1、1,理解数学期望的概念，掌握它的性质与计算,第7章 随机变量的数字特征,重点：,了解二项分布、泊松分布、正态分布等的数学期望与方差,理解方差的概念，掌握它的性质与计算,2,分布函数能完整地描述随机变量的统计 特性, 但实际应用中并不都需要知道分布函数， 通常只需知道 随机变量的某些特征.,例如：,考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小.,3,由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征 , 这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.,4,随机变量的平均取值 数学期望随机变量
2、取值平均偏离均值的情况 方差描述两随机变量间的某种关系的数 协方差与相关系数,本 章 内 容,随机变量某一方面的概率特性可用具体数字来描述,5,加 权 平 均,3:3:4 2:3:5 2:2:6,73.7 70.0 66.8,73.2 70.1 67.8,甲 乙 乙,引例 学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负,7.1 随机变量的数学期望,6,为这 3 个数字的加权平均,称,数学期望的概念源于此,7,设 X 为离散随机变量，其分布律为,若无穷级数,其和为 X 的数学期望，简称期望或均值， 记作 E( X ), 即,绝对收敛,则称,8,两点分布的数学期望,P(X=1)=p,P(X=0)=1- p,分
3、布律,数学期望,E(X) = p,例1 X B ( 1 , p ), 求 E( X ) .,9,例2 X B ( n , p ), 求 E( X ) .,特例 若Y B ( 1 , p ), 则 E(Y),二项分布的数学期望,E(X) = np,分布律,数学期望,10,泊松分布的数学期望,分布律,数学期望,E(X) =,例3 X P(), 求 E( X ) .,11,设连续随机变量 X 的密度函数为,若广义积分,则称此积分为 X 的数学期望，记作 E( X ).,绝对收敛,即,12,均匀分布的期望,密度函数,数学期望,E(X) = (a+b)/2,X R ( a , b ),例4,13,指数分
4、布的期望,密度函数,数学期望,E(X) =1/,X E (),例5,14,正态分布的期望,密度函数,数学期望,E(X) =,X N ( , 2 ),例6,15,常见随机变量的数学期望,16,区间(a,b)上的 均匀分布,E(),N(, 2),17,设离散随机变量X 的概率分布为,若无穷级数,绝对收敛，则,设连续随机变量X的密度函数为f (x),绝对收敛, 则,若广义积分,18,已知随机变量X的分布律：,例7,求：E(X) ，E (X2) ，E (X3).,解,19,密度函数,例8 X R ( a , b ),求 E ( X2 ) .,20,密度函数,例9 X E (),求 E ( X2 ) .
5、,21,例10 X N ( , 2 ), 求 E ( X2 ) .,解,22,某公司生产的机器其无故障工作时间 X 有密度函数,例11,公司每售出一台机器可赚1600元 ,若机器售出后使用1.2万小时之内出故障，则应予以更换，这时每台亏损1200元；若在1.2到2万小时之间出故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；在使用2万小时以后出故障， 则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均获利。,23,解,设Y表示售出一台机器的获利。则,即该公司售出每台机器平均获利1000元。,24,E (C ) = C,E (aX ) = a E (X ),E (X + Y ) = E (X ) + E (Y
6、 ),当X ,Y 独立时,E (X Y ) = E (X )E (Y ) .,25,引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发 子弹击中的环数分别为：,甲 10, 7, 9, 8, 10, 6,乙 8, 7, 10, 9, 8, 8,问哪一个射手的技术较好？,解 首先比较平均环数,7.2 方差和标准差,26,再比较稳定程度,甲：,乙：,乙比甲技术稳定，故乙技术较好.,27,进一步比较平均偏离平均值的程度,甲,乙,E X - E(X)2,28,若E X - E(X)2 存在, 则称其为随机,定义,即 D (X ) = E X - E(X)2,变量 X 的方差, 记为D (X ),D(X ) 描述随
7、机变量 X 的取值偏离平均值的平均偏离程度,29,若 X 为离散型随机变量，分布律为,若 X 为连续型随机变量 ，概率密度为 f (x),30,计算方差的常用公式：,31,例13 设X P (), 求D ( X ).,解,32,例14 X E (),求 D ( X ) .,解,33,例15 设 X N ( , 2), 求 D( X ),解,方法一,方法二,34,D (aX ) = a2D(X),D(aX+b ) = a2D(X),特别地，若X ,Y 相互独立，则,35,则,若X ,Y 相互独立,36,性质 1 的证明：,性质 2 的证明：,37,性质 3 的证明：,当 X ,Y 相互独立时，,
8、注意到，,38,例16 设X B( n , p)，求D(X ).,解一 仿照泊松分布求D (X )的方法.,解二 引入随机变量,相互独立，,故,39,例17 设 独立同分布，,由独立性和方差的性质,40,常见随机变量的方差,41,区间(a,b)上 的均匀分布,E(),N(, 2),42,定义,随机变量 X 的标准差 为方差D(X)的算术根，即,例如 X N ( , 2), 其标准差为 。,43,原点矩和中心矩的概念, X 的k 阶原点矩, X 的k 阶中心矩, X 的方差,44,标准化随机变量,设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X ) 都存在, 且D(X ) 0, 则称,为 X 的标准
9、化随机变量. 显然，,45,仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布,与,有相同的 期望方差 但是分布 却不相同,例如,46, 7.3 协方差和相关系数,问题 对于二维随机变量(X ,Y ):,已知联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系。 问题是用一个怎样的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系,47,称,定义,为 X ,Y 的协方差. 记为 ，即,注,48,若 ( X ,Y ) 为离散型，,若 ( X ,Y ) 为连续型，,49,求 cov (X ,Y ).,解,50,故,51,协方差的性质,其中，a,b,
10、c,d为常数,52,若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,令,定义上式右端的量为X ,Y 的 相关系数，,则由协方差的性质知,记为 ，即,53,相关系数的性质,54,注：从本条性质知，X 与 Y 相关的含义是存在线性关系，因此，若X与Y 不相关，只能说明不存在线性关系，但不能排除 X , Y之间可能有其他关系。,其充要条件：存在常数a,b使得,55,X ,Y 相互独立,X , Y 不相关,若 ( X , Y ) 服从二维正态分布，则,X , Y 相互独立,X , Y 不相关,56,解,例19 设,57,可知，X和Y不独立。,58,7.5 中心极限定理,59,棣莫弗拉普拉斯中心极限定理（De
11、Moivre-Laplace ）,Y n B( n , p) ,定理1,设,变量序列, 且Xi B(1,p) (i=1,2, )，,是一个独立同分布的随机,则对任一实数 x，总有,60,即，对任意的 a b,Y n N (np , np(1-p) (近似),即,61,例20 某车间有200台车床，每台独立工作， 开工率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因 供电不足而影响生产？,解,设X 为开工的车床数 ,则 X B(200,0.6) ,近似服从N(0,1)，这里,由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理, 有,62
12、,，查正态函数分布表得,于是,由,故,解之，得,从而，至少要供给这个车间142r千瓦电 力，才能以 99.9% 的概率保证这个车间 不会因供电不足而影响生产。,63,独立同分布的中心极限定理,设,随机变量序列, 且有期望和方差：,则对于任意实数 x ,定理 2,，总有,是一个独立同分布的,64,注,即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标 准正态随机变量的分布函数,记,近似,近似服从,65,中心极限定理的意义,在第四章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布是由于有许多相互独立、对随机 现象均匀地起到微小作用的随机因素共同 作用(即这些因素的叠加)的结果.,若联系于此随机现象的随机变量为X ，,则它可被看成为许多相互独立的起微小作,用的因素Xk的总和 ，而这个总和服从,或近似服从正态分布.,66,区间 (-1,1) 上的均匀分布，并有,67,近似,由独立同分布的中心极限定理,可以近似地认为,故，,68,作业 P.93 习题七,1、3、7,
