1、回归直线方程的推导山东 王加祥 范玉峰设 与 是具有线性相关关系的两个变量，且相应于样本的一组观测值的 个点的坐xy n标分别是： ，下面给出回归方程的推导123()()()nxyxy，设所求的回归方程为 ， 显然，上面的各个偏差的符号有iiba123)i，正、有负，如果将他们相加会相互抵消一部分，因此他们的和不能代表 个点与回归直线n的整体上的接近程度，因而采用 个偏差的平方和 来表示 个点与相应直线（回归直线）nQ在整体上的接近程度，即 22222311()()()()()nni ii nii iQyybxaybxaybxaybxa求出当 取最小值时的 的值，就求出了回归方程，一、先证明两
2、个在变形中用到的公式公式（一） ，其中2211()nniiixx12nxx证明： 22()()i ni 2211(nnxxx 2 2222 11()()nix 211nniiixx公式（二） 1()niiiiyxy证明： 221()()()nii nnixxyxy 212() )n nyyxy 121()ni nxxyx 12)niyyy ，1 12ni ixxx()niiiiyy二、推导：将 的表达式的各项先展开，再合并、变形Q22221 3()()()()nybxaybxaybxaybxa展开212 n 合并同类项2211111nnnniiiiiybxyabxa 以 的次数为标准整理2 2
3、 211111nniinnniiia y ab，转化为平均数22 2111()nnniiinybxbx xy，配方法2 21() niiia y 展开22 211()nniiinybxnybxbxy 整理221()()()i i ia y 用公式（一） 、 （二）2 211()nnni iiii i inybxxbxy 变形配方22 2121 1()()() ()niin nii ii iiixynaybxxby 222 12 212 21 1()()()() ()nn iiiin niii ii iii ixyxynaybxxb y 配方法在上式中，共有四项，后两项与 无关，为常数；前两项是两个非负数的和，因此ab，要使得 取得最小值，当且仅当前两项的值都为 0所以 ，Qaybx或12()niiiiixyb用公式（一） 、 （二）变形得12niixyb 三、总结规律上述推导过程是围绕着待定参数 进行的，只含有 的部分是常数或系数，用ab，ixy，到的方法有：配方法，有两次配方，分别是 的二次三项式和 的二次三项式；变形时，b用到公式（一） 、 （二）和整体思想；用平方的非负性求最小值实际计算时，通常是分步计算：先求出 ，再分别计算 ， 或 ，xy，1()niiixy21()niix1nixy的值，最后就可以计算出 的值21nixab，
