1、个性化教案直线的方程适用学科 数学 适用年级 高二适用区域 北京 课时时长（分钟） 60知识点 直线的点斜式方程及其应用直线的斜截式方程及其应用直线的两点式方程及其应用直线的截距式方程及其应用直线的一般式方程及其应用用待定系数法求直线的方程直线的对称问题平行直线系和过定点直线系两条直线的交点点到直线的距离公式及应用平行线之间的距离公式及应用教学目标 掌握直线的五种形式，会求点到直线的距离，处理一些对称问题教学重点 直线的五种形式，点到直线的距离公式，对称问题教学难点 直线的五种形式，对称问题个性化教案教学过程一、 复习预习1直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与 x轴相交的直线，如果把
2、x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角,当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为 0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j可见，直线倾斜角的取值范围是 0182直线的斜率：倾斜角 不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，常用 k表示，即 tan()倾 斜 角 是 90的 直 线 没 有 斜 率 ； 倾 斜 角 不 是 的 直 线 都 有 斜 率 ， 其 取 值 范 围 是(,)3两条直线平行对于两条不重合的直线 12,l，其斜率分别为 12,k，有 1l 212k4两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们
3、互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果它们的斜率之积等于 1，那么它们互相垂直即 1212lk另外，要特别注意斜率不存在时的特殊情况个性化教案二、知识讲解考点 1 直线的五种形式点斜式： )(00xky，不表示斜率不存在的直线斜截式： b，不表示斜率不存在的直线两点式： 1212xy，不表示斜率为 0 和斜率不存在的直线截距式：bax，不表示斜率为 0，斜率不存在和过原点的直线一般式： CByA（其中 ,AB不同时为 0） 个性化教案考点 2 两条直线的交点坐标将两条直线的方程联立，得方程组11220,.AxByC若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解即是交点的坐标；若方程组无解，则两
4、条直线无公共点，此时两条直线平行个性化教案考点 3 点到直线距离和两平行直线之间的距离点到直线距离公式：点 ),(0yxP到直线 0:CByAxl的距离为： 20BACyxd两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线 1l和 2的一般式方程为 1l： 01yx，2l： 02CByAx，则 1l与 2的距离为 2BACd个性化教案三、 例题精析【例题 1】【题干】若直线 m被两平行线 1:0lxy与 2:30lxy所截得的线段的长为2，则 的倾斜角可以是（ ） 15 30 45 6 75其中正确答案的序号是 （写出所有正确答案的序号）【答案】：如下图正确答案或【解析】：本题考查直线的斜率、直线的倾
5、斜角、两条平行线间的距离等知识，具有一定的综合性，突出考查数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，特别要注意平面几何知识的应用30个性化教案【例题 2】【题干】：已知直线 l经过直线 250xy与 2xy的交点若点 (5,0)A到 l的距离为 3，求 l的方程【答案】：解法一：由 250,xy 得交点 (2,1)P若直线 l的斜率不存在，则 l的方程为x，显然满足题意若直线 l的斜率存在，设为 k，则直线 l的方程为(12)yk由点到直线的距离公式得 2513d解得 43k所以，直线 l的方程为 4350xy l的方程为 x或 450y解法二：经过两已知直线交点的直线系方程为(25)(2)xy
6、xy，即 ()(12)xy 22103()()，即 250， 或 12 l的方程为 x或 4y【解析】：本题考查两直线的交点坐标及直线方程 已知直线过一点求直线方程一般采用点斜式，但如果对直线斜率概念理解不清，容易忘记验证斜率不存在的直线 本题也可用过两直线交点的直线系方程来解 两种方法，都体现了先设后求的待定系数和方程思想要注意提高解简单绝对值方程及无理方程的能力3个性化教案【例题 3】【题干】：光线从点 A（3，4）发出，经过 x 轴反射，再经过 y 轴反射，光线经过点 B（2，6） ，求射入 y 轴后的反射线的方程【答案】： A（3，4）关于 x 轴的对称点 A1（3，4）在经 x 轴反
7、射的光线上，同样 A1（3，4）关于 y 轴的对称点 A2（3，4）在经过射入 y 轴的反射线上， 故所求直线方程为 y6=2（ x+2） ， 即 2x+y2=0262Bk【解析】：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透个性化教案【例题 4】【题干】：长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用 y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图象如图所示（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并说明自变量 x 的取值范围；（2）如果某旅客携带了 75 千克的行李
8、，则应当购买多少元行李票？【答案】：（1）一次函数的图象是直线，由直线过两点 (60,)， (8,1)，则直线的两点式方程为6018yx，整理得15yx由605yx，解得 3 所以 y 与 x 之间的函数关系式为165yx，其中30x（2） 75代入16yx，得 96751y所以，该旅客应当购买 9 元行李票 【解析】：实际问题中两个变量之间的关系为线性关系，由图象上的两点即可写出直线的方程oyx6106080 个性化教案【例题 5】【题目】：求过点 (3,2)P，并且在两轴上的截距相等的直线方程.【答案】： 当在两轴上的截距 0ab，设所求直线 ykx，点 (3,2)P代入得23k，解得23
9、 所求直线为23当在两轴上的截距 0ab，设所求直线1xyab，则321ab，解得 5ab 所求直线方程为15xy，即 50 所以，所求直线方程为23yx或50xy【解析】：直线在两轴上截距相等，直接考虑截距式方程 ，也可以用由图形性质，1xyab得到 时截距相等，从而选用点斜式 解题时特别要注意截距都是 0 的情况，这时1k选用函数 yx个性化教案四、课堂运用【基础】1.判断下列各对直线的位置关系 如果相交，求出交点坐标（1）直线 ： 2x3 y+10=0 ， l2： 3x+4y2=0； 1l（2）直线 l1： ， l2： 1nn解析：（1）解方程组 ， 得 23104xy2xy所以， l1
10、 与 l2 相交，交点是（2，2） （2）解方程组 ，消 y 得 1nxy22(1)nxn当 时，方程组无解，所以两直线无公共点， / 1n l2当 时，方程组有无数解，所以两直线有无数个公共点， l1 与 l2 重合当 且 ，方程组有惟一解，得到 ， ， l1 与 l2 相交1n 1nxy当 时， / ；当 时， l1 与 l2 重合；1l2n当 且 ， l1 与 l2 相交，交点是 n1(,)n个性化教案2.在直线 上求一点 ，使它到点 的距离为 5，并求直线 的方程20xyP(5,8)MPM解析： 点 在直线 上， 可设 ，根据两点的距离公式得P20xy(,2)Pa,22 2(5)(8)
11、5,460Maa即解得 ， 3或 3(,),)P或 直线 PM 的方程为 ，858564242yxyx或即 43070xy或个性化教案【巩固】1方程 表示（ ） (2)ykxA 通过点 的所有直线 B 通过点 的所有直线,0 (2,0)C 通过点 且不垂直于 轴的直线 D 通过点 且除去 轴的直线(2,)x,x答案：C解析：已知的直线方程是点斜式，所以恒过的定点是（2,0） ，表示斜率存在的直线，所以正确答案是 C。个性化教案2已知直线 l 过点 ，它的倾斜角是直线 的两倍，则直线 l 的方程为（ (3,4)P1yx） A B C D 42(3)yx43yx40y30x答案：D解析：根据直线的
12、方程，可知斜率是 1，所以倾斜角是 45 度，那么要求的直线的倾斜角是90 度，所以答案是 D。个性化教案3过两点 和 的直线在 轴上的截距为（ ） (1,)(3,9xA B C D 222325答案：A解析：根据两点式方程，先求出直线的方程，然后令 y=0，求出 x 即可。个性化教案4已知直线 mx+ny+1=0 平行于直线 4x+3y+5=0，且在 y 轴上的截距为 ，则 m， n13的值分别为（ ） A 4 和 3 B 4 和 3 C 4 和3 D 4 和3答案：C解析：根据两条直线平行的关系，以及截距的知识，可以得到两个关系式，则能得到答案。个性化教案【提高】1已知直线 的方程分别为
13、， ，且 只有12,l 11:0lAxByC22:0lAxByC12l与一个公共点，则（ ） A B C D 120B1210A12AB12AB答案：B解析：两条直线只有一个公共点，则位置关系是不平行即可，所以正确答案是 B。个性化教案2已知点 ，点 到 M、 N 的距离相等，则点 所满足的方程是(1,3)(5,MN(,)Pxy(,)Pxy（ ） A B C D 380xy340xy390xy380xy答案：B解析：到两个点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线。个性化教案3两平行直线 间的距离是（ ） 512302450xyxy与A B C D 16526答案：C解析：根据平行直线的距离公式即
14、可得到，注意系数。个性化教案课程小结直线方程的五种形式及各种形式的局限性点到直线的距离公式两平行直线之间的距离公式对称关系个性化教案课后作业【基础】1已知直线 在 轴上的截距为3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 6，求直线ly的方程l解析：由已知得 的斜率存在，设直线 的方程为 当 时， l l3ykx0y3xk由题可知， ，解得 ，所以直线 的方程为 = x3 13|()62k34kl4个性化教案2三角形 ABC 的三个顶点 A（3，0） 、 B（2，1） 、 C（2 ，3） ，求：（1） BC 边所在直线的方程； （2） BC 边上中线 AD 所在直线的方程；（3） BC 边的垂直平分
15、线 DE 的方程解析：（1）因为直线 BC 经过 B（2 ，1）和 C（2，3）两点，由两点式得直线 BC 的方程为： ,403yxy即（2）设 BC 边的中点 D 的坐标为 ，则(,)213,2,BC 边的中线 AD 过点 A（-3，0） ， D（0，2）两点，由截距式得 AD 所在直线的方程为 ，即 13xy360xy（3）直线 BC 的斜率为 ，则 BC 边的垂直平分线 DE 的斜率 ，由斜截式得 DE12k 2k的方程为 ，即 2yx0xy个性化教案【巩固】3已知直线 l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0 求经过 l1 和 l2 的交点，且与直线 l3: 3x-
16、2y+4=0 垂直的直线 l 的方程解析：解方程组 ， 得交点（-2，2） 23104xy又由 l l3，且 ，得到 ， 直线 l 的方程为 ，即 2x+3y-32lk3lk2()3yx2=0个性化教案4已知点 ，判断 的类型(1,2)3,4(5,0)ABCABC解析： ， ， 即 是等腰三角形8,20,ABCBACBAC个性化教案5.求经过直线 的交点，且与原点距离为 的直线方程7240xyxy和125解析：设所求直线方程为 ，即 724()0xyxy(7)()240xy则 ，解得 即所求直线方程为22(7)0()151.043134yxyx或个性化教案【拔高】6已知点 、 ，点 P 是 x
17、 轴上的点，求当 最小时的点 P 的坐标(3,8)A(2,)BAPB解析：（如图）在 x 轴上，任取一点 P1，作 B（2，2）关于 x 轴的对称点 B1（2，2） ，连接 P1B1， P1A ， P1B，连接 AB1 交 x 轴于 P，则 ，又 ，1 ， 点 P 即为所求，1PAB由直线 的方程： 即183,2yx20xy，则 点 P 的坐标为（1,0） 0y令 xyo y A( 3,8)B(2,2)PP1B1个性化教案7已知 ，点 为直线 上的动点求 的最小值，(1,0),)MN、 P210xy2PMN及取最小值时点 的坐标解析： 为直线 上的点， 可设 的坐标为 ，由两点的距离公P210
18、xyP(,21)m式得22222()()()(1)MNmm0840,R令 ， 22()1084105f1,()5P时个性化教案8在直线 求一点 , 使它到原点的距离与到直线 的距离相等30xyP320xy解析：设点 的坐标为 ，则 ，解之得 P(3,)t2231tt15t 点 的坐标为 1,55或个性化教案9已知点 A 的坐标为 ，直线 的方程为 3 20 ，求：(4,)lxy（1）点 A 关于直线 的对称点 A的坐标； （2）直线 关于点 A 的对称直线 的方程l l l解析：（1）设点 A的坐标为（ ， ） 因为点 A 与 A关于直线 对称，所以xy lAA ，且 AA的中点在 上，而直线 的斜率是3，所以 lll Ak13又因为 Ak41,yyxx所 以又直线 的方程为 3 20， AA中点坐标( )，ly4,2xy所以 3 2 04x由和，解得 2， 6 所以 A点的坐标为(2，6)y（2）关于点 A 对称的两直线 与 互相平行，于是可设 的方程为 3 c0 l lxy在直线 上任取一点 M(0，2） ，其关于点 A 对称的点为 M（ ， ） ，l于是 M点在 上，且 MM的中点为点 A，由此得 ，l024,2xy即： 8， 6 xy于是有 M（8，6） 因为 M点在 上，所以 3 （8）6 0 ， 18lc个性化教案故直线 的方程为 3 180 lxy
