1、1第二章 第六节 正多边形与圆1如图，半径为 2 的正六边形 ABCDEF 的中心为原点 O，顶点 A、D 在 x 轴上，则点 C 坐标为（ ）A、 (1,2) B、 (1,2) C、 (1,3) D、 (1,3)2如图，正六边形 ABCDEF 中，阴影部分面积为 2cm，则此正六边形的边长为 AA 2 cm B 4 cm C 6 cm D 8 cm33以下说法：若直角三角形的两边长为 3 与 4，则第三次边长是 5；两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；长度等于半径的弦所对的圆周角为 30反比例函数 y= 2x，当0 时 y 随 x 的增大而增大，正确的有（ ）A B C D 4如
2、图，O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为 a，半径为 R，边心距为 r，则下列关系式错误的是（ ）2A R 2r 2=a2 B a=2Rsin36 C a=2rtan36 D r=Rcos365如图，正五边形 ABCDE 内接于O，过点 A 的切线与 CB 的延长线相交于点 F，则F=（ ）A 18 B 36 C 54 D 726半径为 R的圆内接正三角形的面积是（ ）A 23 B 2 C 23R D 234R7如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，AB=2，则图中阴影部分的面积为（ ）A B 2 C D 48如图，正六边形 A1B1C1D1E1F1的边长为 2，正六边
3、形 A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形 A3B3C3 D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，按这样的规律进行下去，A 11B11C11D11E11F11的边长为（ ）A B C D 9圆内接四边形 ABCD 的四个内角的度数之比A：B：C：D 可以是（ ）A3：2：4：1 B1：3：4：2 C3：3：1：4 D4：1：2：310如图，若干全等正五边形排成环状图中所示的是前 3 个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个五边形A6 B 7 C8 D9311如图，正三角形的边长为 12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这
4、个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为 cm12请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分A圆内接正六边形的边心距为 23，则这个正六边形的面积为_ 2cmB用科学计算器计算： sin8_ （结果精确到 0.1）1313若等边三角形的边长为 4 cm，则它的外接圆的面积为 14正六边形的边长为 4cm，它的边心距等于_cm；15如图所示， ABC 为 O 的内接三角形， AB=1， C=30，则 O 的内接六边形的面积为 _16如图，在O 中，D=70，ACB=50，则BAC= .DOCBA17有底面为正方形的直四棱柱容器 A 和圆柱形容器 B，容器材质相同，厚度忽略不计.如果它
5、们的主视图是完全相同的矩形，那么将 B 容器盛满水，全部倒入 A 容器，问：结果会 （“溢出” 、“刚好” 、 “未装满” ，选一个）418正六边形的每个中心角为_度19以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是_。20如图，点 M、N 分别是正五边形 ABCDE 的两边 AB、BC 上的点且 AM=BN，点 O 是正五边形的中心，则MON 的度数是_度21如图，O 的半径为 1，A，P，B，C 是O 上的四个点APC=CPB=60（1）判断ABC 的形状： ；（2）试探究线段 PA，PB，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点 P
6、位于 AB的什么位置时，四边形 APBC 的面积最大？求出最大面积522在直径为 AB 的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为 AB，顶点 C 在半圆圆周上，其它两边分别为 6 和 8，现要建造一个内接于ABC的矩形水池 DEFN，其中 D、E 在 AB上，如图 24-94 的设计方案是使 AC=8，BC=6（1）求ABC 的边 AB 上的高 h（2）设 DN=x，且 ，当 x 取何值时，水池 DEFN 的面积最大？（3）实际施工时，发现在 AB 上距 B 点 185 的 M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内
7、接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树23如图所示，已知 O 的周长等于 6cm，求以它的半径为边长的正六边形 ABCDEF 的面积24某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨：6甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形如圆内接矩形不一定是正方形乙同学：我知道边数为 3 时，它是正三角形；我想，边数为 5 时，它可能也是正五边形丙同学：我发现边数为 6 时，它也不一定是正六边形如图 2，ABC 是正三角形，弧 AD、弧 BE、弧 CF 均相等，这样构造的六边形 ADBECF 不是正六边形（1）如图 1，若圆内接五边形 ABCDE 的各内角均相等，则
8、ABC= ，并简要说明圆内接五边形 ABCDE 为正五边形的理由；（2）如图 2，请证明丙同学构造的六边形各内角相等；（3）根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数 n（n3，n 为整数） ”的关系，提出你的猜想（不需证明） 25如图有一个宝塔，它的地基边缘是周长为 26m 的正五边形 ABCDE（如图） ，点 O 为中心 （下列各题结果精确到 0.1m）（1）求地基的中心到边缘的距离；（2）己知塔的墙体宽为 1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为 1.6m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？26 （1）数学爱好者小森偶然阅读
9、到这样一道竞赛题： 7一个圆内接六边形 ABCDEF，各边长度依次为 3，3，3 ，5，5，5，求六边形 ABCDEF 的面积 小森利用“同圆中相等的弦所对的圆心角相等”这一数学原理，将六边形进行分割重组，得到图可以求出六边形 ABCDEF 的面积等于 （2）类比探究：一个圆内接八边形，各边长度依次为 2，2，2，2，3，3，3，3求这个八边形的面积请你仿照小森的思考方式，求出这个八边形的面积27 （1）已知：如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，CD 边上，BE=DF，连接 CE，AF求证：AF=CE （2）如图 2，AB 切O 于点 B，OA=2，OAB=30，弦 BC
10、OA求：劣弧 BC 的长 （结果保留）8答案：试题分析：因为正六边形的半径等于边长，所以 CD=2，连接 OC，可知OCD 是等边三角形，ODC=60，作 CM 垂直 OD 于 M，根据直角三角形中，30 度角所对的直角边是斜边的一半，所以DM=1，所以 OM=2-1=1，由勾股定理得：CM= 3，因为 C 点在第四象限，所以 C 点坐标为（1，-3） ，故选 C2B试题解析：由正六边形可分成六个全等的等边三角形，则阴影部分的面积与中间的正三角形的面积相等，即阴影部分的面积为正六边形的面积的一半设边长为 R，所以有 6 12R2sin60=22 3，R=4cm故选 B3C试题分析：分别利用勾股
11、定理、全等三角形的判定、圆周角定理及反比例函数的性质判断：若直角三角形的两边长为 3 与 4，则第三次边长是 5 或 7，故错误；两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确；长度等于半径的弦所对的圆周角为 30或 150，故错误；反比例函数 y= 2x，当0 时 y 随 x 的增大而增大，正确，故选 C4A试题分析：本题考查了圆内接四边形，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键根据圆内接正五边形的性质求出BOC，再根据垂径定理求出1=36，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解解：O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，BOC= 360
12、=72，1= BOC= 72=36，9R2r 2=（ a） 2= a2，a=Rsin36，a=2Rsin36；a=rtan36，a=2rtan36，cos36= ，r=Rcos36，所以，关系式错误的是 R2r 2=a2故选 A5D试题分析：连接 OA、 OB， AF 是 O 的切线， OAF90，正五边形 ABCDE 内接于 O， AOB 360572， OA OB，10 OAB OBA 1807254， BAF905436， ABF 360572， F180367272，故选 D点拨：本题考查了切线的性质、三角形的内角和定理、正五边形的中心角和外角的求法，明确多边形的外角和为 360，正
13、n 边形的外接圆的中心角 360n6D试题分析：如图所示，过 O 作 ODBC 于 D；此三角形是正三角形，BOC= 360=120OB=OC，BOD= 12120=60，OBD=30；OB=R，OD= 2R，BD=OBcos30= 32R，BC=2BD=2 = ，S BOC = 12BCOD= 32R =24，11S ABC =32234R故选 D7B分析：连接 BO， FO， OA易证 OA OF，由两平行线的间的距离相等可知 OAB 的面积= ABF 的面积，从而图中阴影部分的面积等于扇形 OAF 的面积3.详解：如图，连接 BO， FO， OA六边形 ABCDEF 是圆的内接正六边形，
14、 AOB= AOF=3606=60. OA=OB=OF， OAF， AOB 都是等边三角形， AOF= OAB=60， OA OF， OAB 的面积= ABF 的面积，六边形 ABCDEF 是正六边形， AF=AB，图中阴影部分的面积等于扇形 OAF 的面积3= ，故选：B点拨：本题考查了不规则图形面积的求法，用到的知识点有：圆内接多边形的计算，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，同底等高的三角形的面积相等，扇形面积的计算，解题的关键是把阴影部分的面积转化为求扇形的面积.8A分析：连接 OE1，OD 1，OD 2，如图，根据正六边形的性质得E 1OD1=60，则E 1OD1为等边三角形
15、，再根据切线的性质得 OD2E 1D1，于是可得 OD2= E1D1= 2，利用正六边形的边长等于它的半径得12到正六边形 A2B2C2D2E2F2的边长= 2，同理可得正六边形 A3B3C3D3E3F3的边长=（ ） 22，依此规律可得正六边形 A11B11C11D11E11F11的边长=（ ） 102，然后化简即可详解：连接 OE1，OD 1，OD 2，如图，六边形 A1B1C1D1E1F1为正六边形，E 1OD1=60，E 1OD1为等边三角形，正六边形 A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形 A1B1C1D1E1F1的各边相切，OD 2E 1D1，OD 2= E1D1= 2，正六边
16、形 A2B2C2D2E2F2的边长= 2，同理可得正六边形 A3B3C3D3E3F3的边长=（ ） 22，则正六边形 A11B11C11D11E11F11的边长=（ ） 102= 故选 A点拨：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆记住正六边形的边长等于它的半径9B试题分析：由四边形 ABCD 是圆的内接四边形，根据圆的内接四边形的对角互补，易得A+C=B+D，继而求得答案13解：四边形 ABCD 是圆的内接四边形，A+C=180，B+D=180，A+C=B+D，A：B：C
17、：D 可以是 1：3：4：2故选 B10B.试题解析：五边形的内角和为（5-2）180=540，所以正五边形的每一个内角为 5405=108，如图，延长正五边形的两边相交于点 O，则1=360-1083=360-324=36，36036=10，已经有 3 个五边形，10-3=7，即完成这一圆环还需 7 个五边形故选 B11 123.试题分析：作 ONBC 于 N，根据正三角形和正六边形的性质求出正六边形 DFHKGE 的面积，根据三角形的面积公式计算即可六边形 DFHKGE 是正六边形，AD=DE=DF=BF=4，OH=4，由勾股定理得，ON= 2OH= 3，则正六边形 DFHKGE 的面积=
18、 124 36=24，设这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为 h，则 124h= 4，解得，h= 1.故答案为： 1231412 243 0.8解析：A正六边形边长为： 2324tan60正六边形面积为： 14B sin3820.13 16 cm2试题解析：等边三角形的边长为 4 厘米， OD AB， AD=2 厘米，又 11603,22DAOBC 4cos30，2416S平方厘米.故答案为： 3cm2.14 2解析：如图所示，AB=4cm，过 O 作 OGAB 于 G，此多边形是正六边形，15AOB= 360=60，AOG= 602=30，OG=AGtanAOG = 3= ，故答案为：
19、 215 32试题解析：连接 AO， BO，过点 O 作 OE AB 于点 E， C=30， AOB=60， AO=BO， AOB 是等边三角形， AO=BO=AB=1， EO=sin601= 32，1AOBSE4 3， O 的内接六边形的面积为：6 = 2 3故答案为： 32.1620试题分析：连结 BD，如图，ADB=ACB=50，BDC=ADC-ADB=70-50=20，BAC=BDC=20故答案为 201617未装满解析：试题分析：当圆的直径等于正方形的边长，则正方形的面积大于圆的面积.考点：面积的计算1860解析：正六边形的圆心角等于一个周角，即为 360 ，正六边形有 6 个中心角
20、，所以每个中心角=3606=60，故答案为：60.19解析：由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，再由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积解：如图所示， OC=2， OD=2sin30=1；如图所示， OC=2， OD=2sin45= ；17如图所示， OA=2， OD=2cos30 ，则该三角形的三边分别为：, , ，1 2+( )2=( )2，该三角形是直角边，该三角形的面积是： 1 = .故答案为： .点拨：本题考查了正多边形与圆、勾股定理及其逆定理等知识. 构造直角三角形是解题的关键.2072分析：连接 OA、OB、
21、OC，根据正多边形的中心角的计算公式求出AOB，证明AOMBON，根据全等三角形的性质得到BON=AOM，得到答案详解：如图，连接 OA、OB、OC，AOB= =72，AOB=BOC，OA=OB，OB=OC，OAB=OBC，在AOM 和BON 中，AOMBON，BON=AOM，MON=AOB=72，18故答案为：7221 （1）等边三角形；（2） （2）PA+PB=PC （3）试题分析：（1）根据圆周角的定义可得圆周角相等，他们所对的弦也相等得出 AC=BC，同 弧所对的圆周角相等可得BAC=BPC=60，有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形，可得三角形ABC 为等边三角形 （2）在 PC
22、 上截取 PD=PA，连接 AD，得出PAD 为等边三角形，再根据已知条件得出PABDAC，得 出 PC=DC，PD+DC=PC，等量代换得出结论 （3）当点 P 为 AB的中点时，四边形 APBC 的面积最大理由，如图过点 P 作 PEAB，CFAB 垂足分别为点 E，点 F，四边形 APBC的面积为APB 与ACB 的和，底相同，当 PE+CF 最大时，四边形的面积最大，因为直径是圆中最大的弦，即 PE+CP=直径，即 P 为 AB的中点时，面积最大试题解析：（1）等边三角形；（2）PA+PB=PC证明：如图 1，在 PC 上截取 PD=PA， 连接 ADAPC=60PAD 是等边三角形P
23、A=AD， PAD=60，又BAC=60，PAB=DACAB=ACPABDACPB=DCPD+DC=PC，19PA+PB=PC（3）当点 P 为 AB的中点时，四边形 APBC 面积最大理由如下：如图 2，过点 P 作 PEAB，垂足为 E，过点 C 作 CFAB，垂足为 FS PAB = ABPES ABC = ABCFS 四边形 APBC= AB（PE+CF） 当点 P 为 AB的中点时，PE+CF=PCPC 为O 的直径此时四边形PAD=60PAD=60面积最大又O 的半径为 1，其内接正三角形的边长 AB= S 四边形 APBC= 2 = 22 （1）4.8 （2）2.4（3）见解析试
24、题分析： 首先利用勾股定理求得 的长再利用三角形面积的两种求法解得高 的值（2）根据相似形对应边成比例列出矩形面积关于 的关系式 S 矩形 DEFN 利用二次函数的性质求关系式的最大值（3）根据（2）知，知道 的取值，此时 S 矩形 DEFN最大，求得 的值再利用勾股定理求得的值，并与 1.85 比较大小试题解析：(1)过 C 作 CG AB 于 G，则 CG=h，在 Rt ABC 中, 20根据三角形面积公式得： (2)如图, NF AB， CNF CAB S 矩形 DEFN 则当 x=2.4 时, S 矩形 DEFN 最大；(3)当 S 矩形 DEFN 最大， x=2.4，过点 C 作 C
25、G AB 于点 G， ABC 是直角三角形， AC=8， BC=6， AB=10， F 为 BC 中点，在 Rt FEB 中， EF=2.4， BF=3 BM=1.85 BMEB21故文物必位于欲修建的建筑物边上，应重新设计方案 x=2.4 时， NF=5 AD=3.2由圆的对称性知：满足题设条件的设计方案是：将最大面积的建筑物建在使 AC=6， BC=8，且 C 点在半圆周上的 ABC 中.23 273cm2试题分析：把内接正六边形问题转化成正三角形问题，利特殊三角形求边的长度，再求面积.试题解析：设正六边形边长为 a，则圆 O 半径为 a，由题意得：2 a=6 ， a=3如右图，设 AB
26、为正六边形的一边， O 为它的中心，过 O 作 OD AB，垂足为 D，则 OD=r6，则 DOA=1806=30， AD= 12AB= 3，在 Rt ABC 中， OD=r6=3cm，S=6 12ar6= 3 26= 7 3cm2点拨：正六边形问题，可以转化为正三角形问题，正三角形问题，可以转化为 30-60-90特殊三角形，三边比例是 1： ：2，利用特殊三角函数值或者勾股定理，可以快速计算各边关系.2224 （1）108见解析；（2）见解析；（3）见解析试题分析：（1）运用 n 边形的内角和定理就可求出ABC 的度数；已知圆内接五边形 ABCDE 的各内角均相等，要证该五边形为正五边形，
27、只需证该五边形的各边均相等，只需利用弧与圆周角之间的等量关系就可解决问题（2）由ABC 是正三角形可得ABC=ACB=BAC=60，根据圆内接四边形的性质可得AFC、ADB、BEC 均为 120，由 = 可得ABD=CAF，即可求出DAF=120，同理可得DBE=ECF=120，问题得以解决（3）依据对（1） 、 （2）的探索积累的经验就可提出合理的猜想解：（1）五边形的内角和=（52）180=540，ABC= =108故 答案为：108理由：如图 1，A=B = ， = ， = ，BC=AE同理可得：BC=DE，DE=AB，AB=CD，CD=AE，BC=DE=AB=CD=AE，五边形 ABC
28、DE 是正五边形； （2）证明：如图 2，ABC 是正三角形，ABC=ACB=BAC=60，四边形 ABCF 是圆内接四边形，ABC+AFC=180，AFC=120同理可得：ADB=120，BEC=120ADB=120，DAB+ABD=6023 = ，ABD=CAF，DAB+CAF=60，DAF=DAB+CAF+BAC=120同理可得：DBE=120，ECF=120，AFC=ADB=BEC=DAF=DBE=ECF=120，故图 2 中六边形各角相等； （3）由（1） 、 （2）可提出以下猜想：当 n（n3，n 为整数）是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形；当 n（n3，n 为整数）时
29、偶数时，各内角都相等的圆内接多边形不一定为正多边形25 （1）3.6m；（2）1m.试题分析：（1）构造一个由正多边形 的边心距、半边和半径组成的直角三角形根据正五边形的性质得到半边所对的角是 1805=36，再根据题意中的周长求得该正五边形的半边是2610=2.6，最 后由该角的正切值进行求解；（2）根据（1）中的结论、塔的墙体宽为 1m 和最窄处为 1.6m 的观光通道，进行计算试题解析：（1）作 OMAB 于点 M，连接 OA、OB，则 OM 为边心距，AOB 是中心角24由正五边形性质得AOB=3605=72又 AB=1526=5.2，AM=2.6，AOM=36，在 RtAMO 中，边
30、心距 OM= 2.63.tan3tAMm （2）3.6-1-1.6=1（m） 答：地基的中心到边缘的距离约为 3.6m，塑像底座的半径最大约为 1m26(1) ；(2) .试题分析：（1）如图，利用六边形 ABCDEF 每次绕圆心 O 旋转 120都和原来的图形重合可判断MNQ 为等边三角形，MAF、NBC 和QDE 都是等边三角形，然后根据等边三角形的面积公式求解；（2）先画出分割重组的图形，如图，利用八边形 ABCDEFGH 为轴对称图形，每次绕圆心 O 旋转90都和原来的图形重合，可判断四边形 PQMN 为正方形，PAB、GCD、MEF、NHG 都是等腰直角三角形，根据根据正方形的性质和
31、等腰直角三角形的性质求解 试题解析：（1）如图，六边形 ABCDEF 为轴对称图形，每次绕圆心 O 旋转 120都和原来的图形重合，MNQ 为等边三角形，MAF、NBC 和QDE 都是等边三角形， NQ=3+5+3=11， 六边形 ABCDEF 的面积=S MNQ 3S AMN= 1123 32= ；故答案为 25（2）如图，八边形 ABCDEFGH 为轴对称图形，每次绕圆心 O 旋转 90都和原来的图形重合， 四边形 PQMN 为正方形，PAB、GCD、MEF、NHG 都是等腰直角三角形， PA= AB= ，PN= +3+ =3+2 ，这个八边形的面积=（3+2 ） 24 =9+12 +84
32、=13+12 27 （1）证明见解析；（2） 13试题分析：（1）由矩形的性质得 DCAB，DC=AB，由于 DF=BE，则 CF=AE，于是可判断四边形 AFCE是平行四边形， 然后根据平行四边形的性质得 AF=CE； （2）连接 OC，OB，如图，根据切线的性质得ABO=90，在 RtABO 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 OB= 12OA=1，且AOB=60，再利用 BCOA 得到OBC=AOB=60，则可判断BOC 为等边三角形，所以BOC=60，然后利用弧长公式计算劣弧 BC 的长试题解析：（1）证明：如图：四边形 ABCD 是矩形， DCAB，DC=AB， CF AE， DF=BE， CF=AE， 四边形 AFCE 是平行四边形， AF=CE； （2）解：连接 OC，OB，如图，26AB 为圆 O 的切线， ABO=90， 在 RtABO 中，OA=2，OAB=30， OB= 12OA=1，AOB=60，BCOA， OBC=AOB=60， 而 OB=OC， BOC 为等边三角形， BOC=60， 劣弧 BC 的长= 18063
