1、实验三 用 FFT 对信号进行频谱分析一 实验目的1 能够熟练掌握快速离散傅立叶变换的原理及应用 FFT 进行频谱分析的基本方法；2 了解用 FFT 进行频谱分析可能出现的分析误差及其原因；二 实验原理1.用 DFT 对非周期序列进行谱分析单位圆上的 Z 变换就是序列的傅里叶变换，即（3-1 ）()(jjzeXe是 的连续周期函数。对序列 进行 N 点 DFT 得到 ，则 是在区间()jXexn()Xk()上对 的 N 点等间隔采样，频谱分辨率就是采样间隔 。因此序列的傅里0,2()j 2N叶变换可利用 DFT（即 FFT）来计算。用 FFT 对序列进行谱分析的误差主要来自于用 FFT 作频谱
2、分析时，得到的是离散谱，而非周期序列的频谱是连续谱，只有当 N 较大时，离散谱的包络才能逼近连续谱，因此 N要适当选择大一些。2.用 DFT 对周期序列进行谱分析已知周期为 N 的离散序列 ，它的离散傅里叶级数 DFS 分别由式（3-2）和（3-3）)(nx给出：DFS： ， n=0,1,2,N-1 （3-2 ）102)(NnknNjkexaIDFS： ， n=0,1,2,N-1 （3-3 ）102)(kknj对于长度为 N 的有限长序列 x(n)的 DFT 对表达式分别由式（ 3-4）和（3-5）给出：DFT： ， n=0,1,2,N-1 （3-4 ）102NnknNjekXIDFT： ，
3、n=0,1,2,N-1 （3-5 ）102)()(kknjxFFT 为离散傅里叶变换 DFT 的快速算法，对于周期为 N 的离散序列 x(n)的频谱分析便可由式（3-6）和（3-7）给出：DTFS： （3-6 ）1*()kaftxnNIDTFS： （3-7 ）()kxnia周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作 FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。3. 用 DFT 对模拟周期信号进行谱分析对模拟信号进行谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。对于模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经采样后形成周期序列，按照周期序列的谱分析进行。如果不知道信号的周期，可以尽量选
4、择信号的观察时间长一些。三 实验内容1. 对以下序列进行谱分析： 14()xnR203()87thers3403()7nxthers选择 FFT 的变换区间 N 为 8 和 16 两种情况进行频谱分析。分别打印其幅频特性曲线，并进行对比、分析和讨论。2. 对以下周期序列进行谱分析： 4()cos)xn5(8n选择 FFT 的变换区间 N 为 8 和 16 两种情况进行频谱分析。分别打印其幅频特性曲线，并进行对比、分析和讨论。3. 对模拟周期信号进行谱分析： 6()cos8)s(16)cos(20)xtttt选择采样频率 ，对变换区间 N 分别取 16、32、64 三种情况进行谱分析。64sFH
5、z分别打印其幅频特性曲线，并进行对比、分析和讨论。四 思考题1. 对于周期序列，如果周期不知道，如何用 FFT 进行谱分析？2. 如何选择 FFT 的变换区间？（包括非周期信号和周期信号）3. 当 N=8 时， 和 的幅频特性会相同吗？为什么？N=16 呢？2()xn3五 实验报告及要求1. 完成各个实验任务和要求，附上程序清单和有关曲线。2. 简要回答思考题。程序代码：%用 FFT 对信号作频谱分析clear all;close all;%实验（1）x1n=ones(1,4); %产生序列向量 R4(n)M=8;xa=1:(M/2);xb=(M/2):-1:1;x2n=xa,xb; %产生长
6、度为 8 的三角波序列 x2(n)、x3(n)x3n=xb,xa;X1k8=fft(x1n,8); %计算 x1n 的 8 点 DFTX1k16=fft(x1n,16); %计算 x1n 的 16 点 DFTX2k8=fft(x2n,8); %计算 x2n 的 8 点 DFTX2k16=fft(x2n,16); %计算 x2n 的 16 点 DFTX3k8=fft(x3n,8); %计算 x3n 的 8 点 DFTX3k16=fft(x3n,16); %计算 x3n 的 16 点 DFT%幅频特性曲线N=8;wk=2/N*(0:N-1);subplot(3,2,1);stem(wk,abs(X
7、1k8),.); %绘制 8 点 DFT 的幅频特性图title(1a) 8 点 DFTx_1(n);xlabel(/);ylabel(幅度);subplot(3,2,3);stem(wk,abs(X2k8),.); title(2a) 8 点 DFTx_1(n);xlabel(/);ylabel(幅度);subplot(3,2,5);stem(wk,abs(X3k8),.);title(3a) 8 点 DFTx_1(n);xlabel(/);ylabel(幅度);N=16;wk=2/N*(0:N-1);subplot(3,2,2);stem(wk,abs(X1k16),.); %绘制 16
8、点 DFT 的幅频特性图title(1b) 16 点 DFTx_1(n);xlabel(/);ylabel(幅度);subplot(3,2,4);stem(wk,abs(X2k16),.); title(2b) 16 点 DFTx_1(n);xlabel(/);ylabel(幅度);subplot(3,2,6);stem(wk,abs(X3k16),.); title(3b) 16 点 DFTx_1(n);xlabel(/);ylabel(幅度);%实验 2 对周期序列作频谱分析clear all;close all;N=8;n=0:N-1; %FFT 的变换区间 N=8x4n=cos(pi*
9、n/4);x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);X4k8=fft(x4n); %计算 x4n 的 8 点 DFTX5k8=fft(x5n); %计算 x5n 的 8 点 DFTN=16;n=0:N-1; %FFT 的变换区间 N=16x4n=cos(pi*n/4);x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);X4k16=fft(x4n); %计算 x4n 的 16 点 DFTX5k16=fft(x5n); %计算 x5n 的 16 点 DFTN=8;w1k=2/N*(0:N-1);subplot(2,2,1);stem(w1k,abs(X4k8),.); %绘制
10、8 点 DFT 的幅频特性图title(4a) 8 点 DFTx_4(n);xlabel(/);ylabel(幅度);axis(0,2,0,1.2*max(abs(X4k8);subplot(2,2,3);stem(w1k,abs(X5k8),.); %绘制 8 点 DFT 的幅频特性图title(5a)8 点 DFTx_4(n);xlabel(/);ylabel(幅度);axis(0,2,0,1.2*max(abs(X5k8);N=16;w2k=2/N*(0:N-1);subplot(2,2,2);stem(w2k,abs(X4k16),.); %绘制 16 点 DFT 的幅频特性图titl
11、e(4b) 16 点 DFTx_5(n);xlabel(/);ylabel(幅度);axis(0,2,0,1.2*max(abs(X4k16);subplot(2,2,4);stem(w2k,abs(X5k16),.); %绘制 16 点 DFT 的幅频特性图title(5b)16 点 DFTx_5(n);xlabel(/);ylabel(幅度);axis(0,2,0,1.2*max(abs(X5k16);%实验 3 对模拟周期信号作谱分析 (归一化)Fs=64;T=1/Fs;N=16;n=0:N-1; %FFT 的变换区间 N=16x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n
12、*T)+cos(20*pi*n*T); %对 x6(t)16 点采样X6k16=fft(x6nT); %计算 x6nT 的 16 点 DFTTp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率 Fk=0:N-1;fk=2*k/N; %产生 16 点 DFT 对应的采样点频率（以零频率为中心）subplot(3,1,1);stem(fk,abs(X6k16),.); %绘制 16 点 DFT 的幅频特性图title(6a) 16 点 DFTx_6(nT)|);xlabel(omega/pi);ylabel(幅度);N=32;n=0:N-1; %FFT 的变换区间 N=32x6nT=cos(8*pi*n*T
13、)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对 x6(t)32 点采样X6k32=fft(x6nT); %计算 x6nT 的 32 点 DFTTp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率 Fk=0:N-1;fk=2*k/N; %产生 32 点 DFT 对应的采样点频率（以零频率为中心）subplot(3,1,2);stem(fk,abs(X6k32),.);%绘制 32 点 DFT 的幅频特性图title(6b) 32 点 DFTx_6(nT)|);xlabel(omega/pi);ylabel(幅度);N=64;n=0:N-1; %FFT 的变换区间 N=64x6nT=
14、cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对 x6(t)64 点采样X6k64=fft(x6nT); %计算 x6nT 的 64 点 DFTTp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率 Fk=0:N-1;fk=2*k/N; %产生 64 点 DFT 对应的采样点频率（以零频率为中心）subplot(3,1,3);stem(fk,abs(X6k64),.); %绘制 64 点 DFT 的幅频特性图title(6c) 64 点 DFTx_6(nT)|);xlabel(omega/pi);ylabel(幅度);五、思考题及实验体会4思考题（1）对于周期
15、序列，如果周期不知道，如何用 FFT 进行谱分析？（2）如何选择 FFT 的变换区间？（包括非周期信号和周期信号）（3）当 N=8 时， 和 的幅频特性会相同吗？为什么？N=16 呢？)(2nx3答：（1） 、如果 的周期预先不知道，可截取 M 点进行 DFT，即)()(nxDFTnXRxMM0kM-1再将截取长度扩大 1 倍，截取)()(22xxMM0 k2M-1比较 )(k和 kX，如果两者的主谱差别满足分析误差要求，则以 )(kxM或 2XM近似表示 )(nx的频谱，否则，继续将截取长度加倍，直至前后两次分析所得主谱频率差别满足误差要求。设最后截取长度为 ,i则 )(0kXiM表示 0)
16、/(2ki点的谱线强度。（2）频谱分辨率直接 D 和 FFT 的变换区间 N 有关，因为 FFT 能够实现的频率分辨率是，因此要求 。可以根据此式选择 FFT 的变换区间 N。N/N/2(3) 当 N=8 时， 和 的幅频特性会相同.)(nx3当 N=16 时， 和 的幅频特性会不相同。2通过实验，我知道了用 FFT 对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率 D 和分析误差。频谱分辨率直接和 FFT 的变换区间 N 有关，因为 FFT 能够实现的频率分辨率是 2ND。可以根据此式选择 FFT 的变换区间 N。误差主要来自于用 FFT作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当 N 较大时，离散谱的包络才能逼近于连续谱，因此 N 要适当选择大一些。周期信号的频谱是离散谱，只有用整数倍周期的长度作 FFT，得到的离散谱才能代表周期信号的频谱。如果不知道信号周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。对模拟信号进行频谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。如果是模拟周期信号，也应该选取整数倍周期的长度，经过采样后形成周期序列，按照周期序列的普分析进行。
