1、习题一 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 A : (1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件 A = 两次出现的面相同 ; (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件 A = 一分钟内呼叫次数不超过 3 次; (3) 从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件 A = 寿命在 2000 到 2500 小时之间. 解 (1) = ( +,+), (+,), (,+), (,) , A = (+,+), (,) . (2) 记 X 为一分钟内接到的呼叫次数,则 = X = k | k = 0,1,2,LL , A = X = k | k = 0,1,2,3 . (3)
2、 记 X 为抽到的灯泡的寿命(单位: 小时) ,则 = X (0, + ) , A = X (2000, 2500) . 2. 袋中有 10 个球, 分别编有号码 1 至 10, 从中任取 1 球, A = 取得球的号码是偶数, = 取 设 B 得球的号码是奇数, C = 取得球的号码小于 5,问下列运算表示什么事件: (1) A U B ;(2) AB ;(3) AC ;(4) AC ;(5) A C ;(6) B U C ;(7) A C . 解 (1) A U B = 是必然事件; (2) AB = 是不可能事件; (3) AC = 取得球的号码是 2,4; (4) AC = 取得球的号
3、码是 1,3,5,6,7,8,9,10; (5) A C = 取得球的号码为奇数,且不小于 5 = 取得球的号码为 5,7,9; (6) B U C = B I C = 取得球的号码是不小于 5 的偶数 = 取得球的号码为 6,8,10; (7) A C = AC = 取得球的号码是不小于 5 的偶数= 取得球的号码为 6,8,10 1 1 3 3. 在区间 0 , 2 上任取一数,记 A = x 2 x f (x ) = 0.5e x 0.25 0 对应的分布函数 F (x ) 的表达式. 解 x 当 0 2 时, F (x ) = 0.5e x dx + 0 0.25dx + 2 0dx
4、= 0.5 + 0.5 = 1 综合有 0.5e x , x 0; F (x ) = 0.5 + 0.25 x, 0 x 2; 1, x 2. 16. 设随机变量 X 在 (1,6 ) 上服从均匀分布,求方程 t 2 + Xt + 1 = 0 有实根的概率. 解 X 的密度函数为 f (x ) = 2 17. 设某药品的有效期 X 以天计,其概率密度为 (x + 100 )3 , 解 (1) F (x ) = f (x )dx = x kh (x + 100) dx, 0 3 x 0, 其他. 求:(1) X 的分布函数;(2) 至少有 200 天有效期的概率. 0, x 0; ( ) 0,
5、w. = 0, 1 (1 + x )e , x 1 (2) P( X 200) = 1 P( X 200) = 1 F (200) = 1 1 ww 18. 设随机变量 X 的分布函数为 x0 x0 F (x ) = 求 X 的密度函数,并计算 P( X 1) 和 P( X 2) . 解 由分布函数 F (x ) 与密度函数 f (x ) 的关系,可得在 f (x ) 的一切连续点处有 f (x ) = F (x ) ,因此 f (x ) = xe x , 0, 1 所求概率 P( X 1) = F (1) = 1 (1 + 1)e = 1 2e 1 ; 19. 设随机变量 X 的分布函数为
6、F (x ) = A + B arctan x, 2 ) = 1 P ( X 2 ) = 1 F (2 ) = 1 1 (1 + 2 )e 2 = 3e 2 . da w. 20000 x 0. x 0 其他 网 其他 . 方程 t + Xt + 1 = 0 有实根的充分必要条件为 X 2 4 0 ,即 X 2 4 ,因此所求得概率为 1 , 5 0, 10 da w. ) 2 5 f (x ) = F (x ) = 网 (3)X 的密度函数 co 1 5 1 5 = 1 1 1 1 + arctan1 + arctan( 1) 2 2 (2)设 Y 表示某顾客五次去银行未等到服务的次数,则
7、Y 服从 n = 5, p = e 2 的二项分布,所求 概率为 ww w. 5 = e 2 0 0 P(Y 1) = P (Y = 0) + P(Y = 1) ( ) (1 e ) )( ) 21. 设 X 服 从 (0,1) , 借 助 于 标 准 正 态 分 布 的 分 布 函 数 表 计 算 : 1 ) P( X 176 ) ; (3) P( X 2.5) . 解 查正态分布表可得 (1) P( X 1.76) = 1 P( X 1.76 ) = 1 (1.76 ) = 1 0.9608 = 0.0392 ; (3) P( X 2.5) = 1 P( X 2.5) = 1 2(2.5)
8、 1 http:/ For evaluation only. 22. 设 X 服从 ( 1,16) , 借助于标准正态分布的分布函数表计算:1) ( X 1.5) ; ( P ( P (3) P( X 1) . 解 当 X ( , 2 ) 时, P(a X b ) = b a ,借助于该性质,再查标准正态分布函 = 2 2 (2.5) = 2(1 0.9938) = 0.0124 . 数表可求得 2.44 + 1 = (0.86) = 0.8051 ; 4 1.5 + 1 (2) P( X 1.5) = 1 = 1 ( 0.125 ) 4 = 1 (1 (0.125) = (0.125) =
9、0.5498 ; (1) P( X 1) = 1 P( X 1 1) = 1 P(0 X 2 ) = 1 门,求: (1)某天迟到的概率; (2)一周(以 5 天计) 最多迟到一次的概率. 解 (1)由题意知某人路上所花时间超过 40 分钟,他就迟到了,因此所求概率为 40 30 P( X 40) = 1 = 1 (1) = 1 0.8413 = 0.1587 ; 10 (2)记 Y 为 5 天中某人迟到的次数,则 Y 服从 n = 5, p = 0.1587 的二项分布,5 天中最多迟到一 ww 次的概率为 w. = 0.9332 1 + 0.9938 = 0.927 24. 某人上班所需的
10、时间 X (30,100 ) (单位:min)已知上班时间为 8:30,他每天 7:50 出 5 5 0 5 4 P(Y 1) = (0.1587 ) (0.8413) + 0.1587 (0.8413) = 0.8192 . 1 1 kh 2.2 2.05 1.8 2.05 P(2 0.2 X 2 + 0.2 ) = 0.1 0.1 = (1.5) ( 2.5) = (1.5) 1 + (2.5) 课 23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布 (2.05,0.01) ,合格品的规格规定为 2 0.2 ,求该厂滚珠 的合格率. 解 所求得概率为 2 + 1 0 + 1 4 4 = 1 (0.75
11、) + (0.25) = 1 0.7724 + 0.5987 = 0.8253 . 1. 二维随机变量 ( X , Y ) 只能取下列数组中的值: (0,0), ( 1,1), 1, , (2,0) ,且取这些组值的概率依 次为 , , 1 1 1 5 , ,求这二维随机变量的分布律. 6 3 12 12 解 由题意可得 ( X , Y ) 的联合分布律为 da w. 习题五解答 1 3 后 答 案 网 2 + 1 5 + 1 = (0.75) ( 1) 4 4 = (0.75) (1) + 1 = 0.7734 0.8413 + 1 = 0.9321 ; co m (3) P( X 0 其他
12、 y 由指数分布的定义知 fY (y) = 5e 5 y , 0, 因为 X 与 Y 独立,易得 ( X , Y ) 的联合密度函数 0, 概率 P( X Y ) = f (x, y )dxdy , G 其他 0.2 x 0.2 (3)关于 X 的边缘密度函数 f X (x ) = f (x, y )dy = + kh 0, (2) P(0 X 1,0 Y 2) = 0 dy 0 12e (3x + 4 y ) dx = (1 e 3 )(1 e 8 ) ; 2 1 + (3 x + 4 y ) dy, 0 12e 课 解 (1) k 必须满足 f ( x, y )dxdy = 1 ,即 0
13、dy 0 ke (3 x + 4 y ) dx = 1 ,经计算得 k = 12 ; + + + + 后 其他 0, 求: (1)系数 k ; (2) P(0 X 1,0 Y 2 ) ; (3)证明 X 与 Y 相互独立. f ( x, y ) = ke (3 x + 4 y ) , w. = 4e 4 y , k (1 x ) y, 0, + 3e 0, 同理可求得 Y 的边缘密度函数为 fY (y) = x0 ww 13. 已知二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为 f ( x, y ) = 其他 其他 0, 易见 f (x, y ) = f X (x ) f Y ( y ),
14、 0, y 0 x0 其他 x0 其他 3x 答 案 P( X Y ) = 0 dx 0 25e 5 y dy = 0 5 1 e 5 x dx = e 1 . 12. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为 ( ) , 网 其中区域 G = ( x, y ) | x y见图 5.3,经计算有 图 5.3 0 0 m http:/ For evaluation only. Y 的边缘密度函数为 fY (y) = 1 y y 1) = 1 P ( X 1) = 1 2e 1 . co 1 6 1 3 1 1 概率 6 3 求出:以下随机变量的分布律. (1) X + 2 ; (2)
15、 X + 1 ; (3) X 2 . 4 6 -3 16 6 1 3 3 1 8 16 1 3 0, 若 X 1; 1, 若 X 1, m 试求随机变量 Y 的分 http:/ For evaluation only. 即 Y 的分布律为 Y 0 1 概率 2e 1 1 2e 1 2x, 0, 0 0; ex , 解 f X (x ) = 其他. 0, 1 y = e x 的反函数 h( y ) = ln y , h ( y ) = ,因此所求的 Y 的密度函数为 y 1 e ln y , ln y 0; f Y ( y ) = f X (h( y ) h( y ) = y 其他, 0, 1
16、, y 1; = y2 其他. 0, 7. 设 X 服从 (0,1) ,证明 X + a 服从 a, 2 ,其中 a, 为两个常数且 0 . 1 x22 e , 0 时 , 证 明 由 于 X (0,1) , 所 以 f X ( x ) = 2 ya 1 y = x + a 为 单 增 函 数 , 其 反 函 数 h( y ) = , 因 此 Y 的 密 度 函 数 为 , h ( y ) = ww w. 1 e kh ( 1 ya 2 2 课 2y e 2, f Y ( y ) = f X (h( y ) h ( y ) = 2 即证明了 X + a (a, 2 ) . da w. + 1
17、2 e 2 y y y 2 网 P yX ( y = ) ( ) y f X ( x )dx = y 1 e x2 2 dx . , 1 2 y y 0; 其他, 后 ) 1 = 1 2 e ( y a )2 2 2 , 0; 其他, 1 25 , 0; 8. 设随机变量 X 在区间 1,2 上服从均匀分布,随机变量 Y = 0, 若 X = 0; 1, 若 X 0 ) = dx = . 0 3 3 因此所求分布律为 Y 概率 9. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布律 XY 0 1 2 3 1 1 1 1 4 4 8 1 2 0 0 8 1 1 3 0 8 8 求以下随机变量的分布律
18、: (1) X + Y ; (2) X Y ; (3) 2 X ; (4) XY . 解 1 1 1 1 1 1 0 0 0 概率 4 4 8 8 8 8 ( X , Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) 2 3 4 3 4 5 4 5 6 X +Y 0 -1 -2 1 0 -1 2 1 0 X Y 1 2 3 2 4 6 3 6 9 XY 从而得到 (1) 2 3 4 5 X +Y 1 3 1 1 概率 4 8 4 8 (2) 1 -2 -1 0 2 X Y 1 1 1 1 1 概率 8 4 4 4 8 (3)从联
19、合分布律可求得 X 的边缘分布律为 X 1 2 5 1 概率 8 8 由此得 2 X 的分布律为 X 2 4 ww w. kh da w. 3 1 4 6 课 后 答 案 网 co -1 1 3 0 1 2 3 m http:/ For evaluation only. 1 1 概率 8 8 4 (4) 2 3 6 3 1 1 概率 8 4 8 1 1 10. 设随机变量 X,Y 相互独立, X B1, , Y B1, , 4 4 (1)记随机变量 Z = X + Y ,求 Z 的分布律; (2)记随机变量 U = 2 X ,求 U 的分布律. 从而证实:即使 X,Y 服从同样的分布, X +
20、 Y 与 2 X 的分布并不一定相同,直观地解释这一结 论. 1 1 1 解(1)由于 X B1, , Y B1, ,且 X 与 Y 独立,由分布可加性知 X + Y B 2, ,即 4 4 4 k 2 k 2 1 3 P (Z = k ) = P( X + Y = k ) = , k = 0,1, 2 ,经计算有 k 4 4 0 1 2 Z 6 1 9 概率 16 16 16 (2)由于 0 1 X 3 1 概率 4 4 因此 0 2 U = 2X 1 3 概率 4 4 XY 1 1 4 易见 X + Y 与 2 X 的分布并不相同. 直观的解释是的 X + Y 与 2 X 的取值并不相同,
21、 这是因为 X 与 Y 并不一定同时取同一值,因而导致它们的分布也不同. 11. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律为 XY 1 2 3 1 1 0 0 9 2 1 2 0 9 9 2 2 1 3 9 9 9 (1)求 U = max ( X , Y ) 的分布律; (2)求 V = min ( X , Y ) 的分布律. 解 (1)随机变量 U 可能取到的值为 1,2,3 中的一个,且 ww w. kh da w. 课 后 答 案 网 co m http:/ For evaluation only. P(V = 1) = P(min ( X , Y ) = 1) = 1 2 2
22、 5 +0+0+ + = ; 9 9 9 9 kh ww w. -2 课 1 2 3 5 1 1 概率 9 3 9 12. 设二维随机变量 ( X , Y ) 服从在 D上的均匀分布,其中 D 为直线 x = 0, y = 0 , x = 2, y = 2 所 围成的区域,求 X Y 的分布函数及密度函数. 解 ( X , Y ) 的联合密度函数为 1 , f ( x, y ) = 4 0 0 ) 的泊松分布,且已知 E( X 2 )( X 3) = 2 ,求 的值. 解 w. da w. 1 0 1 1 12 后 答 案 网 课 co 2 1 4 1. 设 X 的分布律为, 2 -1 4 1
23、 4 m 习题七解答 ( ) ( ) (D(X ) + (E( X ) ) 5E( X 6 = 2 E( X 2 )( X 3) = E X 5 X + 6 = E X 2 5 E ( X ) + 6 = 2 2 2 http:/ For evaluation only. + 2 5 + 4 = 0 =2 3. 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数,每次命中目标的概率为 0.4,试求 X 2 的数学 期望 E X 2 . 解 X B(10,0.4 ) 所以 E ( X ) = 10 0.4 = 4, D( X ) = 10 0.4 0.6 = 2.4 ( ) Y= 则 3a ww
24、P( X = 2) = 0.1 0.2 0.7 + 0.9 0.2 0.3 + 0.1 0.8 0.3 = 0.092 P( X = 3) = 0.1 0.2 0.3 = 0.006 所以 X 的分布律为 X 0 1 2 3 Pr 0.504 0.398 0.092 0.006 E ( X ) = 0 0.504 + 1 0.398 + 2 0.092 + 3 0.006 = 0.6 E X 2 = 0 2 0.504 + 12 0.398 + 2 2 0.092 + 3 2 0.006 = 0.82 2 D ( X ) = 0.82 (0.6) = 0.46 ( ) w. kh 1 2a 2
25、 + 14000a 8000000 2000 要使得平均收益 E (Y ) 最大,所以 2a 2 + 14000a 8000000 = 0 得 a = 3500 (吨) 5. 一台设备由三大部件构成,在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为 0.1,0.2,0.3, 假设各部件的状态相互独立,以 X 表示同时需要调整的部件数,试求 X 的数学期望 E ( X ) 和方差 D( X ) . 解 X 的可能取值为 0,1,2,3,有 P( X = 0 ) = 0.9 0.8 0.7 = 0.504 P( X = 1) = 0.1 0.8 0.7 + 0.9 0.2 0.7 + 0.9 0.8 0
26、.3 = 0.398 课 后 ( ) 答 案 = ( 6. 设 X 的密度函数为 f ( x ) = 1 x e ,求(1) E ( X ) ; (2) E X 2 . 2 + 1 x 解 (1) E ( X ) = x e dx = 0 2 + + 1 1 x (2) E (X 2 ) = x 2 e dx = 2 x 2 e x dx = 2 0 2 2 da w. ) ( ) 网 E (Y ) = (4 x a ) 2000 a 4000 1 1 dx + 3a dx a 2000 2000 注:求解(1)时利用被积函数是奇函数的性质,求解(2)时化简为 x 2 e x dx 可以看成为
27、是 0 服从参数为 1 的指数分布随机变量的二阶原点矩. co + 3 X (a X ) x0 0 x0 2 X , D( X ) . 求 E ( X ) , E (2 X ) , E X + e 解 ( ) + + 1 4 E ( X + e 2 X ) = E ( X ) + E ( e 2 X ) = 1 + e 2 x e x dx = 1 + e 3 x dx = 1 + = 0 0 3 3 E X 2 = 0 2 0.5 + 12 0.5 = 0.5 D ( X ) = 0.5 (0.5) = 0.25 E (Y ) = 0 0.7 + 1 0.3 = 0.3 2 ( ) ( )
28、E Y 2 = 0 2 0.7 + 12 0.3 = 0.3 2 ww D (Y ) = 0.3 (0.3) = 0.21 E ( X 2Y ) = E ( X ) 2 E (Y ) = 0.5 2 0.3 = 0.1 E (3 XY ) = 3E ( XY ) = 3(0 0 0.3 + 0 1 0.2 + 1 0 0.4 + 1 1 0.1) = 3 0.1 = 0.3 cov( X , Y ) = E ( XY ) E ( X ) E (Y ) = 0.1 0.5 0.3 = 0.05 X ,Y = cov( X , Y ) = D ( X ) D (Y ) 2 e 2 x 0 10.
29、设随机变量 X,Y 相互独立,它们的密度函数分别为 w. x0 x0 kh 0.05 21 = 21 0.25 0.21 关于 X 与 Y 的边缘分布律分别为: X 0 1 Pr 0.5 0.5 E ( X ) = 0 0.5 + 1 0.5 = 0.5 解 课 9. 设随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律为 XY 0 1 0 0.3 0.2 1 0.4 0.1 求 E ( X ) , E (Y ) , E ( X 2Y ) , E (3 XY ) , D( X ) , D (Y ) , cov( X , Y ) , X ,Y . 后 答 案 D ( X ) = E ( X 2 ) (
30、E ( X ) = 1 2 f X (x ) = 求 D( X + Y ) . 解 X E (2 ) ,所以 D ( X ) = 1 1 = , 22 4 da w. Y Pr 0 0.7 0 网 E(X2) = + x 2 e x dx = 2 fY (y) = 4 e 4 y 0 co 1 0.3 y 0 y0 E ( 2 X ) = 2E ( X ) = 2 0 xe x dx = 1 m E(X ) = + http:/ For evaluation only. Y E (4) ,所以 D(Y ) = X,Y 相互独立,所以 1 1 = , 16 4 2 5 . 16 11. 设 (
31、X , Y ) 服从在 A 上的均匀分布,其中 A 为 x 轴,y 轴及直线 x + y + 1 = 0 所围成的区域, 求(1) E ( X ) ; (2) E ( 3 X + 2Y ) ; (3) E ( XY ) 的值. 解 先画出 A 区域的图 y 0 A -1-y y -1 -1 x x D ( X + Y ) = D ( X ) + D(Y ) = (x, y ) A 0 + f ( x, y ) = 其他 2 f X ( x ) = f ( x, y )dy = 0 网 1 y 0 ww w. ( ) 0 y x 1 12y 2 0 其他 2 2 求 E ( X ), E (Y
32、), E ( XY ), E X + Y , D( X ), D(Y ) . 解 先画出区域 0 y x 1 的图 y 1 f ( x, y ) = kh 1 1 1 E ( 3 X + 2Y ) = 3E ( X ) + 2 E (Y ) = 3 + 2 = 3 3 3 0 0 0 1 2 E ( XY ) = xy 2dydx = x(1 + x ) dx = 1 1 x 1 12 12. 设随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为 课 1 3 0 1 E (Y ) = y 2(1 + y )dy = 1 3 0 1 E ( X ) = x 2(1 + x )dx = da w. 其
33、他 f X ( x ) = f ( x, y )dy = + f Y ( y ) = f ( x, y )dx = + 0 2dx = 2(1 + y ) 1 y 0 后 答 案 co 1 x 0 0 x 1 其他 m 2dy = 2(1 + x ) 0 x 1 12 y 0 x 2 dy = 4 x 3 0 G 其他 f Y ( y ) = f ( x, y )dx = + 0 1 x 12 y y 1 2 dy = 12 y 2 (1 y ) 0 y 1 http:/ For evaluation only. E(X ) = 0 1 0 0 其他 4 x 4 x dx = 3 5 E (
34、Y ) = y 12 y 2 (1 y )dy = 1 3 5 1 2 1 1 0 0 E ( XY ) = 1 0 0 X xy 12 y 2 dydx = E ( X 2 + Y 2 ) = E ( X 2 ) + E ( Y 2 ) = x 2 4 x3 dx + y 2 12 y 2 (1 y )dy = D ( X ) = E ( X 2 ) ( E ( X ) = 2 2 2 16 15 4 4 2 = 6 5 75 2 2 2 2 2 2 解: (1) D ( X + Y ) = D ( X ) + D(Y ) + 2 X ,Y D( X ) D (Y ) (2) D ( X Y
35、 ) = D( X ) + D (Y ) 2 X ,Y D( X ) D(Y ) D (2 X + Y ) = 2 2 D( X ) + D(Y ) = 4 1 + 1 = 5 kh xf ( x, y )dydx = + = 25 + 36 2 0.4 25 36 = 37 15. 设随机变量 X , Y 相互独立, X N (1,1) , Y N (2,1) ,求 E (2 X + Y ), D (2 X + Y ) . 解 E ( X ) = 1, D( X ) = 1; E (Y ) = 2, D(Y ) = 1 E (2 X + Y ) = 2 E ( X ) + E (Y ) =
36、2 1 + (2) = 0 16. 验 证 : 当 ( X , Y ) 为 二 维 连 续 型 随 机 变 量 时 , 按 公 式 EX = + + 课 后 = 25 + 36 + 2 0.4 25 36 = 85 da w. x + 答 案 = D( X ) + ( E ( X ) D (Y ) + (E (Y ) E ( X ) E (Y ) = (2 + 1)(3 + 1) 1 1 = 11 14. 设 D ( X ) = 25, D(Y ) = 36, X ,Y = 0.4 ,求(1) D( X + Y ) ; (2) D( X Y ) . 2 2 2 网 w. EX = + EX =
37、 xf ( x )dx 算得的 EX 值相等.这里, f ( x, y ) , f (x ) 依次表示 ( X , Y ), X 的分布密度. + 证明 ww 17. 设 X 的方差为 2.5,利用契比晓夫不等式估计 P X EX 7.5 的值. D( X ) 2.5 1 = = 解 P X EX 7.5 2 2 7.5 7.5 22.5 18. 设随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为-2 和 2,方差分别为 1 和 4,而相关系数为-0.5, 根据 切比雪夫不等式估计 P ( X + Y 6 ) 的值. 解 D ( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) + 2 X ,Y D (
38、 X ) D(Y ) = 1 + 4 + 2 ( 0.5) 1 4 = 3 所以 + f ( x, y )dydx = + E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y ) = 2 + 2 = 0 co 6 3 1 D (Y ) = E (Y ) ( E (Y ) ) = = 15 5 75 13. 设随机变量 X,Y 相互独立,且 E ( X ) = E (Y ) = 1, D( X ) = 2, D (Y ) = 3 ,求 D( XY ) . 解 2 D ( XY ) = E X 2Y 2 (E ( XY ) ( ) = E (X )E (Y ) (E ( X ) E (Y )
39、 xf ( x )dx m xf ( x, y )dydx 及 按 公 式 P ( X + Y 6) = P ( X + Y 0 6 ) http:/ For evaluation only. 习题九解答 f (x1 , x 2 ,L, x6 ) = e 解 x1 x1! n e x2 x2 ! = e 6 i=1 后 6 xi T1 = X1 + X 2 + L + X 6 , T2 = X 6 , T3 = X 6 E ( X 1 ), T4 = max ( X 1 , X 2 ,L, X 6 ) 6 ww (3)设样本的一组观察是:0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值,样本方
40、差和标准差. 解 6 0 0 未知 (1)写出样本的联合密度函数; (2)指出下列样本函数中哪些是统计量,哪些不是?为什么? 课 x ! i =1 i 1 (0.5 + 1 + 0.7 + 0.6 + 1 + 1) = 0.8 6 样本标准差 S = S 2 = 0.0433 = 0.2082 . 2 2 3. 查表求 0.99 (12) , 0.01 (12) , t 0.99 (12) , t 0.01 (12) . 解 4. 设 T t (10 ) ,求常数 c ,使 P(T c ) = 0.95 . 2 2 0.99 (12) = 26.217 , 0.01 (12) = 3.571
41、, t0.99 (12) = 2.6810 , t0.01 (12) = 2.6810 . da w. L e 1. 设 X 1 , X 2 , L , X 6 是来自服从参数为 的泊松分布 P( ) 的样本,试写出样本的联合分布律. 答 案 网 x6 x6 ! x1 , x 2 ,L, x6 = 0,1,2,L ) co m D( X + Y ) 1 = 12 62 21. 在人寿保险公司里有 3000 个同龄的人参加人寿保险.在 1 年内每人的死亡率为 0.1%,参 加保险的人在 1 年的第一天交付保险费 10 元,死亡时家属可以从保险公司领取 2000 元.试用中心 极限定理求保险公司亏
42、本的概率. 解 设死亡人数为 X , X B(3000,0.001) ,保险公司亏本当且仅当 2000 X 10 3000 ,即 X 15 . 于是,由棣莫弗拉普拉斯定理,公司亏本的概率为 X np 15 np P ( X 15) = P np(1 p ) np (1 p ) 15 3 x3 = p 3 0.999 1.73 1 (6.93) = 0 = P ( X + Y E ( X + Y ) 6) 解 由 t 分布关于纵轴对称,所以 P(T c ) = 0.95 即为 P(T c ) = 0.05 . 由附表 5.6 可查得 c = 1.81 ,所以 c = 1.81 . 5. 设 X
43、1 , X 2 ,L, X n 是来自正态总体 (0, 2 ) 的样本 ,试证: (1) (2) 1 2 X i2 2 (n ) ; n i =1 1 n 2 X i (1) . n 2 i =1 Xi 2 2 证明: 1 n X (1) 独立同分布于 (0,1) ,由 分布的定义, i 2 (n ) ,即 2 X i2 2 (n ) . i =1 i =1 n 2 ( 2 ) 易 见 , X i (0, n 2 ) , 即 n i =1 Xi i =1 n 2 (1)试给出常数 c ,使得 c (X 12 + X 2 ) 服从 2 分布,并指出它的自由度; 解 2 (1)易见, X 12 +
44、 X 2 即为二个独立的服从 (0,1) 的随机变量平方和,服从 2 (2) 分布,即 c = 1 ;自由 度为 2. (2)由于 X 1 + X 2 (0,2) ,则 2 2 又 X 3 + X 4 + X 52 2 (3) , 后 X1 + X 2 2 课 X1 + X 2 2 2 2 与 X 3 + X 4 + X 52 相互独立,则 ( 即 即 d = 6 2 (X1 + X 2 ) 2 X3 ww X B(1, p ) ; (2) X E ( ) ; (3) X R(0,2 ) ,其中 0 . 6 ,自由度为 3. 2 7. 设 ( X 1 , X 2 ,L, X n ) 是取自总体
45、 X 的一个样本, 在下列三种情况下, 分别求 E (X ), D (X ), E S 2 : (1) w. 2 2 2 X3 + X4 + X5 kh 2 + 2 X4 2 + X5 3 ) X1 + X 2 答 案 2 2 2 X3 + X4 + X5 da w. (0,1) . t (3) t (3) 网 (2)试给出常数 d ,使得 d X1 + X 2 服从 t 分布,并指出它的自由度. co 1 n X 2 (1) . 2 i n i =1 6. 设 X 1 , X 2 ,L, X 5 是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个 X i (i = 1,2,L,5) 都服从 (0,1)
46、 . 2 解 (1) X B(1, p ) E ( X ) = p, E ( X 2 ) = p, D ( X ) = p (1 p ) 1 n 1 n E ( X ) = E Xi = E ( Xi ) = p n i =1 n i =1 p (1 p ) 1 n 1 n D ( X ) = D Xi = 2 D ( Xi ) = n n i =1 n i =1 m n 2 n Xi 2 2 (1) , 即 (0,1) , 由 分 布 的 定 义 , i=1 2 n 2 ( ) http:/ For evaluation only. 2 1 1 1 n E ( S 2 ) = E ( X i X ) n = E X i2 nX 2 = E ( X i2 ) nE ( X 2 ) n i =1 n i =1 n i =1 n 2 2 1 = D ( X i ) + ( E ( X i ) ) n D ( X ) + E ( X ) n i =1 n n ( ) ( ) ( p (1 p ) 1 +
