1、第 五 章 工程研究方法,了解相似理论的基本概念和基本方法，掌握相似准数的导出方法 学习物理模型研究方法,1 基 本 概 念,一、物理量及其量纲 基本物理量 量纲：用以确定某一系统的特点或本质的物理变量。 基本量纲所表示的物理量就是该单位制中的基本物理量 无量纲量：当一物理量所有量纲指数都为零，它的量纲为1 量纲与单位,量纲和谐性 任何一个完整的物理方程，其量纲必定是和谐 凡一个完整的物理方程，不因采用的单位制度的变化而发生变化，这类方程在数学中称为齐次方程。凡量纲核心的方程，在数学上应为齐次方程,二、单值条件,一个现象区别于其他现象的个性标志 几何条件：说明参与过程的物体的形状、大小等几何特
2、征 物理条件：说明参与过程的物体的物理性质 时间条件：说明在时间上预先已知的特点 边界条件：说明边界上过程进行的特点第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件,三、量纲独立,K个物理量，其中任一个物理量的量纲均不能由其它物理量的量纲组合来表示，则称k个物理量的量纲彼此独立 公理：量纲不独立的物理量可用量纲彼此独立量的幂积形式表示,量纲独立条件：,对物理量a、b、c有：只有当物理量a、b、c具有彼此独立量纲,2 量纲分析原理,基本原则量纲和谐性原则定理,一、 定 理,描述某现象的n个物理量(a1、a2、a3an)其中k个物理量的量纲彼此独立，且kn，则描述该现象：f(a1、a2、a3ak、ak+
3、1、ak+2an)= 0 其余（n-k）个物理量的量纲可用k个独立量纲的幂积形式表示：,则有：描述物理现象的函数关系式可写成：含有k个量纲的独立量的n个物理量之间的函数关系式，可简化为（n-k）个无量纲乘积（）之间的关系式无量纲方程,无量纲乘积的完整集合,由n个参数组成的函数式，如有k个基本量，则存在有（n-k）个无量纲乘积（）。这（n-k）个为该函数的无量纲的完整集合 完整集合中无量纲乘积的数目： 参量总数（n）基本量纲数（k） 参量总数（n）-量纲矩阵的秩（r）,二、量纲分析的指数法,1、柏金汉姆法（定理法）（E.Buckingham） 列出影响现象的各个参量 f(x1、x2、x3xn)=
4、0确定k个彼此独立物理量为基本物理量其它物理量用基本物理量的幂积形式表示由定理可得到（n-k）个无量纲量无量纲方程：f(1、2、3n-k)=0,2、瑞利分析法 依据：量纲和谐性原理,将与现象有关的物理量的函数关系式写成幂积式： 由量纲和谐性原则： 用基本量纲表示各个物理量的量纲，并对基本量纲列出 其指数的代数方程 当nk，唯一解nk，无唯一解,三、量纲分析的矩阵法,写出量纲矩阵，求出矩阵的秩（r） 无量纲乘积数= n r 写出无量纲乘积的一般式根据量纲和谐性原理，由量纲矩阵写出线性齐次方程 求解 方程封闭：直接求解方程不封闭：以（n-3）个量为待定量 写出结果矩阵,水 流中物体的运动 F= f
5、（、g、w、L、）,写出量纲矩阵： 矩阵的秩：r =3无量纲乘积数目n-k=3 设 写出指数方程 n3 ，, 3 相 似 理 论,模型实验主要的理论基础,1636年，伽利略，“论二门新的科学” 1686年，牛顿，“自然哲学的数学原理” 1848年，法国，J.Bertrand，相似第一定理 1911年，俄国，相似第二定理，1944年美国，柏金汉（E.Buckingham） ，证明了定理 1931年，苏联，相似第三定理,一、基本概念,1、物理量相似 标量场相似 矢量场相似相似倍数C,几何相似 时间相似 运动相似 动力相似 热相似,2、现象相似,描述现象各单值条件彼此相似的同类现象 单值条件相似几何
6、条件相似物理条件相似边界条件相似初始条件相似,3、相似准数（相似准则）（Criterion）,按照一定物理规律组合而成 具有一定的物理意义 必须是无量纲的 随空间和位置的变化，在相似现象的对应点上，相似准数的数值不变。 已定准则和待定准则（定性准则和非定性准则）,二、相 似 三 定 理,相似第一定理（相似正定理）凡相似现象，对应部位上各同名相似准则分别等值。(规定了现象相似的必要条件) 相似第三定理（相似逆定理）凡同类现象，当单值条件相似，对应部位的同名已知准则等值，则现象之间彼此相似(表明了现象相似的充分条件),相似第二定理对于一个包含n个物理量的物理现象，若其中包含有k个基本物理量，则描述
7、现象的函数式可用（n-k）个无量纲数的函数式准数方程来表示。f（ 1 2 n-k ）=0,三、相似准数的导出,量纲分析法 指数法矩阵法步步组合法 方程分析法 相似转换法积分类比法以方程的量纲和谐性原理为基础 物理法则法,1、相似转换法,写出描述现象的物理方程及单值条件 写出方程中各物理量相似倍数的表达式进行相似转换 各项相似倍数进行组合，写出其相似指标式 以等式中其中一项除以其它各项 整理，可得相应的相似准数,2、积分类比法,基本原理：置换法则 二个体系： 等比公式即有,步骤：,写出描述现象的基本方程和单值条件 用方程中任意一项除以其他各项 各项中所有导数用积分类比项代替同类项用其中一项表示坐
8、标量用特征量表示 整理,描述对流换热的完整微分方程组：,试用相似转换法和积分类比法，推导出该方程组的准数方程。,三、准数与准数方程 1、相似准数的转换,准数的指数运算 准数间的幂积运算准数间的和、差运算 物理量用其差值代替,2、准数的物理意义,Re（ Rerynolds ）准数 惯性力与粘性力之比 Fr（Froude）准数：Fr=gL/ w2 重力与惯性力之比 Gr（Grashot）准数 浮力与粘性力之比 Ga（Galilei）准数 Eu （ Euler ）准数：Eu=p/ w2 压力（流动阻力）与惯性力之比,Ho 谐时性准数：H0=w/L,Fo（Fourier）准数： 温度场、速度场随时间的
9、变化关系 Pr（Prandtl）准数：Pr=/a 分子动量扩散率与热扩散率之比；速度场与温度场的关系 Pe（Peclet）准数 Nu（Nusselt）准数 边界层内温度梯度与平均温度梯度之比；对流换热强度与边界内温度分布的关系。,3、准数方程 近似模化方法，以对流换热过程为例,准数方程的简化 f（Eu、Re、Ho、Fr、Pe、Fo、Nu）=0Nu =f（Eu、Re、Ho、Fr、Pe、Fo） 流体运动方程：Eu =f（Re、Ho、Fr）Pe =Re.Pr 稳定温度场、稳定温度场： Ho、 Fo 准数方程的一般形式：Nu =f（Re、Fr、Pr） 自由流动主要是由温差引起 Nu =f（Re、Gr、Pr） 自然对流：Nu =f（Gr、Pr） 强制对流：Nu =f（Re、Pr）,
