1、1第二章 第六节 正多边形与圆1如果一个圆的内接正六边形的周长为 30cm，那么圆的半径为（ ） A 6 B 5 C 4 D 32如图，有一个边长为 4cm 的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个圆形纸片的最小直径是（ ）A4cm B8cm C2 3cm D4 cm3如图，边长为 4 的正方形 ABCD 内接于O，E 是弧 AB 上的一动点(不与 A，B 重合)，F 是弧 BC上的一点，连接 OE，OF，分别与 AB，BC 交于点 G，H，且EOF90，有以下结论： ；OGH 是等腰直角三角形；四边形 OGBH 的面积随着点 E 位置的变化而变化；OGH 周长的最小值为 4 .
2、其中正确的是( )A B C D 4若正方形的边长为 6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）A6， B ，3 C6，3 D ，5使用同一种规格的下列地砖，不能进行平面镶嵌的是（ ）A 正三角形地砖 B 正四边形地砖 C 正五边形地砖 D 正六边形地砖6若正方形的边长为 6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）A6， B ，3 C6，3 D ，7O 的半径等于 3，则O 的内接正方形的边长等于（ ）A3 B2 C3 D 68如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，图中所示的是前 3 个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环共需要的正五边形个数是（ ）A 8 B 9 C 1
3、0 D 1129如果一边长为 20cm 的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，那么铁圈直径的最小值为 cm（铁丝粗细忽略不计） 10有一个边长为 3 的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个圆形，则这个圆形纸片的半径最小是 11请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分A一个半径为 2的正六边形，其边心距是_ _B用科学计算器计算： 3sin2617_ （结果精确到 0.1）12如图所示的正六边形 ABCDEF，连结 FD，则FDC 的大小为_13如图，已知正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的O，则阴影部分的面积为_14同一个圆的内接正方形和正三角
4、形的边心距的比为_15如果正 n 边形的中心角为 2，边长为 5，那么它的边心距为_ （用锐角 的三角比表示）16如图， P、 Q 分别是 O 的内接正五边形的边 AB BC 上的点， BP=CQ，则 POQ=_17已知一个圆的半径为 5cm，则它的内接正六边形的边长为 cm1818如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形 ABCD，若 BD10，DF4，则菱形ABCD 的边长为_ _19某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：3甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形乙同学：我发现边数是 6 时，它也不一定是正多边形，如图 1，ABC 是正三
5、角形， ADBECF，证明六边形 ADBECF 的各内角相等，但它未必是正六边形丙同学：我能证明，边数是 5 时，它是正多边形，我想，边数是 7 时，它可能也是正多边形（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等；（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形 ABCDEFG（如图 2）是正七边形；（不必写已知，求证）（3）根据以上探索过程，提出你的猜想 （不必证明）20如图，在 O 的内接四边形 ABCD 中， AB AD， C120，点 E 在上(1)求 AED 的度数；(2)若 O 的半径为 2，则的长为多少？(3)连接 OD， OE，当 DOE90时， AE 恰好是 O 内接正 n 边形的一
6、边，求 n 的值21 （1）如图，M、N 分别是O 的内接正ABC 的边 AB、BC 上的点，且 BMCN，连接 OM,ON，求MON 的度数。（2）图、 中，M、N 分别是O 的内接正方形 ABCD、正五边 ABCDE、正 n 边形ABCDEFG的边 AB、BC 上的点，且 BMCN，连接 OM、ON；则图中MON 的度数是_，图中MON 的度数是_；由此可猜测在 n 边形图中MON 的度数是_422如图，菱形 ABCD 中，（1）若半径为 1 的O 经过点 A、B、D，且A60，求此时菱形的边长；（2）若点 P 为 AB 上一点，把菱形 ABCD 沿过点 P 的直线 a 折叠，使点 D 落
7、在 BC 边上，利用无刻度的直尺和圆规作出直线 a （保留作图痕迹，不必说明作法和理由）23如图，正方形 EFGH 的外接圆 O 是正方形 ABCD 的内切圆，试求 AB： EF 的值524如图，已知正六边形 ABCDEF，其外接圆的半径是 a，求正六边形的周长和面积求O 的半径25如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点（1）用直尺和圆规作O，使O 经过点 A、B、E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若正方形 ABCD 的边长为 2，求（1）中所作O 的半径答案：1B解析：如图，根据圆内接正六边形和圆 的关系，可知正六边形的边长即为圆的半径，可知 306=5.故选：B.62B试题
8、分析：正六边形的边长是 4cm，正六边形的半径是 4cm，这个圆形纸片的最小直径是 8cm故选 B3C分析：连接 OA，OB，根据正方形的性质，知AOB=90=EOF，又BOE 共用，故可得AOE=BOF，再根据圆心角定理可得 ；故正确；连接 OB，OC，证明OGBOHC，可得 OG=OH，即可得出OGH 是等腰直角三角形；故正确；过点 O 作 OMBC，ONAB，易证得OGNOHM，因此可得出 SOGN=SOHM，故不管点 E 的位置如何变化，四边形 OGBH 的面积不变；故错误；过点 B 作 B 关于 OF 的对称点 P（易知点 P 在O 上） ，连接 PH，则 PH=BH；过点 B 作
9、B 关于 OE 的对称点 Q（易知点 Q 在O 上） ，连接 QG，则 QG=BG；连接 PQ，易证明 PQ 过圆心 O，则 PQ=4 ，故错误.解：如图所示，BOE+BOF=90，COF+BOF=90，BOE=COF，在BOE 与COF 中，7BOECOF，BE=CF， ，正确；BE=CF，BOGCOH；BOG=COH，COH+OBF=90，GOH=90，OG=OH，OGH 是等腰直角三角形，正确如图所示，HOMGON，四边形 OGBH 的面积始终等于正方形 ONBM 的面积，错误；过点 B 作 B 关于 OF 的对称点 P（易知点 P 在O 上） ，连接 PH，则 PH=BH；过点 B 作
10、 B 关 于 OE 的对称点 Q（易知点 Q 在O 上） ，连接 QG，则 QG=BG；连接 PQ，易证明 PQ 过圆心 O，PQ= =4 ，故错误.综上，正确，错误.故选：C8点拨：本题考查了正方形的性质，圆心角定理，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定，四边形的面积，三角形的周长，动点问题，最值问题运用圆心角定理是解答的关键；在中连接OB，OC，证明三角形全等是解题的关键；在中，运用证明三角形全等，从而证明面积相等以解决不管点 E 的位置如何变化，四边形 OGBH 的面积不变的问题；解答的关键是运用轴对称解决最小周长问题. 4B试题分析：由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个
11、直角三角形，从而求得它们的长度解：正方形的边长为 6，AB=3，又AOB=45，OB=3AO= =3 ，即外接圆半径为 3 ，内切圆半径为 3故选：B5C试题解析：A、正三角形的每个内角是 60，能整除 360，能密铺，故 A 不符合题意；B、正四边形每个内角是 90，能整除 360，能密铺，故 B 不符合题意；C、正五边形每个内角是 180-3605=108，不能整除 360，不能密铺，故 C 符合题意；D、正六边形每个内角是 120，能整除 360，能密铺，故 D 不符合题意故选 C6B试题分析：由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度解：正方形的边
12、长为 6，9AB=3，又AOB=45，OB=3AO= =3 ，即外接圆半径为 3 ，内切圆半径为 3故选：B7C试题分析：根据正方形与圆的性质得出 AB=BC，以及 AB2+BC2=AC2，进而得出正方形的边长即可解：如图所示：O 的半径为 3，四边形 ABCD 是正方形，B=90，AC 是O 的直径，AC=23=6，AB 2+BC2=AC2，AB=BC，AB 2+BC2=36，解得：AB=3 ，即O 的内接正方形的边长等于 3 ，故选 C8C分析：延长正五边形的相邻两边交于圆心，求得该圆心角的度数后，用 360除以该圆心角的度数即可得到正五边形的个数，从而得到答案.解：如图，圆心角为1，五边
13、形的内角和为：（5-2）180=3180=540，10五边形的每一个内角为：5405=108，1=1082-180=216-180=36，36036=10，要完成这一圆环共需 10 个全等的五边形，故选 C9 103试题分析：由于三角形怎样穿过铁圈不能确定，故应分两种情况进行讨论：当铁丝围成的圆圈的直径等于等边三角形的高时，在直角OAC 中，OA=20cm，A=60，所以 OC=OAsin60=2032=10cm；将三角形放倒再穿过，此时铁圈的直径等于三角形的边长 20，而 20cmcm，将三角形放倒再穿过，圆的直径最小故答案为： 103103 试题分析：如图所示，正六边形的边长为 3，OGB
14、C，六边形 ABCDEF 是正六边形，BOC=3606=60，OB=OC，OGBC，BOG=COG=30，OGBC，OB=OC，BC=3，BG= 12BC= 3= ，OB=321sinBGO=3，故答案为：311 3； 2.111试题解析： A解:边长为 2的正六边形可以分成六个边长为 2的正三角形，而正多边形边心距即为每个边长为 的正三角形的高，正六多边形的边心距等于 sin603，因此，本题正确答案是 31290分析：首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论详解：在正六边形 ABCDEF 中，E=EDC=120，EF=DE，EDF=EFD=30，FDC=90，故答案为
15、：901312解析：根据题意可得 AEC 为等边三角形，连接 OE，过点 O 作 OM EC 于点 M，因 O 是等边三角形的外接圆，可得 OEM=30，根据题意可得 OE=4在 Rt OEM 中， OEM=30， OE=4，可求得OM=2， EM=2 所以 OEM 的面积为 ，所以等边 ABC 面积为6 =62 =12 故答案为：12 .14 分析：先画出同一个圆的内接正方形和内接正三角形，设O 的半径为 R，求出正方形的边心距和正三角形的边心距，再求出比值即可【详解】设O 的半径为 r，O 的内接正方形 ABCD，如图，12过 O 作 OQBC 于 Q，连接 OB、OC，即 OQ 为正方形
16、 ABCD 的边心距，四边形 BACD 是正方形，O 是正方形 ABCD 的外接圆，O 为正方形 ABCD 的中心，BOC=90，OQBC，OB=CO，QC=BQ， COQ=BOQ=45，OQ=OCcos45= R；设O 的内接正EFG，如图，过 O 作 OHFG 于 H，连接 OG，即 OH 为正EFG 的边心距，正EFG 是O 的外接圆，OGF= EGF=30 ，OH=OGsin30= R，OQ：OH=（ R）：（ R）= ：1，故答案为： ：115 （或 ）分析：根据正多边形的边数，确定正多边形的中心角，然后构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质和锐角三角函数解直角三角形即可.13解：如图
17、所示：正 n 边形的中心角为 2，边长为 5，边心距 OD= （或 ） ，故答案为： （或 ） ，1672解：连接 OA、 OB、 OC，五边形 ABCDE 是 O 的内接正五边形， AOB= BOC=72， OA=OB， OB=OC， OBA= OCB=54，在 OBP 和 OCQ 中， OB=OC， OBP= OCP， BP=CQ， OBPOCQ， BOP= COQ， AOB= AOP+ BOP， BOC= BOQ+ QOC， BOP= QOC， POQ= BOP+ BOQ， BOC= BOQ+ QOC， POQ= BOC=72故答案为：72175试题分析：首 先 根 据 题 意 画 出
18、图 形 ， 六 边 形 ABCDEF 是 正 六 边 形 ， 易 得 OAB 是 等 边 三 角形 ， 又 由 圆 的 半 径 为 5cm， 即 可 求 得 它 的 内 接 六 边 形 的 边 长 =5cm189试题分析：如图：连接 OG，BD=10，DF=4，O 的半径r=OD+DF= 12BD+DF= 10+4=9，OG=9，在 RtGOD 与 RtADO 中，OD=OD，AO=GD，AOD=GDO=90，AODGDO，OG=AD=9，故答案为：91419 （1）图（1）中六边形各角相等；（2）证明见解析（3）猜想：当边数是奇数时（或当边数是3，5，7，9，时） ，各内角相等的圆内接多边形
19、是正多边形试题分析：（1）由题图知AFC 对 ABC，DAF 对 DEF，根据已知可得DBCFA，从而可以得到AFC=DAF，即可得证；（2）根据已知条件，结合图形不难得到 G= ，继而得到 BCAG，同理可得到其它狐之间的相等关系，进而证明结论；（3） ，根据已知条件进行分析，结合上面的结论写出猜想即可.试题解析：（1）由图知AFC 对 ABC， CFDA，而DAF 对的 EFDABC，AFC=DAF同理可证，其余各角都等于AFC，故图（1）中六边形各角相等；（2）A 对 BG，B 对 CA，又A=B， CEA， B，同理， DFAGBCDEF（3）猜想：当边数是奇数时（或当边数是 3，5，
20、7，9，时） ，各内角相等的圆内接多边形是正多边形20(1) 120；（2） 43；（3）12试题分析：（1）连接 AC,由 AB=AD 可得到 ACB= ACD=60,在四边形 ACBE 中由对角互补可求得 AEB,(2)因为 AOD=2 ABD=120,半斤为 2,根据弧长公式即可求解.（3）连接 OA,求出 AOE 的度数即可求出正 n 边形的边数.15连接 BD,四边形 ABCD 是 O 的内接四边形, BAD+ C=180, C=120, BAD=60, AB=AD, ABD 是等边三角形, ABD=60,四边形 ABDE 是 O 的内接四边形, AED+ ABD=180, AED=
21、120,(2) AOD=2 ABD=120,弧 AD 的长= 120483,(3)连接 OA, ABD=60, AOD=2 ABD=120, DOE=90, AOE= AOD- DOE=30, n=36012.21 （1）120（2）90、72、 试题分析：（1）先分别连接 OB、 OC，可求出 BOM= NOC，故 MON= BOC，再由圆周角定理即可求出 BOC=120；（2）同（1）即可解答；（3）由（1） 、 （2）找出规律，即可解答16试题解析：分别连接 OB、 OC，（1） AB=AC， ABC= ACB， OC=OB， O 是外接圆的圆心， CO 平分 ACB OBC= OCB=
22、30， OBM= OCN=30， BM=CN， OC=OB， OMBONC， BOM= NOC， BAC=60， BOC=120； MON= BOC=120；（2）同（1）可得 MON 的度数是 90，图 3 中 MON 的度数是 72；（3）由（1）可知， MON= =120；在（2）中， MON= =90；在（3）中 MON= 5=72，故当 n 时，MON= 22 （1）菱形的边长为 ； （2）作图见解析.试题分析：（1）连接 OB、OD 和 OC，根据菱形、内接圆的性质可得DOB120，ODOB1， CDBC，C60，从而得到CODCOB，根据全等三角形的性质，可求得CODCOB60o
23、、DCOBCO 30o，根据三角形内角和可得COD 是 RtCOD，由 tanDCO ODC可求得 CD 的长度，即为所求；（2）根据题意先作出 D 在 BC 上的对应点；作出直线 a；试题解析：(1)连接 OB、OD 和 OC，如图所示：17半径为 1 的O 经过点 A、B、D，且A60，DOB120，ODOB1，四边形 ABCD 是菱形，A60，CDBC，C60，在COD 和COB 中ODBCCODCOB（SSS） ，CODCOB，DCOBCO，CODCOB 112062oBOD ，DCOBCO 3C ODC（1803060） o=90o,COD 是 RtCOD，tanDCO ODC CD
24、tan30 o31 菱形 ABCD 的边长是 ；（2）如图所示：作出 D 在 BC 上的对应点，再作出直线 a 即可。1823 2试题分析：设大正方形的边长为 1，那么圆的直径为 1，根据“正方形的面积=边长边长”求出大正方形的面积，从而得出 HGFA的面积：1（12）2=0.25，即可得出正方形 EFGH的面积：0.252=0.5，再根据相似得出边之比试题解析：如图，设大正方形的边长为 1，则 HF=1，则 S 正方形 ABCD=1，S 正方形 EFGH=2S HGF=21（12）2=0.5，正方形 ABCD正方形 EFGH， AB： EF= 2:124 3a 试题分析：根据正六边形的半径等
25、于边长进行解答即可试题解析：正六边形的半径等于边长，正六边形的边长 AB=OA=a；正六边形的周长=6AB=6a；. 在 RtOAM 中 OM=OAsin60= a，正六边形的面积 S=6 a a= a2点睛：本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径25 （1）图见解析；（2）O 的半径是 54试题分析：（1）连接 AE，分别作出 AE，AB 的垂直平分线，进而得到交点，即为圆心，求出答案；（2）根据题意首先得出四边形 AFED 是矩形，进而利用勾股定理得出答案试题解析：（1）如图 1 所示：19O 即为所求（2）如图 2，在（ 1）中设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 F，交 CD 于点 E则 AF= AB=1，AFE=90，四边形 ABCD 是正方形，FAD=D=90，四边形 AFED 是矩形，EF=AD=2，DE=AF=1，点 E与点 E 重合，连接 OA，设O 的半径为 r，可得 OA=OE=r，OF=EFOE=2r，在 RtAOF 中，AO 2=AF2+OF2，r 2=12+（2r） 2，解得：r=54，O 的半径为
