1、普 通 高 等 教 育 “十 五 ”国 家 级 规 划 教 材工 程 数 学概 率 统 计 简 明 教 程同 济 大 学 应 用 数 学 系 主 编高 等 教 育 出 版 社策 划 张 忠 月编 辑 张 忠 月 封 面 设 计 王 凌 波 责 任 绘 图 朱 静 版 式 设 计 史 新 薇 责 任 校 对 刘 莉 责 任 印 制 内 容 提 要本书 的 概 率 论 部 分 是 根 据 同 济大 学 数 学 教 研 室 主 编 的 高 等 数 学 (1978 年 版 )第 十 四 章 改 编 而 成 的 .根 据 近 年 来 工 科 数 学 教 学 改 革 的 情 况 ,本 书 增 加 了 统
2、计 部 分 的 内 容 .本 书 着 眼 于 介 绍 概率 论 和 数 理 统 计 中 的 基 本 概念 、 基 本 原 理 和 基 本 方 法 ,强 调 直 观 性 ,注 重 可 读 性 ,突 出基 本思 想 .本 书内 容 包 括 :随机 事 件 、 事 件的 概 率 、 条件 概 率 与 事 件 的 独 立 性 、 随 机 变 量 及 其 分 布 、 二 维 随 机 变量 及 其 分 布 、 随 机 变 量 的 函 数 及 其 分 布 、 随 机 变 量 的 数字 特 征 、 统计 与 统 计 学 、 统 计 量和 抽 样 分 布 、 点 估 计 、 区 间估 计 、 假 设检 验 .本
3、 书 可 供 高 等 院 校 工 科 和 其 他 非 数 学 类 专 业 的 学 生 使 用 ,也 适 用 于 学 时 少 或 多 层 次 办 学 的 概 率 论 与 数 理 统 计 课 程 的 教 学 需 要 .图 书 在 版 编 目 ( CIP)数 据工 程 数 学 . 概 率 统 计 简 明 教 程 同 / 济 大 学 应 用 数 学 系主 编 .北 京 : 高 等 教 育 出 版 社 ,2003.6ISB N 7 - 04 - 011940 - 4 . 工 . . 同 . . 工 程 数 学 - 高 等 学 校 - 教 材 概 率 论 - 高 等 学 校 - 教 材 数 理 统 计 -
4、 高 等 学 校- 教 材 . T B11中 国 版 本 图 书 馆 CIP 数 据 核 字 (2003)第 038144 号出 版 发 行 高 等 教 育 出 版 社 购 书 热 线 010 - 64054588社 址 北 京 市 西 城 区 德 外 大 街 4 号 免 费 咨 询 800 - 810 - 0598 邮 政 编码 100011 网 址 http: /w/w w 总 机 010 - 82028899 http: /w/w w .cn经 销 新 华 书 店 北 京 发 行 所印 刷开 本 787960 1 1/6 版 次 年 月 第 版印 张 11.25 印 次 年 月 第
5、次 印 刷字 数 200 000 定 价 12.40 元本 书 如有 缺 页 、 倒 页、 脱 页 等 质 量问 题 ,请 到所 购 图 书 销 售 部 门 联 系 调 换.版 权 所 有 侵 权 必 究前 言概 率 论 与 数 理 统 计 ,在 我 国 高 校 的 绝 大 部 分 工 科 、 理 科 专 业 及 管 理 类 专 业 , 都 是 一 门 重 要 的 基 础 课 程 .这 不 仅 是 因 为 它 们 在 各 个 领 域 中 的 应 用 广 泛 性 , 而 且 从 人 才 素 质 的 全 面 培 养 来 说 , 这 门 课 程 也 是 不 可 或 缺 的 . 例 如 , 进 入 2
6、1 世 纪 之 后 ,人 们 可 以 通 过 各 种 媒 体 获 得 越 来 越 多 的 统 计 信 息 , 它 们 传 递 着 政 府 部 门 的 重 要 政 策 取 向 ,没 有 良 好 的 数 理 统 计 知 识 就 不 可 能 很 好 地 把 握 这 些 统 计 信 息 的 特性 ,并 善 加 运 用 .本 书 着 眼 于 介 绍 概 率 论 和 数 理 统 计 中 的 基 本 概 念 、 基 本 原 理 和 基 本 方 法 , 它们 都 是 初 步 的 ,但 又 是 基 本 的 . 强 调 直 观 性 和 应 用 背 景 ,注 重 可 读 性 , 突 出 基 本 思 想 是 本 书
7、的 特 点 .期 望 能 对 后 续 课 程 的 学 习 以 及 进 一 步 深 造 有 所 裨 益 , 能 对 随 机 思 维 能 力 的 增 强 和 统 计 素 质 的 培 养 有 所 裨 益 .本 书 的 概 率 论 部 分 是 根 据 同 济 大 学 数 学 教 研 室 主 编 的 高 等 数 学 (1978 年 版 )的 第 十 四 章 改 编 的 ; 数 理 统 计 部 分 则 完 全 是 新 编 的 .这 里 顺 便 提 及 的 是 , 早 在 1982 年 我 系 叶 润 修 同 志 已 做 过 改 编 的 尝 试 , 并 由 高 等 教 育 出 版 社 出 版 了 概 率 论
8、 一 书 . 该 书 在 使 用 中 很 受 读 者 欢 迎 ,但 出 版 近 20 年 来 ,一 直 未 作 修 改 , 由 于 叶 润 修 同 志 已 故 世 , 无 法 对 该 书 进 行 修 订 , 这 不 能 不 说 是 一 种 遗 憾 . 本 书 的 出 版 在某 种 意 义 上 也 可 以 说 是 弥 补 这 一 不 足 .本 书 的 部 分 内 容 打 上 * 号 , 一 般 可 以 不 读 . 作 为 一 本 教 材 , 本 书 在 选 材 及 编排 上 ,充 分 考 虑 到 能 适 应 不 同 层 次 的 需 要 , 有 较 大 的 灵 活 性 .我 们 建 议 : 若 只
9、 选 概 率 论 部 分 ,大 约 需 36 学 时 ,而 欲 使 用 全 部 内 容 , 需 54 学 时 ; 打 * 号 的 内 容 可 供 工 科 研 究 生 和 攻 读 M B A 的 读 者 参 考 .本 书 的 编 写 分 工 如 下 : 第 1 3 章 、 812 章 由 柴 根 象 同 志 执 笔 ; 第 46 章 由 蒋 凤 瑛 同 志 执 笔 ;第 7 章 由 梁 汉 营 同 志 执 笔 ; 习 题 及 解 答 由 蒋 凤 瑛 和 杨 筱 菡 同 志 执 笔 ,最 后 由 柴 根 象 同 志 统 稿 、 定 稿 .本 书 的 出 版 得 到 高 等 教 育 出 版 社 徐
10、刚 、 张 忠 月 两 位 同 志 的 大 力 支 持 ; 天 津 大 学 齐 植 兰 同 志 仔 细 地 审 阅 了 本 书 的 初 稿 ,提 出 了 许 多 宝 贵 的 意 见 , 这 对 提 高 本 书 质量 起 了 重 要 作 用 ; 在 本 书 的 酝 酿 过 程 中 , 我 系 的 郭 镜 明 、 徐 建 平 同 志 做 了 大 量 的 协 调 工 作 ,推 动 了 本 书 的 写 作 . 此 外 ,我 们 的 研 究 生 孙 燕 、 吴 月 琴 为 本 书 手 稿 的 打 印 付 出 了 辛 勤 的 劳 动 ,特 在 此 一 并 表 示 由 衷 的 谢 意 .由 于 作 者 学
11、识 和 阅 历 所 限 ,书 中 不 当 和 疏 漏 之 处 在 所 难 免 , 敬 请 各 位 同 行 和 读 者 不 吝 赐 教 .编 者 2003 年 1 月目 录前 言第 一 章 随 机 事 件 1第 一 节 样 本 空 间 和 随 机 事 件 1第 二 节 事 件 关 系 和 运 算 3习 题 一 5第 二 章 事 件 的 概 率 7第 一 节 概 率 的 概 念 7第 二 节 古 典 概 型 8第 三 节 几 何 概 型 10第 四 节 概 率 的 公 理 化 定 义 12附 录 13习 题 二 15第 三 章 条 件 概 率 与 事 件 的 独 立 性 17第 一 节 条 件 概
12、 率 17第 二 节 全 概 率 公 式 19第 三 节 贝 叶 斯 公 式 20第 四 节 事 件 的 独 立 性 22第 五 节 伯 努 利 试 验 和 二 项 概 率 25* 第 六 节 主 观 概 率 26习 题 三 27第 四 章 随 机 变 量 及 其 分 布 30第 一 节 随 机 变 量 及 分 布 函 数 30第 二 节 离 散 型 随 机 变 量 33第 三 节 连 续 型 随 机 变 量 38习 题 四 46第 五 章 二 维 随 机 变 量 及 其 分 布 49第 一 节 二 维 随 机 变 量 及 分 布 函 数 49第 二 节 二 维 离 散 型 随 机 变 量 5
13、0第 三 节 二 维 连 续 型 随 机 变 量 52第 四 节 边 缘 分 布 54第 五 节 随 机 变 量 的 独 立 性 58* 第 六 节 条 件 分 布 60 习 题 五 64第 六 章 随 机 变 量 的 函 数 及 其 分 布 66第 一 节 一 维 随 机 变 量 的 函 数 及 其 分 布 66第 二 节 二 维 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布 71习 题 六 75第 七 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 77第 一 节 数 学 期 望 77第 二 节 方 差 和 标 准 差 83第 三 节 协 方 差 和 相 关 系 数 86* 第 四 节 切 比 雪 夫
14、不 等 式 及 大 数 律 89第 五 节 中 心 极 限 定 理 91习 题 七 93第 八 章 统 计 与 统 计 学 96第 一 节 统 计 的 研 究 对 象 96第 二 节 总 体 和 样 本 97第 三 节 什 么 是 统 计 学 98第 四 节 统 计 方 法 的 特 点 99第 五 节 统 计 思 想 100第 九 章 统 计 量 和 抽 样 分 布 102第 一 节 统 计 量 102第 二 节 常 用 统 计 量 103第 三 节 抽 样 分 布 106习 题 九 111第 十 章 点 估 计 112第 一 节 点 估 计 问 题 112第 二 节 估 计 方 法 114第
15、 三 节 点 估 计 的 优 良 性 116习 题 十 119第 十 一 章 区 间 估 计 121第 一 节 置 信 区 间 121第 二 节 正 态 总 体 下 的 置 信 区 间 123* 第 三 节 抽 样 推 断 126习 题 十 一 129第 十 二 章 假 设 检 验 131第 一 节 检 验 的 基 本 原 理 131第 二 节 显 著 水 平 检 验 法 与 正 态 总 体 检 验 135* 第 三 节 拟 合 优 度 检 验 140习 题 十 二 145 附 表 一 泊 松 分 布 表 148附 表 二 正 态 分 布 表 1512附 表 三 分 布 表 153附 表 四
16、t 分 布 表 155附 表 五 p 值 表 157习 题 答 案 161参 考 书 目 172 第 一 章 随 机 事 件第 一 节 样 本 空 间 和 随 机 事 件在 科 学 研 究 和 社 会 生 活 中 ,常 常 要 在 一 组 给 定 条 件 下 进 行 实 验 或 观 察 , 例 如 在 一 定 的 大 气 压 下 观 察 对 水 加 热 ,随 着 温 度 升 高 会 发 生 什 么 现 象 ; 又 如 在 闹 市 区 的 某 个 街 口 , 在 一 个 给 定 时 间 段 内 观 察 交 通 堵 塞 现 象 , 等 等 , 统 称 实 验 和 观 察 为验 .在 各 种 试 验
17、 中 , 就 试 验 相 伴 的 现 象 的 特 点 , 又 区 别 出 一 种 称 作 随 机 试 验 的试 验 ,如 前 面 所 举 的 交 通 堵 塞 试 验 , 事 先 无 法 预 知 是 否 堵 塞 以 及 堵 塞 次 数 是 多 少 .也 就 是 说 试 验 将 要 出 现 什 么 结 果 是 随 机 的 ; 而 对 于 水 加 热 这 一 例 来 说 , 如 观 察 水 加 热 到 100 会 发 生 什 么 结 果 ,其 答 案 是 预 先 就 可 以 说 出 来 的 , 因 此 没 有 什么 随 机 性 可 言 .一 般 地 ,称 具 有 以 下 两 个 特 点 的 试 验
18、为 随 机 试 验 :(1) 试 验 的 所 有 可 能 结 果是 已 知 的 或 者 是 可 以 确 定 的 ;(2) 每 次 试 验 究 竟 将 会 发 生 什 么 结 果 是 事 先 无 法预 知 的 .依 此 定 义 , 上 面 提 到 的 “水 加 热” 不 是 随 机 试 验 ,而 “ 堵 车” 是 随 机 试 验 . 再来 看 一 些 例 子 :例 1 投 掷 一 枚 均 匀 骰 子 ,观 察 朝 上 面 的 点 子 数 ; 则 可 能 结 果 可 以 是 出 现 1 点 ,2 点 , ,6 点 中 的 一 个 .例 2 在 一 批 量 很 大 的 同 型 号 产 品 中 ,混
19、有 比 例 为 p 的 次 品 .从 中 一 件 接 一 件 地 随 机 抽 取 n 次 ,每 次 抽 后 不 放 回 (简 称 不 放 回 抽 取 ), 观 察 抽 到 的 n 个 产 品中 的 次 品 数 ,则 可 能 结 果 可 以 是 次 品 数 为 0 件 ,1 件 , , n 件 中 的 一 个 .例 3 对 上 海 证 券 交 易 所 每 个 交 易 日 的 综 合 收 盘 指 数 进 行 观 察 , 则 可 能 结果 可 以 是 0 点 到 10 000 点 中 的 任 何 一 个 点 数 .我 们 注 意 到 ,这 三 个 例 子 都 有 上 面 提 到 的 特 点 (1)
20、、 (2),因 此 都 是 随 机 试 验 ; 而 且 此 外 还 有 第 三 个 特 点 ,即 试 验 可 在 相 同 条 件 下 重 复 . 应 该 说 对 大 多 数 随 机 试 验 都 具 有 第 三 个 特 点 ,然 而 也 有 不 少 例 外 , 如例 4 观 察 某 地 明 天 的 天 气 是 下 雨 还 是 晴 天 .例 5 某 人 计 划 去 某 地 旅 游 ,观 察 在 预 定 的 一 天 能 否 安 全 抵 达 目 的 地 . 很 明 显 , 这 两 例 都 是 随 机 试 验 , 但 除 非 时 间 能 够 倒 转 , 它 们 都 是 不 可 重 复 的一 次 性 试
21、验 .从 历 史 上 看 , 可 重 复 试 验 已 经 得 到 广 泛 深 入 的 研 究 , 有 一 套 成 熟 的理 论 和 方 法 .但 随 着 社 会 经 济 的 发 展 , 特 别 是 现 代 经 营 管 理 和 决 策 分 析 的 需 要 , 1 2 2 22 2 2不 可 重 复 的 随 机 试 验 的 研 究 已 引 起 人 们 的 关 注 .但 本 书 除 了 个 别 章 节 外 , 只 研 究 可 重 复 的 随 机 试 验 .对 于 随 机 试 验 ,我 们 关 心 的 是 相 伴 的 随 机 现 象 . 为 研 究 方 便 起 见 ,我 们 称 : 在随 机 试 验
22、中 ,对 某 些 现 象 或 某 种 情 况 的 陈 述 为 随 机 事 件 , 或 简 称 事 件 . 对 于 指 定 的 一 次 试 验 ,一 个 特 定 的 事 件 可 能 发 生 , 也 可 能 不 发 生 ,这 就 是 事 件 的 随 机 性 . 如在 例 1 中 ,我 们 关 注 “ 出 现 点 数 不 大 于 4”这 一 事 件 , 当 试 验 出 现 结 果 3 点 时 , 该事 件 发 生 ;而 当 结 果 出 现 5 点 时 , 该 事 件 不 发 生 . 要 判 定 一 个 事 件 是 否 在 一 次 试验 中 发 生 ,必 须 当 该 次 试 验 有 了 结 果 以 后
23、 才 能 知 晓 .称 试 验 的 每 一 个 可 能 结 果 为 样 本 点 ,用 表 示 .它 是 一 个 最 为 基 本 的 元 素 , 如 例 1 中 ,有 6 个 样 本 点 , 它 们 分 别 是 出 现 1 点 到 6 点 这 样 六 个 可 能 结 果 ; 例 2 中有 n + 1 个 样 本 点 , 它 们 分 别 是 : 次 品 数 为 0 件 ,1 件 , , n 件 这 样 n + 1 个 可 能 结 果 .又 称 样 本 点 全 体 为 样 本 空 间 , 记 之 为 .例 6 试 给 出 下 述 随 机 试 验 的 样 本 空 间 :E1: 在 某 交 通 路 口
24、的 某 个 时 段 ,观 察 机 动 车 的 流 量 ;E2: 向 一 个 直 径 为 50 c m 的 靶 子 射 击 , 观 察 弹 着 点 的 位 置 ;E3: 从 含 有 两 件 次 品 a1 , a2 和 三 件 正 品 b1 , b2 , b3 的 产 品 中 , 任 取 两 件 , 观察 出 现 次 品 的 情 况 .解 试 验 E 1 的 可 能 结 果 为 经 过 该 路 口 的 机 动 车 辆 数 ,可 以 为 0,1,2, . 因而 1 = 0,1,2,3, .对 于 E2, 设 弹 着 点 的 坐 标 为 ( x, y), 则 按 题 意 应 满 足 x E2 的 样
25、本 空 间 为+ y 25 ,因 而E3 的 样 本 空 间 为 2 = ( x, y)| x + y 25 . 3 = ( a1 , a2 ),( a1 , b1 ),( a1 , b2 ),( a1 , b3 ),( a2 , b1 ),( a2 , b2 ),( a2 , b3 ),( b1 , b2 ),( b1 , b3 ),( b2 , b3 ).显 然 ,每 次 试 验 有 且 只 有 一 个 含 在 样 本 空 间 中 的 试 验 结 果 发 生 , 事 件 是 由 试 验 的 某 些 可 能 结 果 构 成 , 因 此 事 件 是 样 本 空 间 的 子 集 , 通 常 用
26、大 写 字 母 A, B, C, 等 记 之 . 如 例 1 中 ,记 j =“ 出 现 点 子 j”, j = 1,2, ,6 为 6 个 样 本 点 , 若 事 件 A = 出 现 点 数 不 大 于 4, B = 出 现 偶 数 点 , 则 = 1 , , 6 , A = 1 , , 4 , B = 2 , 4 , 6 . 又 在 例 2 中 , 记 j =“ 抽 到 的 n 件 产 品 中 恰 有 j 件 次 品” , j = 0, 1, , n, 若 事 件 C = 次 品 件 数 不 少 于 3, 则 = 0 , 1 , , n , C = 3 , , n .依 事 件 的 定 义
27、 ,样 本 空 间 本 身 也 是 事 件 ,它 包 含 了 所 有 可 能 的 试 验 结 果 , 2 因此 不 论 在 哪 一 次 试 验 它 都 发 生 , 称 之 为 必 然 事 件 . 而 不 含 任 何 样 本 点 的 空 集 (记 之 为 ), 也 是 样 本 空 间 的 子 集 ,它 在 任 何 一 次 试 验 中 都 不 会 发 生 ,称 之 为 不 可 能 事 件 ,如 例 1 中 掷 出 点 子 为 7 点 是 不 可 能 事 件 .必 然 事 件 和 不 可 能 事 件 是 随 机 事 件 的 特 例 ,尽 管 它 们 本 身 已 无 随 机 性 可 言 , 但 在 概
28、 率 论 中 起 着 重 要 作 用 .第 二 节 事 件 关 系 和 运 算实 际 问 题 中 遇 到 的 随 机 事 件 往 往 是 比 较 复 杂 的 ,在 求 解 相 关 问 题 时 , 其 关 键 的 一 步 是 将 较 复 杂 的 事 件 分 解 成 较 简 单 事 件 的 “组 合” .如例 7 有 两 门 火 炮 同 时 向 一 架 飞 机 射 击 , 考 察 事 件 A = 击 落 飞 机 . 依 常识“ , 击 落 飞 机 ”等 价 于 “击 中 驾 驶 员 ”或 者 “ 同 时 击 中 两 个 发 动 机 ”, 因 此 A 是 一个 较 复 杂 的 事 件 .如 记 Bi
29、 = 击 中 第 i 个 发 动 机 , i = 1,2, C = 击 中 驾 驶 员 , 相对 A 而 言 , B1 , B2 ,及 C 都 较 A 为 简 单 .我 们 的 问 题 是 如 何 建 立 A 与 B1 , B2 , C 之 间 的 联 系 .下 面 先 讨 论 事 件 之 间 的 关 系 ,如 果 事 件 A 发 生 必 导 致 事 件 B 发 生 , 则 称 A 蕴 含 了 B,或 者 说 B 包 含 了 A,记 为 A B.若 A 、 B 互 相 蕴 含 , 即 A B, B A 同 时 成 立 , 则 称 A 与 B 相 等 , 记 作 A = B.例 1(续 ) 若
30、A = 出 现 2 点 , B = 出 现 偶 数 点 , C = 出 现 2 或 4 或 6 点 , 则 A B, B = C.若 事 件 A , B 不 能 在 一 次 试 验 中 同 时 发 生 , 则 称 A , B 互 斥 或 互 不 相 容 . 依定 义 ,两 个 事 件 互 斥 , 当 且 仅 当 它 们 不 含 公 共 的 样 本 点 . 互 斥 事 件 的 一 个 重 要 特例 是 互 为 对 立 事 件 或 补 事 件 ,即 对 任 一 事 件 A, 称 B A 不 发 生 为 A 的 对 立事 件 , 或 A 的 补 事 件 , 且 记 B = A , 易 知 A = A
31、 , 因 此 当 B 为 A 的 补 事 件 时 , A 也 为 B 的 补 事 件 .有 时 也 称 A , B 互 补 .例 3( 续 ) 若 A = 收 盘 指 数 在 1 500 点 以 下 , B = 收 盘 指 数 在 1 500 点 或 以 上 , 则 B = A.我 们 也 可 将 互 斥 关 系 推 广 到 多 个 事 件 , 称 事 件 A1 , A2 , , An 是 两 两 互 斥的 ,如 果 对 任 意 1 i 1 ; 而 当 n = 50 时 , P( B) = 0.97.也 就 是 说 ,2如 有 随 机 产 生 的 50 个 人 聚 在 一 起 , 则 他 们
32、中 至 少 有 2 人 的 生 日 在 同 一 天 的 可 能 性 很 大 .附 录一 、 排 列以 下 陈 述 中 如 非 特 别 指 明 , n, r 都 表 示 正 整 数 .从 n 个 不 同 元 素 中 ,任 取 r 个 ,按 一 定 顺 序 排成 一 列 ,称之 为 排 列 .如要 求 排 列 中 诸 元 素 互 不 相 同, 则 称 其 为 选 排 列 ;反 之 ,若 排 列 中 的 元 素 可 以 有 相 同 时 ,则 称 为 可 重 复 排 列 .自 然 ,对 于 选 排 列 ,还 暗 含 着 要 求 r n.可 重 复 排 列在 生 活中 常 见 ,如 汽车 牌 照 、 电
33、 话号 码 、 证 券代 码 ,等 等 .n 个不 同 元 素 中 任 取 r 个 所有 不 同 的 选 排 列 种 数 ,称 其 为 排 列 数 ,记 之 为 P r .为 导 出 P rn n的 计 算 公 式 ,注 意 到 对 任 一 选 排 列 ,其 第 一 位 (从 左 到 右 计 )可 以 放 置 编 号 1 到 n 的 n 个 元 素 的 任 意 一 个 ,共 有 n 种 可 能 的 结 果 ;对 于 第 一 位 的 每 一 种 放 置 结 果 ,第 二 位 可 以 放 置 剩 下 的 13 nP rP rP rnnP rn - 1 个 元 素 中 的 任 意 一 个 ,共 有
34、n - 1 种 可 能 结 果 ; ,对 于 第 r - 1 位 的 每 一 种 放 置 结 果 , 第 r 位 可 以 放 置 最 后 剩 下 的 n - r + 1 个 元 素 的 任 何 一 个 ,共 有 n - r + 1 种 可 能 结 果 .因 此 , 依 计 数 原 理 ,有当 r = n 时 ,又 称 P nn = n( n - 1) ( n - r + 1). (1)为 全 排 列 数 ,记 之 为 n !.依 (1)有n ! = n( n - 1) 21. (2)我 们 约 定 当 n = 0 时 ,0 ! = 1.n 也 可 用 全 排 列 数 表 示, 容 易 从( 1
35、)直 接 得 到n ! n = . (3)( n - r) !下 面 计 算 所 有 不 同 的 可 重 复 排 列 种 数 ,仿 照 (1)式 的 推 理 ,排 列 的 第 一 位 的 放 置 有 n 种 可 能 结 果 .由 于 可 重 复 性 ,当 1 i r - 1,对 于 第 i 位 的 每 一 种 放 置 结 果 ,第 i + 1 位 仍 然 可放 置 全 部 n 个 元 素 的 任 何 一 个 ,因 而 仍 然 有 n 种 可 能 结 果 .依 计 数 原 理 可 得 可 重 复 排 列 种 数 为n n = nr . (4)r例 1 某 城 市 的 电 话 号 码 是 六 位
36、,假 定 一 个 用 户 只 给 一 个 号 码 ,问 一 共 可 容 纳 多 少 电 话 用 户 ? 号 码 的 末 位 数 是 8 的 用 户 是 多 少 ?解 (i) 因 电 话 号 码 可 以 重 复 ,但 注 意 到 第 一 位 不 能 取 0,因 而 第 一 位 只 能 取 1 到 9 这 九 个 数 中 的 一 个 ;其 余 5 位 可 从 0 到 9 这 十 个 数 字 中 任 取 .使 用 公 式 (4)即 有 9104 种 可 能 ,得到 该 城 市 可 容 纳 9105 ,即 九 十 万 个 电 话 用 户 .(i) 末 位 数 是 8 的 号 码 可 如 下 产 生 :
37、前 五 位 的 计 算 同(i ),而 第 6 位 只 有 取 8 这 一 种 结 果 .于 是 由 计 数 原 理 可 知 ,末 位 数 是 8 的 电 话 用 户 数 为 9104 ,即 九 万 .二 、 组 合从 n 个 不 同 元 素 中 任 取 r(1 r n)个 不 同 元 素 ,不 考 虑 次 序 将 它 们 归 并 成 一 组 ,称 之n为 组 合. 所 有 不 同 的组 合 种 数 记 为n或 C r .r为 导 出 组 合 数 的 计 算 公 式 ,可 以 考 虑 选 排 列 数 P rr 的 另 一 种 算 法 .为 实 现 一 个 排 列 ,可 以 分 两 步 走 :先
38、 从 n 个 元 素 中 任 取 r 个 不 同 元 素 归 并 成 一 个 组 合 ;然 后 ,将 该 组 合 中 的 rn个 元 素 进 行 全 排 列 .第 一 步 有r可 能 结 果 .于 是 ,依 计 数 原 理 有个 可 能 结 果 ,对 第 一 步 产 生 的 每 一 个 组 合 ,第 二 步 有 r ! 个n由 此 即 可 得 到 组 合 数 的 计 算 公 式 :nn = r !, rP r= n n ! . (5) 14 r r ! = r ! ( n - r) !n依 前 面 的 约 定 0 ! = 1,因 而 当 r = 0 时 ,0 = 1.又 从 组 合 的 定 义
39、 可 知 :每 一 个 从 n 个 元 素 取r 个 的 组 合 ,其 余 下 的 n - r 个 元 素 也 构 成 一 个 组 合 ;反 之 亦 然 ,因 而 从 n 个 元 素 取 r 个 的 组 合 与 从 n 个 元 素 取 n - r 个 的 组 合 ,构 成 一 一 对 应 .所 以 有n n=r n - r . (6)例 2 某 生 物 物 种 ,假 设 两 个 个 体 杂 交 后 产 生 一 个 下 一 代 个 体 .两 个 个 体 按 其 基 因 是 否 匹 配 ,称 之 为 配 对 的 和 不 配 对 的 .由 该 物 种 遗 传 理 论 ,两 个 不 配 对 个 体 杂
40、 交 后 的 下 一 代 优 于 配 对 个 体 .今 在 该 物 种 的 8 个 样 本 之 间 进 行 杂 交 ,若 已 知 这 8 个 样 本 中 恰 有 四 对 配 对 个 体 ,问 下 一 代 中有 几 个 优 良 个 体 ?解 欲 杂 交 后 产 生 一 个 优 良 个 体 ,必 须 由 两 个 不 配 对 的 个 体 进 行 杂 交 .因 此 产 生 优 良 个 体 的 上 一 代 两 个 杂 交 个 体 必 须 且 只 须 如 下 方 式 得 到 :从 4 对 配 对 个 体 中 任 取 2 对 ;然 后 每 对任 取 一 个 .从 4 对 中 取 2 对 的 可 能 结 果
41、有 因 此 下 一 代 一 共 有4种 ;而 对 每 取 定 的 2 对 任 取 一 个 的 可 能 结 果 有 22 种 .24个 优 良 个 体 .22 = 242习 题 二1. 从 一批 由 45 件 正 品 、 5 件 次 品 组 成 的 产 品 中任 取 3 件 产 品 ,求 其 中 恰 有 1 件次 品 的 概率 .2. 一 口 袋 中 有 5 个 红 球 及 2 个 白 球 .从 这 袋 中 任 取 一 球 ,看 过 它 的 颜 色 后 放 回 袋 中 ,然后 ,再 从 这 袋 中 任 取 一 球 .设 每 次 取 球 时 口 袋 中 各 个 球 被 取 到 的 可 能 性 相
42、同 .求 (1) 第 一 次 、 第 二 次 都 取 到 红 球 的概 率 ;(2) 第 一 次 取 到 红 球、 第 二 次 取 到白 球 的 概 率 ;(3) 二 次 取 得 的 球 为红 、 白 各 一 的概 率 ;(4) 第 二 次 取 到 红 球 的 概 率 .3. 一 个 口 袋 中 装 有 6 只 球 ,分 别 编 上 号 码 1 至 6,随 机 地 从 这 个 口 袋 中 取 2 只 球 ,试 求 :(1) 最 小 号 码 是 3 的 概 率 ; (2) 最 大 号 码 是 3 的 概 率 .4. 一 个 盒 子 中 装 有 6 只 晶 体 管 ,其 中 有 2 只 是 不 合
43、 格 品 ,现 在 作 不 放 回 抽 样 ;接 连 取 2 次 ,每 次 随 机 地 取 1 只 ,试 求 下 列 事 件 的 概 率 :(1) 2 只 都 是 合 格 品 ;(2) 1 只 是 合 格 品 ,1 只 是 不 合 格 品 ;(3) 至 少 有 1 只 是 合 格 品 .5. 掷 两 颗 骰 子 ,求 下 列 事 件 的 概 率 : 15 (1) 点 数 之 和 为 7; (2) 点 数 之 和 不 超 过 5; (3) 点 数 之 和 为 偶 数 .6. 把 甲 、 乙 、 丙 三 名 学 生随 机 地 分 配 到 5 间 空 置 的 宿 舍 中 去 ,假 设 每 间 宿 舍
44、 最 多 可 住 8 人 ,试 求 这 三 名 学 生 住 在 不 同 宿 舍 的 概 率 .7. 总 经 理 的 五 位 秘 书 中 有 两 位 精 通 英 语 ,今 偶 遇 其 中 的 三 位 秘 书 ,求 下 列 事 件 的 概 率 :(1) 事 件 A“其 中 恰 有一 位 精 通 英 语 ”;(2) 事 件 B“其 中 恰 有 二位 精 通 英 语 ”;(3) 事 件 C“其 中 有 人 精 通英 语 ”.8. 设 一 质 点 一 定 落 在 x Oy 平 面 内 由 x 轴 、 y 轴 及 直 线 x + y = 1 所 围 成 的 三 角 形 内 ,而 落 在 这 三 角 形 内
45、 各 点 处 的 可 能 性 相 等 ,即 落 在 这 三 角 形 内 任 何 区 域 上 的 可 能 性 与 这 区 域 的 面 积成 比 例 ,计 算 这 质 点 落 在 直 线 x = 1 的 左 边 的 概 率 .39. 甲 、 乙 两 艘 轮 船 都要 在 某 个 泊 位 停 靠 6 h,假 定 它 们 在 一 昼 夜 的 时 间 段 中 随 机 地 到 达 , 试 求 这 两 艘 船 中 至 少 有 一 艘 在 停 靠 泊 位 时 必 须 等 待 的 概 率 .10. 已 知 A B, P( A) = 0.4, P( B) = 0.6,求(1) P( A ), P( B); (2)
46、 P( A B); (3) P( A B); (4) P( B A), P( A B); (5) P( A B). 11. 设 A, B 是 两 个 事 件, 已 知 P ( A ) = 0. 5, P ( B) = 0. 7, P ( A B ) = 0. 8, 试 求P( A - B)与 P( B - A). 16 第 三 章 条 件 概 率 与 事 件 的 独 立 性第 一 节 条 件 概 率在 实 际 问 题 中 常 常 需 要 考 虑 在 固 定 试 验 条 件 下 , 外 加 某 些 条 件 时 随 机 事 件发 生 的 概 率 .例 如 在 信 号 传 输 中 , 往 往 关 心
47、 的 是 接 收 到 某 个 信 号 条 件 下 发 出 的 也 是 该 信 号 的 概 率 有 多 大 ? 在 人 寿 保 险 中 , 关 心 的 是 人 群 中 已 知 活 到 某 个 年 龄 的条 件 下 在 未 来 的 一 年 内 死 亡 的 概 率 ,等 等 .一 般 地 ,设 A, B 两 个 事 件 , P( A ) 0,称 已 知 A 发 生 条 件 下 B 发 生 的 概 率为 B 的 条 件 概 率 ,记 为 P( B| A ).例 1 设 有 两 个 口 袋 ,第 一 个 口 袋 装 有 3 个 黑 球 、 2 个 白 球 ; 第 二 个 口 袋 装 有 2 个 黑 球
48、和 4 个 白 球 .今 从 第 一 个 口 袋 任 取 一 球 放 到 第 二 个 口 袋 , 再 从 第 二 个 口袋 任 取 一 球 ,求 已 知 从 第 一 个 口 袋 取 出 的 是 白 球 条 件 下 从 第 二 个 口 袋 取 出 白 球的 条 件 概 率 .记 A = 从 第 一 个 口 袋 取 出 白 球 , B = 从 第 二 个 口 袋 取 出 白 球 要 求 条 件 概 率 P( B| A).注 意 到 在 A 发 生 条 件 下 , 第 二 个 口 袋 中 有 5 个 白 球 2 个 黑 球 ,因 此 一 共 有 7 个 样 本 点 , 而 有 利 于 事 件 B 的 有 5 个 ,由 古 典 概 型 的概 率 计 算 公 式 ,直 接 可 得P( B| A) = 5 .7此处 计 算 可 以 如 此 简 单 , 在 于 加 上 “ A 已 发 生 ”条 件 后 , 新 的 样 本 空 间 非 常 简 单 明 了 ,一 切 计 算 都 在 新 的 样 本 空 间 中 进 行 .上 例 的 方 法 并 不 是 普 遍 适 用 ,为 导 出 一 般 情 况 下 都 能 适 用 的 条 件 概 率 计 算公 式 ,我 们 仍 然 回 到 例 1, 考 虑 原 来 样 本 空 间 的 计 算 . 此 时 从 两 个 口 袋 取 球 ,看 成一 次
