求方程组例 1 在平面直角坐标系中，有 A（1，4） ，B（2，3） ，C（2，-1） ，D（-1，1）四点，则经过点 A，C的直线 l1与经过点 B，D 的直线 l2的交点可以看做是方程组______的解．分析：用待定系数法分别求出 l1与 l2的表达式，根据一次函数与二元一次方程组的关系，联立直线l1与 l2的表达式即得方程组．解：设直线 l1的表达式为 y=k1x+b1.根据题意，得 142kb， ， 解得 159kb，.则 l1的函数表达式是 y=-5x+9，变形得 5x+y=9；设直线 l2的表达式为 y=k2x+b2.根据题意，得 231kb，， 解得25k，.则 l2的函数表达式是 y= x+ ，变形得 2x-3y=-5. 故可填 9235.xy，23 53二、求方程组的解例 2 如图，直线 l1： y=x+1 与直线 l2： y=mx+n 相交于点 P（1， b） ．（1）求 b 的值；（2）不解关于 x， y 的方程组 1yxmn， ， 直接写出方程组的解；（3）直线 l3： y=nx+m 是否也经过点 P？请说明理由．分析：（ 1） 把 P（ 1， b） 代 入 y=x+1 即 可 求 得 b 的 值 ； （ 2） 利 用 二 元 一 次 方 程 组 的 解 与相 应 两 条 直 线 的 交 点 坐 标 的 关 系 得 解 ； （ 3） 先 将 点 P 代 入 直 线 l2，得到 m+n 的值，再将点 P 代入直 线 l3验证.解 ： （ 1） 因 为 点 P（ 1， b） 在 直 线 y=x+1 上 ， 所 以 当 x=1 时 ， b=1+1=2．（ 2） 由 题 意 ， 知 方 程 组 mn， 的 解 是 ，2.（ 3） 直线 l3也经过点 P．理由：因为点 P 为直 线 l2上的点，所以当 x=1 时，y=mx+n=m+n=2.将点 P 代入直线 l3，则 y=n+m=2，所以 P（1，2）满足函数 y=nx+m 的表达式，则直线 l3经过点 P．1二元一次方程（组）概念错杂谈易错点一 对二元一次方程理解不透致错例 1 下列式子：①2x+y=3；② 432yx，③3x+5y；④xy+5x=0；⑤3x-2y=3a；⑥x 2+y－4=0；⑦y－1=0.其中是二元一次方程的是 . (填序号)错解：①②③④⑤⑥⑦剖析：方程②中分母上有字母，不是整式方程；③是代数式不是方程；⑤含有三个字母； 方程④⑥中，含未知数的项 xy 与 x2 的次数是 2；⑦只有一个未知数.正解：①方法指导：含有两个未知数，并且含未知数项的次数是 1 的方程叫做二元一次方程.同时具备下列 3个条件的方程才能叫做二元一次方程：（1）是整式方程，即等号两边的代数式必须是整式（即单项式或多项式） ；（2）有两个未知数；（3）含未知数项的最高次数为 1，二元一次方程中的“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数.易错点二 对二元一次方程组的概念理解不清致错例 2 下列方程组哪些是二元一次方程组？ （1） 53yx （2） 43yx（3） 42yx（4） 12yx错解：（2）剖析：错解误以为二元一次方程组中的两个方程一定是二元一次方程，所以没有选（1） （3）正解：（1） （2） （3）方法指导：二元一次方程组是由几个一次方程组成，并且方程组中共有两个未知数，这样的方程组叫做二元一次方程组.方程组里的两个方程中，同一字母必须表示同一数量，这样才能合在一起（解应用题时尤其要注意）. 易错点三 未充分考虑题目中隐含条件致错例 3 方程（a-1）x |a|+3y=5 是关于 x，y 的二元一次方程.那么 a= .错解：±1剖析：错解没有考虑“x 的系数不为 0”这个隐含条件.正解：1方法指导：在运用二元一次方程组的定义解决问题的时候，题目中的隐含条件要挖掘出来，不能遗漏.1代入法解方程组有妙招代入消元法是解二元一次方程组的一种基本方法，其一般步骤可概括为四字诀：方程变形；代入消元；回代求解.按此步骤我们可顺利求出一个二元一次方程组的解．在实际的解题中，若能依据其系数的某些特点，把代入法用巧、用活，则可化繁为简，化难为易．一、整体代入法例 1 解方程组：123().xy， ①②解析：仔细观察方程组，发现“ x＋1”看做一个整体，利用整体代入解决．由①，得 x＋1=6 y. ③将 x＋1=6 y 代入 2(x＋1)－ y=11，得 12y－ y=11.解得 y=1．将 y=1 代入③，得 x=5．所以原方程组的解为 51.y，例 2 解方程组： 3(2)4()9652.x， ①（ ） （ ） ②解析：观察方程组中的两个方程都含有“ x＋2” ， “y－1” ，所以可将“ x＋2” ， “y－1”看作两个整体，由于两个方程中“ x＋2”的系数成倍数关系，所以可利用整体代入消元求解．由①，得 3(x＋2)=9＋4( y－1)． ③将③代入②，得 2[9＋4( y－1)]－5( y－1)=12．整理，得 y－1=－2，所以 y=－1．将 y=－1 代入③，得 x=－ 35．所以方程组的解为 1.y，二、设参数代入法例 2 解方程组： .0213,5xy解析：设 kx，则 x=5k. ③y=3k. ④把③、④代入②，得-9k-1+10k=0.解得 k=1，从而得到 x=5，y=3．所以原方程组的解为 .3,5yx1点拨：方程组中的方程以比例的形式出现（如类似 byax） ，或以可化为比例的形式出现（如 ay=bx）时，引入辅助参数消元，往往能起到事半功倍的效果．1巧解还需巧方法在解二元一次方程组时，若能够仔细观察、捕捉方程的系数特点和结构特征，灵活选择适当的方法进行求解，可简化解题过程，提高准确率. 一、当某一个未知数的系数是 1 或一个方程的常数项为零时，优先考虑代入法例 1 解方程组： 236xy① ②分析：方程①中未知数 x 的系数为 1，宜用代入法．解：由①，得 x＝1+2y. ③将③代入②，得 2(1+2y)+3y＝16.解得 y＝2.将 y＝2 代入③，得 x＝5.所以原方程组的解是 52y二、当两个方程中，同一未知数的系数的绝对值相等时，优先考虑加减法例 2 解方程组： .52,4yx分析：通过观察发现两个方程中 y 的系数互为相反数，选用加减法较为简便．解：①＋②，得 3x＝9.解得 x＝3.把 x＝3 代入①，得 y＝ 51.所以原方程组的解是 .,3三、当有一未知数的系数成倍数关系，可优先考虑加减法也可整体代入直接消元例 3 解方程组： 3214xy① ②分析：方程组中 y 的系数成倍数关系，将①×2-②消去 y 求解．解：①×2-②，得 4x＝4.解得 x＝1.把 x＝1 代入①，得 y＝－1.所以原方程组的解是 1四、以上三种特征都不具备时，可优先考虑加减法例 4 解方程组： 2351xy①②分析：观察方程组未知数系数的特点，本题可由① 2+②×3 消去 y 求解．解：① 2+②×3，得 13x=26．解得 x＝2.①②2把 x＝2 代入①，得 y＝3．所以原方程组的解为 2x1手把手教你解方程组例题 解方程组： 3217xy①②一、代入消元法解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”转化为“一元” ，其主要步骤可以分为三步：1. 用一个未知数的值去代替另一个未知数． （注意选取系数比较简单的方程进行变形）2. 将求得的式子代入到另一个方程，消去其中的一个未知数，并求出另一个未知数的值． （代入消元时，一定要将求得的式子代入另一个方程进行消元）3. 将求得的这个未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值，最后写成方程组解的形式． 解：由②，得 x=7-3y. ③把③代入①中，得 3(7-3y)-2y=-1，解得 y=2．把 y=2 代入③，得 x=7-3×2=1．所以原方程组的解是 12xy，二、加减消元法通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．其主要步骤为三步：1. 将某一未知数的系数变成相等或互为相反数.(变换系数时，要选取系数较为简单的未知数作为消元对象，不要漏乘方程中的常数项）2. 将变形后的方程与另一个方程相加或相减，消去一个未知数． （注意不要出现符号错误)3. 将求出的未知数的值回代到原来方程组中任意一个方程，从而求出另一个未知数的值，最后要写成解的形式.解：①-②×3，得-11y=-22，则 y=2．把 y=2 代入②中，得 x+6=7，解得 x=1．所以原方程组的解为 12y，温馨提示：代入法和加减法都是解二元一次方程组最基本的方法，在解方程组时，如果题目无具体要求，可选用任何一种方法，做题时应观察分析，根据系数的具体特点，选择较为简便的方法．1掌握方法后 解题正当时1.抓住关键词列方程组实际问题中的数量关系一般有和差关系或倍数关系，常用“一共有” 、 “比…多” 、 “比…少” 、 “是…的几倍”等表示.在解题时，可抓住这些关键词找等量关系，按叙述顺序列方程组解决问题.例 1 儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打 8 折，比标价省 14元.已知书包标价比文具盒标价的 3 倍少 6 元，那么书包和文具盒的标价各是多少元?分析：题设条件中的关键词是“省 14 元” 、 “3 倍少 6 元” ，由“省 14 元”可得等量关系：（书包标价＋文具盒标价）－0.8×（书包标价＋文具盒标价）＝14；由“3 倍少 6 元”可得等量关系：3×文具盒标价－书包标价＝6，据此可列方程组求解.解：设书包的标价是 x 元，文具盒的标价是 y 元.根据题意，得 .63,1480y解得 .9,51x答：书包的标价是 51 元，文具盒的标价是 19 元.解后反思：抓住题设条件中给出的两个关键词深入分析，即可找到两个不同的等量关系，进而设未知数可列出方程组解决问题.2.应用数学公式列方程组数学中常见的公式有：工作效率×工作时间＝工作量，单价×数量＝总量，速度×时间＝路程，长方形面积＝长×宽，利润＝售价－进价等等. 在实际问题中，依据这些公式寻找等量关系列方程组可迅速解决问题.例 2 一批机器零件共 840 个，如果甲先做 4 天，乙加入一起做，那么再做 8 天才能完成；如果乙先做 4 天，甲加入一起做，那么再做 9 天才能完成.问：两人每天各做多少个机器零件？分析：由“甲先做 4 天，乙加入一起做，那么再做 8 天才能完成”可知甲的工作效率×12＋乙的工作效率×8＝总工作量；再由“乙先做 4 天，甲加入一起做，那么再做 9 天才能完成”可知乙的工作效率×13＋甲的工作效率×9＝总工作量，据此可列出方程组解决问题.解：设甲每天做 x 个零件，乙每天做 y 个零件.根据题意，得 .840139,2y解得 .30,5x答：甲每天做 50 个零件，乙每天做 30 个零件.解后反思：此类型问题通常是借助数学公式列方程组，题设一般会给出两种不同方式的条件，虽然方式不同，但都可用同一个公式列方程.3.从几何图形中寻找等量关系列方程组在某些几何图形中隐含着线段或角度之间的和差倍分关系，以及余角或补角关系，巧妙利用这些关系可列出方程组解决问题.例 3 如图，8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？分析：由于这 8 块长方形地砖的大小是相同的，由题目提供的几何图形来看，大长方形的对边相等，所以有这样两个等量关系： 1 个小长方形的宽与 1个小长方形的长的和为 60 cm； 2 个小长方形的长等于 1 个小长方形的长与 3个小长方形的宽的和. 2解：设每块地砖的长为 x cm，宽为 y cm.根据题意，得 .32,60y解得 .15,4答：每块地砖的长为 45 cm，宽为 15cm.解后反思：此类型问题给出的几何图形中，通常都隐藏着两个以上的等量关系（比如本例题，除上面的等量关系外，还有 4y＝60） ，需要我们细心观察图形，从图形中挖掘出等量关系列出方程组.1鸡兔同笼情境导入鸡兔同笼问题：鸡兔共有头 18 个，足 60 只，问有多少只鸡？多少只兔？一元一次方程的解法：设鸡的只数为 x，则兔子的只数为 18-x.根据题意，得 2x+4(18-x)=60.解得 x=6.所以 18-x=18-6=12.答：鸡有 6 只，兔子有 12 只.同学们，你能用二元一次方程组的解法求解吗？还有别的方法吗？动手试一试吧！鸡兔同笼趣味无穷——情境导入问题拓展苗伟情境导入鸡兔同笼问题的别样解法，同学们一起来探究吧！二元一次方程组的解法：设鸡有 x 只，兔子有 y 只.根据题意，得 .6042,18解得 .12,yx答：鸡有 6 只，兔子有 12 只.下面给出几种富有趣味的间接解法，供同学们学习时进行参考.古代算术解法：假设这 18 只都是兔子（也可以都是鸡） ，那么 18 只兔子应该有 72 只足，但现在只有 60 只足，为什么会多出 12 只足呢？这是因为多假设了 6 只兔子，实际上有兔子 12 只，鸡 6 只.这种是创造性的，突破常规的解法.现代算术解法：设想发生了一种奇特的现象，所有的鸡都来个“金鸡独立” ，同时所有的兔子都只用两只后足站立，那么这时着地的足数为 30，足数 30 与头数 18 相差 12，这是因为鸡的头数与足数一一对应，而兔子着地的足数比“金鸡独立”的足数多 12，所以有兔子 12 只，鸡 6 只.我国数学家张景中院士的解法更妙，他先问“兔子有 4 只足，鸡只有 2 只足，这岂不是太不公平了吗？”经过思考，学生找到理由：“不是不太公平，鸡还有两只翅膀呢！”问：如果翅膀也算足，总共该有多少足？答：18×4=72，即 72 只足.问：但题中翅膀不算足，只有 60 只足，那么有多少只翅膀呢？答：72-60=12，即 12 只翅膀，于是大家兴奋地喊出来：“6 只鸡！”同学们，通过对这一问题的解答（当然方法不止这些） ，你是不是觉得数学也不是那么枯燥，而是一个充满乐趣的探究过程呢？