1、第四章 对偶理论,内 容,对偶问题的提出 构造对偶问题的线性规划 对偶理论重点 对偶单纯形法重点 影子价格及应用,对偶问题的提出,例：某工厂生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要在A、B、C三种不同设备上加工。每单位甲、乙两种产品在不同设备上加工所需的台时、它们销售后所能获得的利润值以及这三种加工设备在计划期内能提供的有限台时数如表所示，分析如何安排生产计划，即甲、乙两种产品各生产多少单位，可使该厂所得的利润最大？,建立线性规划模型写成矩阵形式,（3.1）,T,对偶问题的提出,从另一个角度来讨论这个问题 假设工厂的决策者，打算不再自己生产，而将设备的有限台时，租让给其它工厂使用，它只收租费，这时
2、工厂的决策者应该如何确定合理的租金呢？ 租金不能比自己生产 得到的利润低 为了增加自身的竞争能力，在保证自己利润的前提下，租金越低越好,设 、 、 为分别为设备A、B、C每台时的租金 同意租让的原则应该是：将生产一个单位的甲产品所需的各设备台时租让出去得到的租金不低于原利润的32元，即 同样产品乙：目标函数：租金越低越好,线性规划用原问题的矩阵表示,（3.2）,称问题（3.2）为问题(3.1)的对偶问题,称问题(3.1)为原问题.对偶问题与原问题之间存在以下关系(假设原问题有 m 个约束, n个变量) 目标函数对原始问题求极大化，对偶问题是求极小化； 原始问题目标函数中的价格系数是对偶问题约束
3、条件中的右端常数，而原始问题约束条件中的右端常数变成对偶问题的目标函数的价格系数； 约束条件的不等式方向改变了； 原始问题的约束条件的系数矩阵转置后成为对偶问题的约束条件的系数矩阵； 原始问题的约束条件个数与对偶问题的变量个数相同；而原始问题的变量数个数与对偶问题的约束条件的个数相同。 在一般涉及经济问题的线性规划模型中，对偶变量具有价格的量纲，通常称为“影子价格”或者“边际价值”。,（ 3.1 ）,（ 3.2 ）,对偶问题的提出,求解原问题得到,求解对偶问题得到,从上面的对比我们可以看出，原问题的最优解是对偶问题的检验数，对偶问题的最优解是原问题的检验数的相反数； 原问题的最优值也是对偶问题
4、的最优值； 我们称原问题的检验数的相反数为对应变量的边际价值，也称为影子价格，影子价格在经济生产活动中具有实际的意义。,-,-,对偶问题的提出,影子价格的实际意义 影子价格是对资源的估价，这种估价是针对具体工厂的具体产品而存在的一种特殊价格 在该厂现有的方案下，设备出租的价格为（7/6，0，19/6）同自己生产获利相等 如果市场上设备的租金比上述影子价格高，则工厂应出租设备获得更高的利润 如果市场上设备的租金比上述影子价格低，则工厂应租用设备来进行生产，可以获得更高的利润,对偶问题的提出,对偶问题的意义 对偶问题可以对经济活动作出指导影子价格,内 容,对偶问题的提出 构造对偶问题的线性规划 对
5、偶理论重点 对偶单纯形法重点 影子价格及应用,构造对偶问题的线性规划,构造标准线性规划问题的对偶问题 原问题 对偶问题矩阵形式 矩阵形式,原问题和对偶问题的关系图,例：写出下列问题的对偶问题,对偶问题,例：写出下列问题的对偶问题,对偶问题,构造对偶问题的线性规划,构造非标准线性规划问题的对偶问题 原问题有约束第一步：两边同时乘以-1，将约束转换为约束,第二步：构造对偶问题第三步：令变量 则有,小结,原问题存在“=“约束第一步：将等式约束转换为和约束,构造对偶问题的线性规划,第一步：将等式约束转换为和约束,构造对偶问题的线性规划,第二步：构造对偶问题，这里我们令非负变量为 ，非正变量为,第三步：
6、令 则 自由变量,小结,构造对偶线性规划,原问题和对偶 问题的关系表,构造对偶线性规划,构造对偶线性规划的步骤 确定对偶变量个数：对偶变量个数应等于原始问题约束方程个数； 把原始问题的目标函数系数作为对偶问题的右端常数； 把原始问题的右端常数作为对偶问题的目标函数系数； 把原始问题的系数矩阵转置后作为对偶问题的系数矩阵； 根据原始问题的约束条件不等式情况，确定对偶变量的符号限制； 根据原始决策变量的符号限制，确定对偶问题约束条件的不等式方向。,例：写出下列问题的对偶问题对偶变量的个数是3个，约束条件是4个 约束条件的右端项是(2,3,-5,1)T 目标函数的价格系数是(5,4,6) 技术系数矩
7、阵是原问题的转置 第一个变量是非负变量，第二个变量是非正变量，第三个变量是自由变量 第一个约束条件是大于等于，第二个约束条件是小于等于，第三个约束条件是等于,例：写出下列问题的对偶问题对偶变量的个数是3个，约束条件是2个 约束条件的右端项是(1,2)T 目标函数的价格系数是(3,6,2) 技术系数矩阵是原问题的转置 第一个变量是自由变量，第二个变量是非正变量，第三个变量是非负变量 第一个约束条件是大于等于，第二个约束条件是等于,内 容,对偶问题的提出 构造对偶问题的线性规划 对偶理论重点 对偶单纯形法重点 影子价格及应用,对偶理论,对偶问题的性质 对称性：对偶问题的对偶问题是原问题,弱对偶性（
8、弱对偶定理）：若 是原问题的可行解， 是对偶问题的可行解，则存在,弱对偶性（弱对偶定理）：若 是原问题的可行解， 是对偶问题的可行解，则存在,无界性：若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解 证明：有弱对偶性可得 注意：这个问题的逆不成立，比如下面的例子这一对问题两者都没有可行解,可行解是最优解的性质：若 是原问题的可行解， 是对偶问题的可行解，当 ， ， 是最优解,对偶定理：如果原问题存在最优解 ，那么对偶问题也一定存在最优解 ，并且它们的目标函数值满足：,从对偶定理得到,从对偶定理的证明中，我们知道： 原问题的约束条件是约束时，对应的对偶问题的最优解就是该约束松弛变量的
9、检验数的相反数原问题的约束条件是约束时，对应的对偶问题的最优解就是该约束剩余变量的检验数原问题的约束条件是=约束时，对应对偶问题的最优解是-M减去该约束人工变量（大M法）的检验数,内 容,对偶问题的提出 构造对偶问题的线性规划 对偶理论重点 对偶单纯形法重点 影子价格及应用,影子价格的应用,影子价格的定义：线性规划问题的第i个约束条件的影子价格为在资源量 增加一个单位变为 的情况下，最优目标值改进（最大化为增加，最小化为减少）的变化量,例：某工厂经理对该厂生产的两种产品用线性规划来确定最优的产量方案。根据产品的单位产值生产这些产品的三种资源供应限量，建立了如下线性规划模型,在利用单纯形表求解时
10、，增加松弛变量 得到最优解是： 最优值这里松弛变量的检验数的相反数，是对偶问题的最优解，这些数值就是相应资源的影子价格,资源1的影子价格 ，资源2的影子价格 ，资源3的影子价格 。资源1的影子价格为0，说明增加这种资源不会增加总的产值。为了更清楚的看到这一点，可以把上述初始单纯形表中的第一种资源由90改为91，得到最优单纯形表,这说明资源1的增加不改变产品方案也不增加总的产值。,如果资源2增加一个单位，从80改为81，最优单纯表这说明增加一个单元的资源2以后，最佳生产方案为第一种产品生产36件，第二种产品生产9件，总产值由原来215增加到216，即总产值增加量为1,如果资源1和2没有变化，而资
11、源3增加一个单位时，从影子价格 可知总产值的增加量为3。值得注意的是，产品品种没有改变，但每种产品的生产数量却改变了。如果资源3增加一个单位，新的决策将是第一种产品生产34件，第二种产品生产12件，总产值是218。,影子价格可以告诉管理人员，增加哪一种资源对增加经济效益最有利。如上例中的三种影子价格为 ，说明应增加资源3。影子价格可以告诉管理人员，花多大的代价来增加资源才是合算的。如第3种资源每增加一个单位能使收益增加3，如果增加这种资源的代价大于3就不合算了。告诉管理人员应如何考虑新产品的价格。如企业要生产一种新产品，如果每件产品耗用的这三种资源数量是单位 ，则产品定价一定要大于 才能增加公
12、司的收益，如售价 低于11的话，生产是不合算。,告诉管理人员产品价格变动时，哪些资源最宝贵，而哪些资源无关紧要。上例中若产品的售价由(5,4)变动到(5,5)时，从上表单纯形表可以算出价格改变后的影子价格： 这说明若增加第二种产品的价格的话，资源(2 ,3)更显得宝贵了。影子价格虽然被定名为一种价格，但是可以帮助分析工艺改变后对资源节约的收益，如工艺工程改进后使第三种资源能节约2%，则带来经济效益是：3*45*2%=2.7。,由于资源的市场价格是已知的，相对比较稳定，而它的影子价格则有赖于资源的利用情况，是未知的。所以，系统内部资源数量和价格的任何变化都会引起影子价格的变化，即公司生产任务、产
13、品结构等情况一旦发生变化，资源的影子价格一般也会随之发生改变。从这种意义上讲，影子价格是一种动态价格，从另个角度讲，资源的影子价格实际是一种机会成本。 在经济理论上，把松弛变量（剩余变量、人工变量）的检验数的相反数看作右端常数向量的影子价格向量。影子价格的值实际上就是对偶问题的最优解。这里注意的是：影子价格是与原问题的约束条件相联系的，而不是与变量相联系的。,影子价格的应用,影子价格是针对某一具体的约束条件而言的，而问题中所有其它数据都保持不变。 对偶变量的意义是在当前的基本解中对一个单位的第i 种资源的估价（或对目标函数的利润贡献）。这种估价不是资源的市场价格，而是在生产中做出的贡献而作出的
14、估价，为了和产品的价格区别起见，故把该价格称为影子价格。,例2：某公司由采购员，推销员，检验员组成，任务是存储，销售玉米、烟草和花生。从总销售额中提成的百分比作为他们的收入，并预计产量等有关信息如表所示，如何存储和销售这几种农作物，使其利润最大？,建立模型：设玉米、烟草和花生的销量分别为 吨,用单纯形法解此问题，得到最优单纯形表从最优单纯形表中可得到对偶问题的最优解为：,从该解中可以发现，进一步增加利润是可能的，能够增加利润可以采取以下措施：1)库房空间；2)劳力；3)玉米为了得到额外玉米，可以从外地调运玉米。烟草和花生的影子价格为0，故不要再增加这两种农作物了。我们还可以用对偶变量来确定额外库房空间，劳动力，玉米的价格，这种价格应小于相应的对偶变量的值，加班费应低于2.81元/小时；租用库房价格小于0.23元/平方米；外购玉米至少保证每吨有0.65元的利润。,影子价格的应用,影子价格可以用来指导生产 确定增加那种资源使获得的利润更高 确定资源的重要性 确定每种资源的定价 为新产品定价,
