1、1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件 A两次出现的面相同 ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件 A(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件 A 一分钟内呼叫次数不超过3 次； 寿命在 2000 到 2500 小时之间。解(1)( ,), ( ,), ( ,), (, ) ， A( ,), ( ,).(2) 记 X 为一分钟内接到的呼叫次数，则Xk | k0,1,2,LL ， AXk | k0,1,2,3 .(3) 记 X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则X(0,) ，AX(2000,2500) .
2、2. 袋中有10 个球，分别编有号码 1 至 10，从中任取 1 球，设 A取得球的号码是偶数，B取 得球的号码是奇数，C取得球的号码小于 5，问下列运算表示什么事件：(1) A U B ；(2) AB ；(3) AC ；(4) AC ；(5) A C ；(6) B U C ；(7) AC .解(1)A U B是必然事件；(2) AB是不可能事件；(3) AC取得球的号码是 2，4；(4) AC取得球的号码是 1，3，5，6，7，8，9，10；(5) A C取得球的号码为奇数，且不小于 5取得球的号码为 5，7，9；(6)B U CB I C取得球的号码是不小于 5 的偶数取得球的号码为 6，
3、8，10；(7) ACAC取得球的号码是不小于 5 的偶数=取得球的号码为 6，8，103. 在区间0 , 2 上任取一数，记 A(1) A U B ；(2) A B ；(3) AB ；(4) A U B .x 1x21 ， Bx 1x43 ，求下列事件的表达式：2解(1)A U Bx 1x3 ;42(2) A Bx 0x1 或 1x22 I Bx 1x41 U x1x3 ;22(3) 因为 AB ，所以 AB；(4) A U BA U x 0x1 或 3x2x 0x1 或 1x1或 3x24. 用事件 A, B, C42422的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现， B, C 都不出现（
4、记为 E1 ）；(2)A, B 都出现，C 不出现（记为 E2 ）；(3) 所有三个事件都出现（记为 E3 ）；(4) 三个事件中至少有一个出现（记为 E4 ）；(5) 三个事件都不出现（记为 E5 ）；(6) 不多于一个事件出现（记为 E6 ）；(7) 不多于两个事件出现（记为 E7 ）；(8) 三个事件中至少有两个出现（记为 E8 ）。解(1) E1(3) E3(5) E5AB C ；(2) E2ABC ；(4) E4A B C ；(6) E6ABC ；A U B U C ；A B C U AB C U A BC U A B C ；(7) E7ABCA U B U C ；(8) E8AB
5、U AC U BC .5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设 Ai 表示事件“第i 次抽到废品”，i1,2,3课，试后用 Ai答表示案下列(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；(2) 只有第一次抽到废品；(3) 三次都抽到废品；(4) 至少有一次抽到合格品；(2) 只有两次抽到废品。解(1) A1 U A2 ；(2) A1 A2 A3 ；(3) A1 A2 A3 ；(4) A1 U A2 U A3 ；(5) A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 .6. 接连进行三次射击，设 Ai =第 i 次射击命中， iC三次射击至少命中二次；试用
6、 Ai 表示 B 和C 。1,2,3 ， B三次射击恰好命中二次，解BA1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3CA1 A2 U A1 A3 U A2 A3习题二解答1从一批由 45 件正品、5 件次品组成的产品中任取 3 件产品，求其中恰有 1 件次品的概率。解这是不放回抽取，样本点总数 n50，记求概率的事件为 A ，则有利于 A 的样本点数3455k. 于是21P( A)k n455215034544 5 3!504948 2!993922一口袋中有 5 个红球及 2 个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后， 再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被
7、取到的可能性相同。求(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率；(3) 二次取得的球为红、白各一的概率；(4) 第二次取到红球的概率。解本题是有放回抽取模式，样本点总数 nA, B, C, D .7 2 . 记(1)(2)(3)(4) 题求概率的事件分别为2()有利于 A 的样本点数 k A52 ，故P( A)5257495 210() 有利于 B 的样本点数 k B5 2 ，故P( B)7 24920() 有利于C 的样本点数 kC2 5 2 ，故P(C)497 5355() 有利于 D 的样本点数 k D7 5 ，故P( D)7 2.4973一个口
8、袋中装有 6 只球，分别编上号码 1 至 6，随机地从这个口袋中取 2 只球，试求：(1) 最小号码是 3 的概率；(2) 最大号码是 3 的概率。解本题是无放回模式，样本点总数 n6 5 .() 最小号码为 3，只能从编号为 3，4，5，6 这四个球中取 2 只，且有一次抽到 3，因而有利样本点数为 23 ，所求概率为 2 31 .6 55() 最大号码为 3，只能从 1，2，3 号球中取，且有一次取到 3，于是有利样本点数为 22 ，课15所求概率为 226 52 . 后答案网4一个盒子中装有 6 只晶体管，其中有 2 只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取 2 次，每次取 1 只，试求下
9、列事件的概率：(1) 2 只都合格；(2) 1 只合格，1 只不合格；(3) 至少有 1 只合格。解分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为 A, B, C ，则4P( A)P( B)24 3 2266 5 2524211422866 5152注意到CA U B ，且 A 与 B 互斥，因而由概率的可加性知P(C)P( A)P( B)2814515155掷两颗骰子，求下列事件的概率：(1) 点数之和为 7；(2) 点数之和不超过 5；(3) 点数之和为偶数。解分别记题(1)、(2)、(3)的事件为 A, B, C ,样本点总数 n6 2() A 含样本点 (2,5), (5,2) ,(1,6
10、),(6,1),(3,4),(4,3)P( A)616 26() B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)P(B)1056 218()C含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3),(3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共 18 个样本点。P(C )1813626把甲、乙、丙三名学生随机地分配到 5 间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住 8 人，试求这三名学生住
11、不同宿舍的概率。解记求 概率 的 事件 为 A ， 样 本点 总数 为 53 ， 而 有利 A 的 样 本 点数 为 54 3 ， 所 以P( A)5 4 35312 .257总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：(1) 事件 A ：“其中恰有一位精通英语”； (2) 事件 B ：“其中恰有二位精通英语”； (3) 事件C ：“其中有人精通英语”。解样本点总数为 53(1)2312P( A)532 3 3!63 ；54 31052 课3后答案网(2)21P( B)533 3!3 ；54 310(3) 因CA U B ，且 A 与 B 互斥，因而P(C)P( A)
12、P( B)339 .51010S8设一质点一定落在 xOy 平面内由 x 轴、 y 轴及直线 xAy1 所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线1 x1 / 3 的左边的概率。解记求概率的事件为 A ，则 S Ay为图中阴影部分，而| 1/ 2 ，| S A |h11 2215522 32918最后由几何概型的概率计算公式可得P( A)| S A |5 /185 .1|1/ 29O1/3x9（见前面问答题 2. 3）图 2.310已知 AB ， P( A)0.4 ， P( B)0.6 ，求(1) P( A ) , P( B ) ；(2) P( A U B) ；(
13、3) P( AB) ；(4) P( B A), P( A B ) ；(5) P( A B) .解(1) P( A )1P( A)10.40.6 ， P( B )1P( B)10.60.4 ；(2) P( A U B)(3) P( AB)P( A)P( A)P(B)0.4 ；P( AB)P( A)P(B)P( A)P( B)0.6 ；(4) P( B A) (5) P( A B)P( AB)P(BA)P( )0.60 ,0.4P( A B )0.2.P( A U B)1P( A U B)10.60.4 ;11设 A, B 是两个事件，已知 P( A)0.5 ，P( B)0.7 ，P( A U B
14、)0.8 ，试求 P( AB) 及 P( BA).解注意到P( A U B)P( A)P( B)P( AB)，因而P( AB)P( A)P( B)P( A U B)0.50.70.80.4 . 于是， P( AB)P( AAB)P( A)P( AB)0.50.40.1 ；P( BA)P( BAB)P( B)P( AB)0.70.40.3 .习题三解答1已知随机事件 A 的概率 P( A)试求 P( AB) 及 P( A B ) .0.5 ，随机事件 B 的概率 P( B)0.6 ，条件概率 P( B | A)0.8 ，解P( AB)P( A)P(B | A)0.50.80.4P( A B )P
15、( A U B)1P( A U B)1P( A)P( B)P( AB)10.50.60.40.32一批零件共 100 个，次品率为 10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。解p109 90819.10099 9899 9810783某人有一笔资金，他投入基金的概率为 0.58，购买股票的概率为 0.28，两项投资都做的概 率为 0.19(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？(2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解记 A基金， B股票，则 P( A)0.58, P(B)0.28, P( AB)0.19(1)(2)课后P( B | A)P( A |
16、 B)P( AB) P( A) P( AB)P( B)0.19答0.580.190.28案0.32网7.0.678 4给定 P( A)0.5 ， P( B)0.3 ， P( AB)0.15 ，验证下面四个等式：P( A | B)P( A),P( A | B )P( A),P( B | A)P( B) ， P( B | A )P( B).解P( A | B)P( AB)P( B)0.150.31P( A)2P( A | B )P( AB )P(B )P( A)1P( AB)P( B)0.50.150.70.350.70.5P( A)P( B | A)P( AB)P( A)0.150.50.3P(
17、 B)P( B | A )P( A B)P( A )P( B)1P( AB)P( A)0.30.150.50.150.5P(B)5有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车， 迟到的概率是 0.25，若坐船，迟到的概率是 0.3，若坐汽车，迟到的概率是 0.1，若坐飞机则不会迟 到。求他最后可能迟到的概率。解B迟到，A1且按题意坐火车，A2坐船，A3坐汽车，A4乘飞机，则 B4U BAi ，i 1由全概率公式有：P( B | A1 )40.25 ， P( B | A2 )0.3 ， P( B | A3 )0.1 ， P( B | A4 )0 .
18、P( B)P( Ai )P( B | Ai )i 10.30.250.20.30.10.10.1456已知甲袋中有 6 只红球，4 只白球；乙袋中有 8 只红球，6 只白球。求下列事件的概率：(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；(2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。解(1) 记 B该球是红球， A1取自甲袋， A2取自乙袋，已知 P( B | A1 )6 /10 ，P( B | A2 )P( B)8 /14 ，所以P( A )P( B | A )P( A ) P(B | A )161841(2)112P( B)14724122210214707某工厂有甲、乙、丙三
19、个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的 25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为 5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。解0.250.050.350.040.40.020.01250.01400.0080.03453.45%8发报台分别以概率 0.6，0.4 发出 和 ，由于通信受到干扰，当发出 时，分别以概率 0.8 和 0.2 收到 和 ，同样，当发出信号 时，分别以 0.9 和 0.1 的概率收到 和 。求(1) 收到信号 的概率；(2) 当收到 时，发出 的概率。解记B收到信号 ， A发出信号 (1)P( B)P( A) P(B | A)P( A )P(B | A)0
20、.60.80.40.10.480.040.52(2)P( A | B)P( A) P( B | A)0.60.812 .P(B)0.52139设某工厂有 A, B, C 三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的 25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为 5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次课后答案网品，求它依次是车间 A, B, C 生产的概率。解为方便计，记事件 A, B, C 为 A, B, C 车间生产的产品，事件 D次品，因此P( D)P( A)P( D | A)P(B) P(D | B)P(C )P( D | C )0.250.050.35
21、0.040.40.020.01250.0140.0080.0345P( A | D)P( A) P(D | A)0.250.050.362P( D)0.0345P( B | D)P( B) P(D | B)0.350.040.406P( D)0.0345P(C | D)P(C )P( D | C )0.40.020.232P(D)10设 A 与 B 独立，且 P( A)0.0345p, P( B)q ，求下列事件的概率：P( A U B) ，P( A U B ) ，P( A U B ) .解P( A U B)P( A U B )P( A)P( A)P(B)P( B )P( A)P( B)P(
22、A) P(B )pqpqp1qp(1q)1qpqP( A U B )P( AB)1P( A)P( B)1pq11已知 A, B 独立，且 P( A B )1/ 9, P( AB )P( A B) ，求 P( A), P(B) .解因 P( AB )P( A B) ，由独立性有P( A)P( B )P( A ) P(B)从而 P( A)P( A)P( B)P(B)P( A)P( B)导致 P( A)P(B)再由 P( A B )1/ 9 ，有1/ 9P( A )P(B )(1P( A)(1P( B)(1P( A) 2所以 1P( A)1/ 3 。最后得到P( B)P( A)2 / 3.12甲、乙
23、、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为 1/3，1/2，2/3，求目标 被命中的概率。解记 B命中目标， A1而甲命中， A2乙命中， A3丙命中，则3BU Ai ，因i 1P( B)3 1PA1P( A ) P( A ) P( A )1211118I i123i 132399.13设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为 p ，求这 个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。解记 A通达，12Ai元件i 通达，i1,2,3,4,5,634则 AA1 A2 U A3 A4 U A5 A6 ， 所以56P( A)P( A1 A2 )P( A3
24、 A4 )P( A5 A6 )图 3.1P( A1 A2 A3 A4 )P( A3 A4 A5 A6 )P( A1 A2 A5 A6 )P( A1 A2 A3 A4 A5 A6 )3(1p) 23(1p) 4(1p) 614假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五 个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生 3 次故障的概率。解p53(0.2) 3(0.8) 20.0512 .15灯泡耐用时间在 1000 小时以上的概率为 0.2，求三个灯泡在使用 1000 小时以后最多只有 一个坏了的概率。解p33(0.2) 330.82(0.2)
25、 20.0080.0960.104 .16设在三次独立试验中，事件 A 出现的概率相等，若已知 A 至少出现一次的概率等于 19/27， 求事件 A 在每次试验中出现的概率 P( A) .解记 Ai19 A 课在第后i 次试答验中案出现网，i1,w2,3w.wp.kP(hA)3U i1 2 3依假设PA27i 11P( A A A )1(1p) 3所以， (1p) 38 ， 此即 p271/ 3 .17加工一零件共需经过 3 道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。解注意到，加工零件为次品，当且仅当 1-3 道工序中至
26、少有一道出现次品。记 Ai第i 道工序为次品，i31,2,3.则次品率pP U Aii 11P( A1 ) P( A2 )P( A3 )10.980.970.9510.903070.09718三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为 0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出 的概率。解记 A译出密码， Ai第i 人译出，i31,2,3. 则P( A)P U Aii 11P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )10.750.650.610.29250.707519将一枚均匀硬币连续独立抛掷 10 次，恰有 5 次出现正面的概率是多少？有 4 次至 6 次出 现正面的概率是多少？
27、1011063522561解(1)；(2)61010.k 4 k220某宾馆大楼有 4 部电梯，通过调查，知道在某时刻T ，各电梯正在运行的概率均为 0.75， 求：(1) 在此时刻至少有 1 台电梯在运行的概率；(2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；(3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。解(1) 1(10.75) 4321227441281(0.25) 4255256(2)4 (0.75) 2 (0.25) 2624(3)(0.75) 43481256习题四解答1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。（1） pii , i1520,1,2,3,4,5 ；（2） pi
28、5i, i60,1,2,3 ；（3） pi1 , i42,3,4,5 ；（4） pii1 , i251,2,3,4,5 。解要说明题中课给出后的数答列，是案否是网随机变w量w的w分.布k律，h只d要a验w证.pci 是o否m满足下列二个条件：其一条件为 pi0, i1,2,L，其二条件为pi1。i依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为 p3594665200 ；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为pi1。i 1252. 试确定常数c ，使 P Xic , i2i0,1,2,3,4成为某个随机变量 X
29、 的分布律，并求：P X2 ；P 1X5 。224解要使 c2i成为某个随机变量的分布律，必须有cii 0 21 ，由此解得 c16 ；31（2） P X2P X016 11P X1P X2128（3） P 1X3124315P X1P X216 1112 。2231 24313. 一口袋中有 6 个球，在这 6 个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2 这样的数字。从这袋中任取 一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字 X 的分布律与分布函数。解X 可能取的值为-3，1，2，且 P X31 , P X131 , P X221 ，即 X 的分布律为6X-312X 的分布函数概率
30、1113260x3F xP Xx =13563x11x21x24. 一袋中有 5 个乒乓球，编号分别为 1，2，3，4，5，从中随机地取 3 个，以 X 表示取出的 3个球中最大号码，写出 X 的分布律和分布函数。解依题意 X 可能取到的值为 3，4，5，事件 X3 表示随机取出的 3 个球的最大号码为 3，则另两个球的只能为 1 号，2 号，即 P X3115103；事件 X4 表示随机取出的 3 个球的最大31号码为 4，因此另外 2 个球可在 1、2、3 号球中任选，此时 P X425343 ；同理可得10126P X5。5103X 的分布律为课后答案X网3www4 X 的分布函数为概率
31、1361010100x3F x11041013x44x5x55. 在相同条件下独立地进行 5 次射击，每次射击时击中目标的概率为 0.6，求击中目标的次数 X的分布律。解依题意 X 服从参数 n55, pk0.6 的二项分布，因此，其分布律5 kP Xk具体计算后可得0.6k0.4, k0,1,L,5 ，X012345概率3231254862514462521662516262524331256. 从一批含有 10 件正品及 3 件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数 X 的分布律。（1） 每次取出的产品立即放
32、回这批产品中再取下一件产品；（2） 每次取出的产品都不放回这批产品中；（3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。解（1）设事件 Ai , i1,2,L 表示第i 次抽到的产品为正品，依题意， A1 ,L, An ,L 相互独立，且P Ai10 , i131,2,L 而k 1P XkP A L AAP A L P AP A310 , k1,2,L1k 1 k1k 1k1313即 X 服从参数 p10 的几何分布。13（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X 可能取到的值为 1，2，3，4，P X110 , P X2133 105 ,13 1226P X33 2 1013 12 115143,
33、 P X43 213 121 1011 101 .286X 的分布律为X1234概率101355261431286（3）X 可能取到的值为 1，2，3，4，P X110 , P X2133 1113 1333 ,169P X33 2 1213 13 13722197, P X43 2 113 13 136.2197所求 X 的分布律为X1234概率10337261316921972197由于三种抽样方式不同，导致 X 的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。7. 设随机变量 X B 6, p，已知 P X1P X5 ，求 p 与 P X2 的值。解由于 X B 课6, p，后因此答P X案6
34、网w6 p k 1kwp w6 k ., k k0h,1,Ld,6a。由此可算得P X16 p 1p 5 , P X56 p 5 1p ,即6 p 1p 56 p 5 1p ,26 2解得 p1 ；26此时， P X26112226 512!215 。648. 掷一枚均匀的硬币 4 次，设随机变量 X 表示出现国徽的次数，求 X 的分布函数。解一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为 1 ，因此 X 服从 n24, p1 的二项分布，即2P Xk41 k4 k, k1k220,1,2,3,4由此可得 X 的分布函数0，1 ，x00x 116F x5 ，1611 ，1615 ，161，1x22x33x4x49. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量 X 服从参数4 的泊松分布，问在月 初进货时，要进多少才能以 99%的概率充分满足顾客的需要？解设至少要进 n 件物品，由题意 n 应满足P Xn 10.99, P Xnk0.99,即P Xn 1n 1 4 e 40.99P Xnk 0 k!n 4 k4e0.99k 0 k!查泊松分布表可求得 n9 。10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为 0.0001，在某天该 段时间内有 1000 辆汽车通过，求事故次数不少于 2 的概率。解设 X 为 1000 辆汽车中出事故的次数
