1、考点一,考点二,考点三,考点四,返回目录,1.直线的倾斜角和斜率 （1）倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴按逆时针方向绕着交点旋转到和直线重合时所成的角,叫作 .规定：直线与x轴平行或重合时=0.故倾斜角的范围是 .,直线的倾斜角,0180,（）斜率：当90时，tan表示直线的 ，常用k表示，即k=tan;当=90时，斜率k .当直线l过（x1,y1）,P2(x2,y2)(x2x1) 时，l的斜率k . .直线方程的三种形式 （）点斜式: 表示过（x0,y0）点且斜率为k的直线. 特例：y=kx+b表示过（0，b）点且斜率为k的直线，该方程叫直线方程的 ，其中b表
2、示直线在y轴上的截距.,返回目录,斜率,不存在,y-y0=k(x-x0),斜截式,（）两点式: 表示过（x1,y1）, P2(x2,y2)两点的直线. 特例： ,其中a,b分别表示直线在x轴，y轴上的截距，该方程叫作直线方程的 . （）一般式： . 3.两直线平行 （1）对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(b1b2).l1l2. （2）对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.l1l2 .,返回目录,截距式,x+By+=0(，不同时为0),k1=k2,A1B2-A2B1=0 A1C2-A2C10(或B1C2-B2C10),4.两直线垂直 （1）
3、对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2. l1l2 . （2）对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0. l1l2 .,返回目录,k1k2=-1,A1A2+B1B2=0,返回目录,若a , ),则直线2xcos+3y+1=0的倾斜角的取值范围是（） , ) B. , ) C. 0 , ), D. , ),【分析】从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的范围，再确定倾斜角范围.,考点一 直线的倾斜角与斜率,返回目录,【解析】设直线的倾斜角为，则tan=- cos. 又 , ) ,0cos , - - cos0. 即- tan0,注意到0, . 故应选B.,
4、（1）求一个角的范围，是先求这个角某一个函数值的范围，再确定角的范围.（2）在已知两个变量之间的关系式要求另一个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得到另一个变量的范围，本题中，在tan=- cos- - cos0时，是利用余弦函数的单调性放缩的，其目的是消去变量得到角的正切值范围.,返回目录,对应演练,设 ，则直线y=xcos+m的倾斜角的取值 范围是（ ） A.( ,) B.( , ) C.( , ) D.( ，),D( , k=cos(-1,0). 倾斜角( ,).故应选D.),返回目录,返回目录,求适合下列条件的直线方程: (1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; (2)
5、过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的- ; (3)过点A(1,-1),与已知直线l1:2x+y-6=0相交于B点且|AB|=5.,【分析】选择适当的直线方程形式,把所需要的条件求出即可.,考点二 求直线方程,返回目录,【解析】 (1)解法一:设直线l在x,y轴上的截距均为a.若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),l的方程为y= x,即2x-3y=0.若a0,则设l的方程为 ,l过点(3,2), ,a=5,l的方程为x+y-5=0.综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.,返回目录,解法二:由题意,所求直线的斜率k存在且k0, 设直线方程为y-2=k(x-3),
6、令y=0,得x=3- ;令x=0,得y=2-3k. 由已知3- =2-3k,解得k=-1或k= , 直线l的方程为: y-2=-(x-3)或y-2= (x-3), 即x+y-5=0或2x-3y=0.,(2)设所求直线的斜率为k,依题意k=- 3=- . 又直线经过点A(-1,-3), 因此，所求直线方程为y+3=- (x+1), 即3x+4y+15=0. (3)过点A(1,-1)，与y轴平行的直线为x=1.x=12x+y-6=0, 求得B点坐标为(1,4),此时|AB|=5, 即x=1为所求. 设过A(1,-1),且与y轴不平行的直线为y+1=k(x-1),返回目录,解方程组,2x+y-6=0
7、y+1=k(x-1),x=y= (k-2,否则与已知直线平行). 则B点坐标为( , ). 由已知( -1)2+( +1)2=52, 解得k=- ,y+1=- (x-1), 即3x+4y+1=0为所求.,返回目录,解方程组,得两直线交点为,在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.,返回目录,返回目录,对应演练,求经过点A（-5，2），且在x轴上的
8、截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.,(1) 当横截距、纵截距都是零时， 设所求的直线方程为y=kx，将（-5，2）代入y=kx中，得k=- ，此时，直线方程为y=- x，即2x+5y=0. (2)当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为 ，将（-5，2）代入所设方程，解得a=- 此时，直线方程为x+2y+1=0. 综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.,返回目录,已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值. （1）l1l2，且l1过点(-3,-1); （2）l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.,【分析】可
9、利用所求直线和已知直线的平行和垂直关系来确定a,b的值，另外直线方程中含有字母参数，应分类讨论.,考点三 两条直线的平行与垂直,返回目录,【解析】（1）由已知可得l2的斜率必存在， k2=1-a.若k2=0,则1-a=0,即a=1. l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b=0. 又l1过(-3,-1), -3a+b=0,即b=3a（不合题意）. 此种情况不存在，即k20. 若k20,即k1,k2都存在， k1=1-a,k2= ,l1l2， k1k2=-1,即 (1-a)=-1. 又l1过点(-3,-1),-3a+b+4=0. 由联立，解得a=2,b=2.,返回目录,（2）l2的斜率存在,l
10、1l2,直线l1的斜率存在. k1=k2.即 =1-a. 又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1l2, l1,l2在y轴上的截距互为相反数. 即 =b. a=2 a= ,b=-2 b=2. a,b的值为2和-2,或 和2.,由联立,解得,或,返回目录,当所求直线的方程中存在字母系数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况，对于（1）,若用l1l2 A1A2+B1B2=0可不用分类讨论.,返回目录,对应演练,已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a-1）y+a2-1=0. （1）试判断l1与l2是否平行； （2）l1l2时，求a的值.,（1）解法一：当a=1时
11、，l1：x+2y+6=0， l2：x=0，l1不平行于l2；当a=0时，l1：y=-3， l2：x-y-1=0，l1不平行于l2； 当a1且a0时，两直线可化为 l1：y=- x-3，l2：y= x-（a+1），= -3-(a+1), 综上可知，a=-1时，l1l2，否则l1与l2不平行.,返回目录,l1l2 ,解得a=-1.,解法二：由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-12=0, 由A1C2-A2C10,得a（a2-1）-160,a(a-1)-12=0a(a2-1)-160 a2-a-2=0a(a2-1)6 故当a=-1时，l1l2，否则l1与l2不平行.,返回目录,l1l2,a=-1
12、.,（2）解法一：当a=1时，l1：x+2y+6=0，l2：x=0， l1与l2不垂直，故a=1不成立. 当a1时，l1：y=- x-3， l2：y= x-（a+1）， 由(- ) =-1 a= . 解法二：由A1A2+B1B2=0， 得a+2（a-1）=0 a= .,返回目录,返回目录,考点四 直线方程的应用,为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图),另外EFA内部有一文物保护区不能占用,经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应如何设计才能使草坪面积最大?,【分析】建立直角坐标系,求出EF的方程,进而求解.,【解析】如图所示建立直角坐标系,则E(3
13、0,0),F(0,20), 线段EF的方程为 (0x30). 在线段EF上取点P(m,n),作PQBC于点Q,PRCD于点R,设矩形PQCR的面积为S, 则S=|PQ|PR|=(100-m)(80-n). 又 (0m30), n=20(1- ). S=(100-m)80-20+ m =- (m-5)2+ (0m30). 当m=5时,S有最大值,这时 当草坪矩形的两边在BC,CD上,一个顶点在线段EF上,且这个顶点分EF成5:1时,草坪面积最大.,返回目录,返回目录,用解析法解决实际问题,就是在实际问题中建立直角坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,从而把问题转化为代数问题,利用代数的方法使问题
14、得到解决.,对应演练,过点P(2,1)作直线l分别与x,y轴正半轴交于A，B两点. （1）当AOB面积最小时，求直线l的方程； （2）当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程； （3）当|PA|PB|取最小值时，求直线l的方程.,返回目录,（1）解法一：设直线l的方程为 (a0,b0),则|OA|=a,|OB|=b, SAOB = ab, 又点P在直线l上， + =1. a0,b0, + 2 , 即2 1,ab8. 即SAOB最小值为4，当且仅当 ，即a=4,b=2 时取“=”，此时，直线方程为x+2y-4=0.,返回目录,解法二：设l的方程为y-1=(-t)(x-2)(其中t0), A
15、点坐标为( +2,0),B点坐标为(0,2t+1), SAOB = (2t+1)( +2) = ( +4t+4) (2 +4)=4. 当且仅当 =4t即t= 时取“=”,此时，所求直线方程是x+2y-4=0.,返回目录,（2）解法一：设l的方程为 (a0,b0), 则由P在l上得 ,|OA|+|OB|=a+b, a+b=(a+b)( )=3+ + 3+2 , 当且仅当 即a= b时“=”成立， 直线方程为x+ y-(2+ )=0.,返回目录,解法二：设直线方程为y-1=-t(x-2)(t0), |OA|= +2,|OB|=2t+1, |OA|+|OB|= +2t+32 +3, 当且仅当 =2t
16、,即t= 时取“=”,此时直线方程为x+ y-(2+ )=0.,返回目录,（3）解法一：设直线方程为y-1=-t(x-2)(t0),则 A( +2,0),B(0,2t+1), |PA|= ,|PB|= |PA|PB|= =2 =2(t+ )4. 当且仅当t= ，即t=1时等号成立，这时直线l的方程为 x+y-3=0.,返回目录,解法二：如图，过点P作PMx轴，PNy轴，设BAO=, 在RtPAM中，|PM|=1，|PA|= ; 在RtPBN中，|NP|=2，|PB|= , |PA|PB|= = , 又为锐角， 当2= 即= 时， |PA|PB|取最小值. 此时直线斜率为-1,直线方程为x+y-
17、3=0.,返回目录,返回目录,1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式： ，该公式与两点顺序无 关，已知两点坐标（x1x2）时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x1=x2，y1y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90.2.求斜率可用k=tan(90),其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”.,3.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1,l2,l1l2k1=k2;l1l2 k1k2=-1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意.4.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法.5.重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线上设一任意点P（x，y），再找出x，y的一次关系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直线关于直线对称的直线方程就可用轨迹法来求.,返回目录,
