1、 习题一解答 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 A ： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件 两次出现的面相同A ； (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件 A 一分钟内呼叫次数不超过 3 次 ； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件 A 寿命在 2000 到 2500 小时之间 。 解 (1) ),(),(),(),( ， ),(),( A . (2) 记 X 为一分钟内接到的呼叫次数，则 ,2,1,0| kkX ， 3,2,1,0| kkXA . (3) 记 X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则 ),0( X ， )2 5 0 0,
2、2 0 0 0( XA . 2. 袋中有 10个球，分别编有号码 1 至 10，从中任取 1 球，设 A 取得球的号码是偶数 ， B 取得球的号码是奇数 ， C 取得球的号码小于 5，问下列运算表示什么事件： (1) BA ； (2)AB ； (3)AC ； (4)AC ； (5) CA ； (6) CB ； (7) CA . 解 (1) BA 是必然事件； (2) AB 是不可能事件； (3) AC 取得球的号码 是 2， 4； (4) AC 取得球的号码是 1， 3， 5， 6， 7， 8， 9， 10； (5) CA 取得球的号码为奇数，且不小于 5 取得球的号码为 5， 7， 9； (
3、6) CBCB 取得球的号码是不小于 5 的偶数 取得球的号码为 6， 8， 10； (7) CACA 取得球的号码是不小于 5 的偶数 =取得球的号码为 6， 8， 10 3. 在区间 2,0 上任取一数，记 121 xxA， 2341 xxB，求下列事件的表达式：(1) BA ； (2) BA ； (3) BA ； (4) BA . 解 (1) 2341 xxBA ; (2) BxxxBA 21210 或 2312141 xxxx ; (3) 因为 BA ，所以 BA ； (4) 223410 xxxABA 或 223121410 xxxx 或或4. 用事件 CBA ,的运算关系式表示下列
4、事件： (1) A 出现， CB, 都不出现（记为 1E ）； (2) BA, 都出现， C 不出现（记为 2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为 3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为 4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为 5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为 6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为 7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为 8E ）。 解 (1) CBAE 1 ； (2) CABE 2 ； (3) ABCE 3 ； (4) CBAE 4 ； (5) CBAE 5 ； (6) CBACBACBACBAE 6 ； (7) CBAA
5、B CE 7 ； (8) BCACABE 8 . 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设 iA 表示事件“第 i 次抽到废品”， 3,2,1i ，试用 iA 表示下列事件： (1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品； (4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。 解 (1) 21 AA ； (2) 321 AAA ； (3) 321 AAA ； (4) 321 AAA ； (5) 321321321 AAAAAAAAA . 6. 接连进行三次射击，设 iA =第 i 次射击命中 ， 3,2,1
6、i ， B 三次射击恰好命中二次 ，C 三次射击至少命中二次 ；试用 iA 表示 B 和 C 。 解 321321321 AAAAAAAAAB 323121 AAAAAAC 习题二解答 1 从一批由 45 件正品、 5 件次品组成的产品中任取 3 件产品，求其中恰有 1 件次品的概率。 解 这是不放回抽取，样本点总数 350n，记求概率的事件为 A ，则有利于 A 的样本点数 15245k . 于是 3 9 299!2484950!35444535015245)( nkAP 2 一口袋中有 5 个红球及 2 个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球
7、时袋中各个球被取到的可能性相同。求 (1) 第一次、第二次都取到红球的概率； (2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。 解 本题是有放回抽取模式，样本点总数 27n . 记 (1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为DCBA , . ( )有利于 A 的样本点数 25Ak ，故 492575)(2 AP( ) 有利于 B 的样本点数 25Bk ，故 49107 25)(2 BP( ) 有利于 C 的样本点数 252 Ck ，故 4920)( CP ( ) 有利于 D 的样本点数 57Dk ，故 7549357 5
8、7)(2 DP. 3 一个口袋中装有 6 只球，分别编上号码 1 至 6，随机地从这个口袋中取 2 只球，试求： (1) 最小号码是 3 的概率； (2) 最大号码是 3 的概率。 解 本题是无放回模式，样本点总数 56n . ( ) 最小号码为 3，只能从编号为 3， 4， 5， 6 这四个球中取 2 只，且有一次抽到 3，因而有利样本点数为 32 ，所求概率为 5156 32 . ( ) 最大号码为 3，只能从 1， 2， 3 号球中取，且有一次取到 3，于是有利样本点数为 22 ，所求概率为 15256 22 . 4 一个盒子中装有 6 只晶体管，其中有 2 只是不合格品，现在作不放回抽
9、样，接连取 2 次，每次取 1 只，试求下列事件的概率： (1) 2 只都合格； (2) 1 只合格， 1 只不合格； (3) 至少有 1 只合格。 解 分别记题 (1)、 (2)、 (3)涉及的事件为 CBA , ，则 522562342624)( AP 15856224261214)( BP 注意到 BAC ，且 A 与 B 互斥，因而由概率的可加性知 151415852)()()( BPAPCP 5 掷两颗骰子，求下列事件的概率： (1) 点数之和为 7； (2) 点数之和不超过 5； (3) 点数之和为偶数。 解 分别记题 (1)、 (2)、 (3)的事件为 CBA , ,样本点总数
10、26n ( )A 含样本点 )2,5(),5,2( ,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3) 6166)( 2 AP ( )B 含样本点 (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) 185610)(2 BP( ) C 含样本点 (1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共 18 个样本点。 213618)( CP 6 把甲、乙、丙三名
11、学生随机地分配到 5 间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住 8 人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。 解 记求概率的事件为 A ，样本点总数为 35 ，而有利 A 的样本点数为 345 ，所以 25125 345)( 3 AP . 7 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶 遇其中的三位，求下列事件的概率： (1) 事件 A ：“其中恰有一位精通英语”； (2) 事件 B ：“其中恰有二位精通英语”； (3) 事件 C ：“其中有人精通英语”。 解 样本点总数为 35(1) 53106345 !332352312)( AP ； (2) 103345 !33351322)( BP ； (3)
12、因 BAC ，且 A 与 B 互斥，因而 10910353)()()( BPAPCP . 8 设一质点一定落在 xOy 平面内由 x 轴、 y 轴及直线 1yx 所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线 3/1x 的左边的概率。 解 记求概率的事件为 A ，则 AS 为图中阴影部分，而 2/1| ， 1859521322121|2 AS最后由几何概型的概率计算公式可得 952/1 18/5| |)( ASAP. 9 （见前面问答题 2. 3） 10 已知 BA ， 4.0)( AP ， 6.0)( BP ，求 (1) )(AP , )(BP ； (2) )( B
13、AP ； (3) )(ABP ； (4) )(),( BAPABP ； (5) )( BAP . 解 (1) 6.04.01)(1)( APAP ， 4.06.01)(1)( BPBP ； (2) 6.0)()()()()()()()( BPAPBPAPABPBPAPBAP ； (3) 4.0)()( APABP ； (4) 0)()()( PBAPABP , 4.06.01)(1)()( BAPBAPBAP ; (5) .2.04.06.0)()( ABPBAP 11 设 BA, 是两个事件，已知 5.0)( AP ， 7.0)( BP ， 8.0)( BAP ，试求 )( BAP 及 ).
14、( ABP 解 注意到 )()()()( ABPBPAPBAP ，因而 )()( BPAPABP )( BAP 4.08.07.05.0 . 于是， )()()()( ABPAPABAPBAP 1.04.05.0 ；3.04.07.0)()()()( ABPBPABBPABP . 习题三解答 1 已知随机事件 A 的概率 5.0)( AP ，随机事件 B 的概率 6.0)( BP ，条件概率 8.0)|( ABP ，试求 )(ABP 及 )( BAP . 解 4.08.05.0)|()()( ABPAPABP y x O 1/3 1 1 AS h 图 2.3 )()()(1)(1)()( AB
15、PBPAPBAPBAPBAP 3.04.06.05.01 2 一批零件共 100 个，次品率为 10%，从 中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。 解 107899899 819899100 90910 p . 3 某人有一笔资金，他投入基金的概率为 0.58，购买股票的概率为 0.28，两项投资都做的概率为 0.19 (1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？ 解 记 A 基金 ， B 股票 ，则 19.0)(,28.0)(,58.0)( ABPBPAP (1) .3 2 7.058.0 19.0)( )()|(
16、AP ABPABP(2) 6 7 8.028.0 19.0)( )()|( BP ABPBAP. 4 给定 5.0)( AP ， 3.0)( BP ， 15.0)( ABP ，验证下面四个等式： ),()|(),()|( APBAPAPBAP )()|( BPABP ， ).(|( BPABP 解 )(213.0 15.0)( )()|( APBP ABPBAP )(5.07.0 35.07.0 15.05.0)(1 )()()( )()|( APBP ABPAPBP BAPBAP )(3.05.0 15.0)( )()|( BPAP ABPABP )(5.0 15.05.0 15.03.0)
17、(1 )()()( )()|( BPAP ABPBPAP BAPABP 5 有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为 0.3， 0.2， 0.1， 0.4，若坐火车，迟到的概率是 0.25，若坐船，迟到的概率是 0.3，若坐汽车，迟到的概率是 0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。 解 B 迟到 ， 1A 坐火车 ， 2A 坐船 ， 3A 坐汽车 ， 4A 乘飞机 ，则 41i iBAB，且按题意 25.0)|( 1 ABP ， 3.0)|( 2 ABP ， 1.0)|( 3 ABP ， 0)|( 4 ABP . 由全概率公式有： 4 1 1 4 5.01.01.03.
18、02.025.03.0)|()()( i ii ABPAPBP 6 已知甲袋中有 6 只红球， 4 只白球；乙袋中有 8 只红球， 6 只白球。求下列事件的概率： (1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。 解 (1) 记 B 该球是红球 ， 1A 取自甲袋 ， 2A 取自乙袋 ，已知 10/6)|( 1 ABP ，14/8)|( 2 ABP ，所以 70411482110621)|()()|()()( 2211 ABPAPABPAPBP (2) 1272414)( BP 7某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量
19、分别占全厂的 25%， 35%，40%，各车间产品的次品率分别为 5%， 4%， 2%，求该厂产品的次品率。 解 02.04.004.035.005.025.0 %45.30345.0008.00140.00125.0 8 发报台分别以概率 0.6， 0.4 发出 “ 和 “ ，由于通信受到干扰，当发出 “ 时，分别 以概率 0.8 和 0.2 收到 “ 和 “ ，同样，当发出信号 “ 时，分别以 0.9 和 0.1 的概率收到 “ 和 “ 。求 (1) 收到信号 “ 的概率； (2) 当收到 “ 时，发出 “ 的概率。 解 记 B 收到信号 “ ， A 发出信号 “ (1) )|()()|(
20、)()( ABPAPABPAPBP 52.004.048.01.04.08.06.0 (2) 131252.0 8.06.0)( )|()()|( BP ABPAPBAP. 9 设某工厂有 CBA , 三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的 25%， 35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为 5%， 4%， 2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间 CBA , 生产的概率。 解 为方便计，记事件 CBA , 为 CBA , 车间生产的产品，事件 D 次品 ，因此 )|()()|()()|()()( CDPCPBDPBPADPAPDP 02.04.004.
21、035.005.025.0 0 3 4 5.00 0 8.00 1 4.00 1 2 5.0 362.00 3 4 5.0 05.025.0)( )|()()|( DP ADPAPDAP 4 0 6.00 3 4 5.0 04.035.0)( )|()()|( DP BDPBPDBP 2 3 2.00 3 4 5.0 02.04.0)( )|()()|( DP CDPCPDCP 10 设 A 与 B 独立，且 qBPpAP )(,)( ，求下列事件的概率： )( BAP ， )( BAP ， )( BAP . 解 pqqpBPAPBPAPBAP )()()()()( pqqqpqpBPAPBP
22、APBAP 1)1(1)()()()()( pqBPAPABPBAP 1)()(1)()( 11 已知 BA, 独立，且 )()(,9/1)( BAPBAPBAP ，求 )(),( BPAP . 解 因 )()( BAPBAP ，由独立性有 )()()()( BPAPBPAP 从而 )()()()()()( BPAPBPBPAPAP 导致 )()( BAP 再由 9/1)( BAP ，有 2)(1()(1)(1()()(9/1 APBPAPBPAP 所以 3/1)(1 AP 。最后得到 .3/2)()( APBP 12 甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为 1/3， 1/
23、2， 2/3，求目标被命中的概率。 解 记 B 命中目标 ， 1A 甲命中 ， 2A 乙命中 ， 3A 丙命中 ，则 31i iAB，因而 .989113121321)()()(11)( 32131 APAPAPAPBP i i13设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为 p ，求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。 解 记 A 通达 ， iA 元件 i 通达 ， 6,5,4,3,2,1i 则 654321 AAAAAAA ， 所以 )()()()( 654321 AAPAAPAAPAP )()()()( 654321652165434321 A
24、AAAAAPAAAAPAAAAPAAAAP 642 )1()1(3)1(3 ppp 14假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生 3 次故障的概率。 解 0 5 1 2.0)8.0()2.0(35 23 p. 15灯泡耐用时间在 1000 小时以上的概率为 0.2， 求三个灯泡在使用 1000 小时以后最多只有一个坏了的概率。 解 1 0 4.00 9 6.00 0 8.0)2.0(8.023)2.0(33 23 p. 16设在三次独立试验中，事件 A 出现的概率相等，若已知 A 至少出现一次
25、的概率等于 19/27，求事件 A 在每次试验中出现的概率 )(AP . 解 记 iA A 在第 i 次试验中出现 ， .3,2,1i )(APp 依假设 332131 )1(1)(12719 pAAAPAPi i 所以， 278)1( 3 p ， 此即 3/1p . 17加工一零件共需经过 3 道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 2%、 3%、 5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。 解 注意到，加工零件为次品 ，当且仅当 1-3 道工序中至少有一道出现次品。记 iA 第 i 道工序为次品 ， .3,2,1i 则次品率 0 9 7.09 0 3 0 7.0195
26、.097.098.01)()()(1 3213 1 APAPAPAPp i i 18三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为 0.25， 0.35， 0.4. 求此密码被译出的概率。 解 记 A 译出密码 ， iA 第 i 人译出 ， .3,2,1i 则 7 0 7 5.02 9 2 5.016.065.075.01)()()(1)( 32131APAPAPAPAPii 19 将一枚均匀硬币连续独立抛掷 10 次，恰有 5 次出现正面的概率是多少？有 4 次至 6 次出现正面的概率是多少？ 解 (1) 256632151010 ； (2) 1064 2110 k k. 20某宾馆大楼有
27、 4 部电梯，通过调查，知道在某时刻 T ，各电梯正在运行的概率均为 0.75，求： 图 3.1 1 2 3 4 5 6 (1) 在此时刻至少有 1 台电梯在运行的概率； (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。 解 (1) 2 5 62 5 5)25.0(1)75.01(1 44 (2) 1 2 82741436)25.0()75.0(242222 (3) 2 5 68143)75.0(44 习题四解答 1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。 （ 1） 5,4,3,2,1,0,15 iipi； （ 2） 3,2,1,0,65
28、2 iipi； （ 3） 5,4,3,2,41 ipi； （ 4） 5,4,3,2,1,25 1 iipi。 解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证 ip 是否满足下列二个条件：其一条件为 ,2,1,0 ipi ，其二条件为 1i ip。 依据上面的说明可得（ 1）中的数列为随机变量的分布律；（ 2）中的数列不是随机变量的分布律，因为 0646 953 p；（ 3）中的数列为随机变量的分布律 ；（ 4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为 51 12520i ip。 2. 试确定常数 c ，使 4,3,2,1,0,2 iciXPi成为某个随机变量 X 的分布律，并求： 2
29、XP ； 2521 XP 。 解 要使ic2成为某个随机变量的分布律，必须有 1240 i ic，由此解得 3116c ； （ 2） 2102 XPXPXPXP 3128412113116 （ 3） 212521 XPXPXP 311241213116 。 3. 一口袋中有 6 个球，在这 6 个球上分别标有 -3， -3， 1， 1， 1， 2 这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字 X 的分布律与分布函数。 解 X 可能取的值为 -3， 1， 2，且 612,211,313 XPXPXP ，即 X 的分布律为 X -3 1 2 概率 31 21 6
30、1 X 的分布函数 0 3x xXPxF = 31 13 x 65 21 x 1 2x 4. 一袋中有 5 个乒乓球，编号分别为 1， 2， 3， 4， 5，从中随机地取 3 个，以 X 表示取出的 3个球中最大号码，写出 X 的分布律和分布函数。 解 依题意 X 可能取到的值为 3， 4， 5，事件 3X 表示随机取出的 3 个球的最大号码为 3，则另两个球的只能 为 1 号， 2 号，即 1013513 XP ；事件 4X 表示随机取出的 3 个球的最大号码为 4，因此另外 2 个球可在 1、 2、 3 号球中任选，此时 103352314 XP ；同理可得 106352415 XP 。
31、X 的分布律为 X 3 4 5 概率 101 103 106 X 的分布函数为 0 3x xF 10143 x 104 54 x 1 5x 5. 在相同条件下独立地进行 5 次射击，每次射击时击中目标的概率为 0.6，求击中目标的次数 X的分布律。 解 依题意 X 服从参数 6.0,5 pn 的二项分布，因此，其分布律 5,1,0,4.06.05 5 kkkXP kk， 具体计算后可得 X 0 1 2 3 4 5 概率 312532 62548 62514 625216 625162 3125243 6. 从一批含有 10 件正品及 3 件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽
32、到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数 X 的分布律。 （ 1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （ 2） 每次取出的产品都不放回这批产品中； （ 3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。 解 （ 1）设事件 ,2,1, iAi 表示第 i 次抽到的产品为正品，依题意， ,1 nAA 相互独立，且 ,2,1,1310 iAP i 而 ,2,1,1310133 11111 kAPAPAPAAAPkXP kkkkk 即 X 服从参数1310p的几何分布。 （ 2）由于每次取出的产品不再放回，因此， X 可能取到的值为 1， 2， 3， 4， .2 8
33、 6110111213 101234,1 4 35111213 10233,2651213 1032,13101 XPXPXPXP X 的分布律为 X 1 2 3 4 概率 1310 265 1435 2861 （ 3） X 可能取到的值为 1， 2， 3， 4， .2 1 9 76131313 1234,2 1 9 772131313 12233,169331313 1132,13101 XPXPXPXP 所求 X 的分布律为 X 1 2 3 4 概率 1310 16933 219772 21976 由于三种抽样方式不同，导致 X 的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。 7. 设随机变量
34、 pBX ,6 ，已知 51 XPXP ，求 p 与 2XP 的值。 解 由于 pBX ,6 ，因此 6,1,0,166 6 kppkXP kk。 由此可算得 ,165,161 55 ppXPppXP 即 ,1616 55 pppp 解得 21p ； 此时， 641521!2 5621212626262 XP 。 8. 掷一枚均匀的硬币 4 次，设随机变量 X 表示出现国徽的次数，求 X 的分布函数。 解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为 21 ，因此 X 服从 21,4 pn 的二项分布，即 4,3,2,1,0,21214 4 kkkXP kk 由此可得 X 的分布函数 0， 0x
35、161 ， 10 x xF 165 ， 21 x 1611， 32 x 1615， 43 x 1， 4x 9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量 X 服从参数 4 的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以 99%的概率充分满足顾客的需要？ 解 设至少要进 n 件物品，由题意 n 应满足 ,99.0,99.01 nXPnXP 即 99.0!41 10 4 nk k eknXP 99.0!40 4 nk k eknXP 查泊松分布表可求得 9n 。 10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为 0.0001，在某天该段时间内有 1000 辆汽车通过，求事故
36、次数不少于 2 的概率。 解 设 X 为 1000 辆汽车中出事故的次数，依题意， X 服从 0 0 0 1.0,1 0 0 0 pn 的二项分布，即 0001.0,1000 BX ，由于 n 较大， p 较小，因此也可以近似地认为 X 服从 1.00 0 0 1.01 0 0 0 np 的泊松分布，即 1.0PX ，所求概率为 .0 0 4 6 7 9.00 9 0 4 8 4.09 0 4 8 3 7.01!11.0!01.0110121.011.00 eeXPXPXP11. 某试验的成功概率为 0.75，失败概率为 0.25，若以 X 表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出 X 的
37、分布律。 解 设事件 iA 表示第 i 次试验成功，则 75.0iAP ，且 ,1 nAA 相互独立。随机变量 X 取 k 意味着前 1k 次试验未成功，但第 k 次试验成功，因此有 75.025.0 11111 kkkkk APAPAPAAAPkXP 所求的分布律为 X 1 2 k 概率 0.75 75.025.0 75.025.0 1 k 12. 设随机变量 X 的密度函数为 xf x2 ， Ax0 0， 其他， 试求：（ 1）常数 A ；（ 2） X 的分布函数。 解 （ 1） xf 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为 0xf ；其二为 1dxxf ，因此有 A xdx0
38、 12 ，解得 1A ，其中 1A 舍去，即取 1A 。 （ 2）分布函数 x dxxfxXPxF = xxxdxxdxdxxdxdxdx10 10000202001100xxx = 102x 1100xxx 13. 设随机变量 X 的密度函数为 xAexf x , ，求：（ 1）系数 A ；（ 2） 10 XP ；（ 3）X 的分布函数。 解 （ 1）系数 A 必须满足 1dxAe x ，由于 xe 为偶函数，所以 122 0 0 dxAedxAedxAe xxx 解得21A； （ 2） 11010 121212110 edxedxeXP xx； （ 3） x dxxfxF = x xxx
39、xdxedxedxe0021212100xx = x xxx xdxedxedxe0021212100xx = xxee 121212100xx = xxee2112100xx 14. 证明：函数 xf 022cxecx 00xx （ c 为正的常数） 为某个随机变量 X 的密度函数。 证 由于 0xf ，且 12 0220 22222 cxcxcx ecxdedxecxdxxf ， 因此 xf 满足密度函数的二个条件，由此可得 xf 为某个随机变量的密度函数。 15. 求出与密度函数 xf 025.05.0 xe 2200xxx 对应的分布函数 xF 的表达式。 解 当 0x 时， x xxx edxedxxfxF 5.05.0 当 20 x 时， 0 0 25.05.025.05.0 xdxdxedxxfxF xxx 当 2x 时， 15.05.0025.05.00 220 xx dxdxdxexF 综合有 xF ,1,25.05.0,5.0xex .2;20;0xxx 16. 设随机变量 X 在 6,1 上服从均匀分布，求方程 012 Xtt 有实根的概率。 解 X 的密度函数为 xf ,51 61 x ； ,0 其他 . 方程 012 Xtt 有实根的充分必要条件为 042 X ，即 42X ，因此所求得概率为 622 54
