1、拓展题型 二次函数综合题,拓展一 二次函数与线段和差问题 拓展二 二次函数与三角形面积问题 拓展三 二次函数与特殊四边形判定问题,拓展一 二次函数与线段和差问题,典例精讲,例1 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0)与x轴交于点A、 B（1,0)，与y轴交于点C，直线y= x-2经过点A、C.抛物线的顶点为D,对称轴为直线l . （1)求抛物线的解析式；,【思维教练】已知直线y= x-2经过 点A、C，结合题干，可求得A、C两 点的坐标，结合B(1,0)，代入抛物线 y=ax2+bx+c(a0)求解即可；,例1题图,抛物线解析式为y= - x2+ x-2；,例1题图,【思维教练】要求顶点D的
2、坐标和对称轴l，需知抛物线的顶点式，(1)中已求得抛物线的一般式，直接化为顶点式即可得到点D的坐标和对称轴l ；,（2）求顶点D的坐标与对称轴l；,例1题图,解：由抛物线y= - x2+ x-2，得y= - （x2-5x）-2= - (x- )2+ ，抛物线顶点D的坐标为（ , ）， 对称轴l为直线x= ；,例1题图,【思维教练】已知点E在x轴上，则设E点坐标为（e,0）,要求点E的坐标，已知AE=CE，需先分别用含e的式子表示出AE和CE，由于A点坐标（1）中已求得，则AE4-e,由题图可知点O、E、C三点可构成RtCOE，结合C点坐标，利用勾股定理即可表示出CE的式子，建立方程求解即可；,
3、（3）设点E为x轴上一点，且AE=CE，求点E的坐标；,例1题图,例1题解图,在Rt COE中，根据勾股定理得 CE2=OC2+OE2=22+e2， AE=CE， (4-e)222+e2， 解得e= ， 则点E的坐标为（ ，0）；,E,解：如解图，由点E在x轴上，可设点E的坐标为（e,0）， 则AE=4-e，连接CE，,（4）设点G是y轴上一点，是否存在点G,使得GD+GB的值最小，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；例1题图,【思维教练】线段之和最小值问题即“最短路径问题”，解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，即已知一条直线和直线同旁的两个点，要在直线上找一点，使得这
4、两个点与这点连接的线段之和最小，解决问题的方法就是通过轴对称作出对称点来解决.如此问，要使GD+GB的值最小，先找点B关于y轴的对称点B,再连接BD, BD与y轴的交点即为所求的G点，求直线BD的解析式，再求其与y轴的交点即可；,设直线BD 的解析式为y=kx+d （k0），其中D( , )，则 解得直线BD的解析式为y= x+ ，令x=0,得y= ，点G的坐标为（0， ）；,例1题解图,-k+d=0k+d= ，,k= d= ，,解：存在.如解图，取点B关于y轴的对称点B，则点B的坐标为（-1,0）.连接BD，直线BD与y轴的交点G即为所求的点.,B,G,（5）在直线l上是否存在一点F，使得B
5、CF的周长最小， 若存在，求出点F的坐标及BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由；,例1题图,【思维教练】要使BCF的周长最小，因 为BC长为定值，即要使CF+BF的值最小， 由点A,B关于直线l对称，可知AC与l的交点 为点F，即可使得CF+BF最小，将x= 代 入直线AC的解析式，即可求得F点的坐标， 在RtAOC中可得AC的长，在RtOBC中可得BC的长，即可得到BCF周长的最小值；,在RtOBC中，OB=1，OC=2，由勾 股定理得BC= 为定值， 当BF+CF最小时，CBCF最小. 点B与点A关于直线l对称， AC与对称轴l的交点即为所求的点F， 将x= 代入直线y= x-2，得y
6、= -2=- ，点F的坐标为（ , - ）.,例1题解图,解：存在，要使BCF的周长最小，即BC+BF+CF最小，如解图所示.,F,在RtAOC中，由AO=4，OC=2，根据勾股定理得AC=2 ， BCF周长的最小值为BC+AC= +2 =3 ；,例1题解图,F,【思维教练】要使SD-SB的值最大，则 需分两种情况讨论：S、B、D三点不 共线时构成三角形，由三角形三边关系 得到SD-SBBD；当三点共线时，有 SD-SB=BD.从而得到当点S在DB的延长 线上时满足条件，求出直线BD的解析式 后，再求出直线BD与y轴的交点坐标即可；,（6）在y轴上是否存在一点S，使得SD- SB的值最大，若存
7、在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由;,例1题图,当S与DB不在同一条直线上时， 由三角形三边关系得SD-SBBD， 当S与DB在同一条直线上时，SD-SB=BD， SD-SBBD，即当S在DB的延长线上时， SD-SB最大，最大值为BD. 设直线BD的解析式为y=mx+n, 由B（1，0），D（ ， ），得,例1题解图,S,解：存在.如解图，延长DB交y轴于点S.,m+n=0m+n= ，m= 解得 ，n=- 直线BD的解析式为y= x- , 当x=0时,y=- , 即当点S的坐标为（0，- ）时，SD-SB的值最大；,例1题解图,S,（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一 点，过点H作y
8、轴的平行线，交AC于点K， 设点H的横坐标为h，线段HKd. 求d关于h的函数关系式； 求d的最大值及此时H点的坐标；,例1题图,【思维教练】平行于y轴的两点之间的距离为此两点的纵坐标之差的绝对值，如此问，要求d关于h的函数关系式，由题可得点H的横坐标为h，分别将h代入抛物线及直线AC的解析式中，即可得到点H、K的纵坐标，再由点H在点K的上方，可得到d关于h的函数关系式；利用二次函数的性质求最值，即可得HK的最大值及此时H点的坐标；,点H的坐标为（h, - h2+ h-2）， HKy轴，交AC于K， 点K的坐标为（h, h-2）， 点H在点K的上方， HK=d=（- h2+ h-2）-（ h-
9、2）=- h2+2h（0h4）; 由d=- h2+2h=- (h2-4h)=- (h-2)2+2可知， 当h=2时，d最大，024,符合题意， 当h=2时，d最大，最大值为2,此时点H的坐标（2,1）；,例1题解图,H,K,解：如解图,点H在抛物线上，点H的横坐标为h，,（8）设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大时，求P点的坐标，并求出最大距离是多少？,例1题图,【思维教练】要求P点的坐标及P点到AC的 最大距离，可根据三角形相似，确定对应 边的最大值即可，通过作PTy轴交AC于 L,作PQAC于点Q，证明PLQACO, 得到PQ与PL的比等于AO与AC的比，即可 得到P
10、Q与PL的关系,再由（7）得到PL的最 大值，即可得到PQ的最大距离及此时的P点坐标.,PLQ=ACO,PQL=AOC=90， PLQACO， , ，设P点的横坐标为t， 由（7）知PL=- t2+2t，,例1题解图,解：如解图，过点P作PTy轴，交AC于L，作PQAC于点Q，,P,T,L,Q,当且仅当t=2时,PL取最大值2， 当t=2时，PQ取最大距离 ， 此时点P的坐标为（2,1）.,P,T,L,Q,拓展二 二次函数与三角形面积问题,例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点C，点B在x轴的正半轴上，且AB=4，抛物线y=ax2+bx+c经过点A
11、,B,C. （1)求抛物线的解析式；,例2题图,【思维教练】要求抛物线的解析式， 需知过抛物线的三点A、B、C的坐标， 利用直线y=x+3求得A、C两点的坐标， 结合已知的AB=4，求得B点坐标，代入求解即可；,典例精讲,解：对于y=x+3，当x=0时，y=3； 当y=0时，x=-3， A（-3，0），C（0，3）， AB=4，B（1，0）， 抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）， B（1，0），C（0，3）， ，解得 ，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;,9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3,a=-1 b=-2 c=3,例2题图,【思维教练】要求ABC的面积，需知ABC的
12、一条边的长度和这条边上高的长度，由于ABC的边AB已知，底边AB上的高为OC，即为点C的纵坐标，代入面积计算公式即可求解；,（2）求ABC的面积；,解：点C坐标为(0，3)， OC=3， SABC = ABOC= 43=6;,例2题图,【思维教练】QAE与CBE的底边 AE=BE，要使两三角形面积相等，故 只要高相等，CBE底边BE的高为3， 点Q的纵坐标为3和-3时，满足条件， 分别代入抛物线解析式即可求解；,（3）点D为抛物线的顶点，DE是抛物线的对称轴，点E在x轴上，在抛物线上存在点Q,使得QAE的面积与CBE的面积相等，请直接写出点Q的坐标；,例2题图,例2题解图,Q1,（Q2）,P,
13、Q4,（Q3）,解：Q点的坐标为（-2，3）或（0，3） 或（-1+ ，-3）或（-1- ，-3）； 【解法提示】如解图，依题意，AE=BE， 当QAE的边AE上的高为3时，QAE 的面积与CBE的面积相等. 当y=3时，-x2-2x+3=3，解得x1=-2，x2=0， 点Q的坐标为（-2，3）或（0，3）. 当y=-3时，-x2-2x+3=-3，解得x=-1 ， 点Q的坐标为（-1+ ，-3）或 （-1- ，-3）. 综上所述，点Q的坐标为（-2，3）或（0，3）或 （-1+ ，-3）或（-1- ，-3）.,【思维教练】要求四边形AOCD和ACD的面积，由于四边形AOCD是不规则图形，则可利
14、用S四边形AOCD= SAOD +SCOD计算.由于ACD的底与高不容易计算，所以可利用S四边形AOCD -SAOC计算；,（4）在（3)的条件下，连接AD,CD，求四边形AOCD和ACD的面积；例2题图,易知点D的坐标为（-1，4）， S四边形AOCD =SAOD +SCOD= 34+ 31= ，SACD =S四边形AOCD -SAOC= - 33=3；,例2题解图,解：如解图，连接OD，,（5）在直线AC的上方的抛物线上，是否存在一点M,使MAC的面积最大？若存在，请求出点M的坐标，并求出MAC面积的最大值；若不存在，请说明理由；例2题图,【思维教练】要求图形面积最值问题，若求三角形面积最
15、值，根据题意用未知数设出所求点的坐标，并利用所设点坐标表示出三角形的底和高，用面积公式求解；若求四边形面积最值时，常用到的方法是利用割补方法将四边形分成两个三角形，从而利用求三角形面积的方法求得用含未知数的代数式表示的线段（常用到相似三角形性质、勾股定理）.分别计算出每个三角形的面积，再进行和差计算求解.如此问，要使MAC的面积最大，可先用含字母的式子表示出SMAC，再利用二次函数性质讨论其最值，进而求得M点坐标；,设M（x，-x2-2x+3），则N（x，x+3），MN=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x，SMAC =SAMN +SCMN = MN3=(-x2-3x)= - (x+ )
16、2+ ，- 0，当x=- 时，SMAC的值最大为 ，当x=- 时，y=-(- )2-2(- )+3= ，点M的坐标为（- ， ）；,例2题解图,解：存在点M，使得MAC的面积最大. 如解图，过点M作MNy轴，交AC于点N，,N,M,【思维教练】要确定H点的位置，根据HGA被分成面积为12的两部分，HAI和AIG高相等，对称轴在y轴左侧，可分HI与IG为12或21两种情况，列方程即可求解；,（6）点H是抛物线第二象限内一点，作HGx轴，试确定H点的位置，使HGA的面积被直线AC分为12的两部分；,例2题图,解：如解图，由（5）可知，可分两种情况讨论： 若HI=2IG，则有-x2-3x=2(x+3
17、) （-3x0）， 整理得x2+5x+6=0， 解得x1=-2，x2=-3（不合题意，舍去）， H（-2，3）； 若2HI=IG，则有2(-x2-3x)=x+3 （-3x0），整理得2x2+7x+3=0， 解得 x1= - ，x2=-3（不合题意，舍去）， H（- ， ）. 综上所述，有两种情况：H（-2，3）或H（- ， ）；,例2题解图,H1,G2,G1,O,H2,I1,I2,（7）在抛物线上是否存在一点R，且位于对称轴的左侧，使SRBC = ，若存在，求出此时点R的坐标；若不存在，请说明理由.,【思维教练】先假设存在点R，使得 SRBC = .过点R作BC的垂线交BC 的延长线于点K，可
18、得 BCRK= ， 此时点R，K坐标不易计算，可考虑作 RHy轴与BC的延长线交于点F，利 用RKF与BOC相似，RFBOBCRK9，设出R点坐标利用此关系式列方程即可求解.,例2题图,例2题解图,解：存在点R，使得SRBC ，且位于对称轴的左侧.如解图，过点R作RKBC，交BC的延长线于点K，作RHy轴，交x轴于点H，交BC的延长线于点F，,则F=BCO，RKF=BOC=90， RKFBOC， ， RFBO=BCRK， 又SRBC = ，BO=1， BCRK= BORF= ， RF=9.,F,R,K,H,由B（1，0），C（0，3）可求出直线BC的解析式为y=-3x+3， 设R（x，-x2-
19、2x+3），则F（x，-3x+3）， RF=-3x+3-（-x2-2x+3）=x2-x， x2-x=9， 解得x1= ，x2= （不合题意，舍去），R（ ， ）.,F,K,H,R,例2题解图,拓展三 二次函数与特殊四边形判定问题,例 3 如图，抛物线经过A（-5，0），B（-1，0）， C（0，5）三点，顶点坐标为M，连接AC. 抛物线的对 称轴为l，l与x轴交点为D，与AC交点为E.,(1)分别求出抛物线的解析式，顶点 M的坐标，对称轴l的解析式；,例3题图,典例精讲,【思维教练】要确定抛物线的解析式，顶点M的坐标和对称轴l的解析式，由于A、B、C的坐标已知，设抛物线解析式为一般式，将点A、
20、B、C代入求出抛物线解析式，将解析式转化为顶点式，顶点M的坐标，对称轴l的解析式即可求解；,例3题图,解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c， 将点A（-5，0），B（-1，0），C（0，5）代入，得，解得 ，抛物线解析式为y=x2+6x+5，=(x+3)2-4，,25a-5b+c=0 a-b+c=0 c=5,a=1 b=6 c=5,顶点M的坐标为（-3，-4），对称轴l的解析式为：x=-3;,例3题图,【思维教练】由点P在对称轴上结合抛物线的解析式，设P（-3，p），根据PMCO，分P在M点上方和P在M点下方两种情况进行讨论，求出点P坐标；,（2）设P是直线l上一点，且PM=CO，求点P的
21、坐标；,例3题图,解：点C（0，5），CO=5， 设点P的坐标为（-3，p），如解图， 当点P在M点上方时，即为P1点， 则P1M=p-（-4）=5，解得p=1， 此时点P1的坐标为（-3，1）； 当点P在M点下方，即为P2点， 则P2M=-4-p=5，解得p=-9， 此时点P2的坐标为（-3，-9）， 综上，这样的点P有两个，坐标分别为P1（-3，1）， P2（-3，-9）；,例3题解图,P1,P2,（3）在线段CO上取一点F,使得CF=DE,求点F的坐标,并判定四边形DECF的形状;,例3题图,【思维教练】要求点F的坐标，可根据 CF=DE，结合C点坐标求解，C点坐标 已知，故只需求解DE
22、的长度，由点E 为l与AC的交点可知点E在AC上，先求 直线AC的解析式，从而确定点E的坐标， 然后确定DE的长，再结合DE确定CF， 从而得到点F的坐标，利用DECF，DE=CF，即可判定四边形DECF的形状；,解：设直线AC的解析式为 ， 将点A（-5,0），C（0,5）代入得，解得 ，直线AC的解析式为y=x+5. 令x=-3得y=-3+5=2， 点E的坐标为（-3,2），易得点D的坐标为（-3,0）， DE=2.,例3题图,如解图，连接DF DECF，DE=CF， 四边形DECF是平行四边形；,例3题解图,CF=DE=2，点F在线段CO上，点C坐标为（0,5）， 点F的坐标为（0,3）
23、.,F,（4）设G是抛物线上一点，过点G作GHx轴交l于点H， 点G坐标为何值时，以A、B、G、H为顶点的四边形是平 行四边形？,【思维教练】由于GHx轴，AB在 x轴上可知GHAB，要使以A、B、 G、H为顶点的四边形是平行四边形， 则需证GH=AB即可；,例3题图,解：点G在抛物线上，则设点G的坐标为(g,g2+6g+5)， GH x轴，点H在l：x=-3上，点H(-3,g2+6g+5). GHAB，要得到以A、B、G、H为顶点的四边形是平行四边形，则必须GH=AB=4， 如解图，即|g+3|=4， 解得g=1或g=-7， 当g=1时，g2+6g+5=12， 此时点G的坐标为（1,12）；
24、 当g=-7时，g2+6g+5=12， 此时点G的坐标为（-7,12）， 综上，这样的点G有两个，坐标 分别为（1,12），（-7,12）；,例3题解图,E,H1（H2）,G1,G2,【思维教练】由折叠的性质得到M、M关于x轴对称，再由抛物线性质得到A、B关于MM对称，从而利用菱形性质得出结论；,（5）如图，沿x轴将抛物线在x轴下方的部分翻折到x轴上方，点M的对应点为M，判断四边形AMBM的形状，并说明理由；例3题图,由折叠性质可得 点M与M关于x轴对称， MD=MD，MMAB. 由抛物线性质得点A与点B关于l对称， AD=BD，ABMM， 四边形AMBM是菱形;,例3题解图,解：四边形AMB
25、M是菱形. 理由如下：如解图，,（6）设点Q是抛物线上一点，点R是平面内一点，点Q的坐标为何值时，四边形AQCR是菱形？,例3题图,【思维教练】由四边形AQCR是菱形可 知AC是对角线，结合OC=OA，从而过 点O作OPAC，且OP平分AC，从而 可得点Q在OP上，只需求出QP所在直 线的解析式，与抛物线联立解方程组 即可求得点Q的坐标.,例4题解图,解：存在.如解图，过点O作OPAC于点P.,P,Q1,Q2,P,OA=OC=5， AP=CP， OP是AC的垂直平分线. 四边形AQCR是菱形， 点Q、R在AC的垂直平分线上， 点Q是直线OP与抛物线的交点， 过点P作PPx轴于点P，则PP是AOC的中位线， PP= OC= ，PO= AO= ， 点P的坐标为（ , ），,设直线QP的解析式为y=kx，将点P的坐标代入，可得k=-1, 直线QP的解析式为y=-x,与抛物线联立得解得 ， ，,y=x2+6x+5 y=-x，,x2=y2=,x1=y1=,例3题解图,P,Q2,P,Q1,这样的Q点有两个，坐标分别为（ , ），（ , ）.,
