1、 - 1 - 第一章 绪论 第二章 函数 第一节 函数概念 22 2 2 22 2222 1. (1) ; , ; . ,2 2, () () ; . xyxy xy xy x y xy x y x xyy x xyyx x yy xy xy xyxy 证明下列不等式： 证明：对于 总有 于是 又由于 那么 即 开方后即得 12 12 22 22 12 12 12 12 (2). ; ., , 2 2; 2.1 , nn kk k xx xxx x ix yx yx yxx yyxx y y xyxy n ii n k x x x x x x iii n k y x x x xx 证明：使用数
2、学归纳法； 对于 总有 于是有 整理后可得 ，即当 时所证成立。 假设当 时所证不等式也成立，即 当 时,取 于是有：11 1 12 1 12 1 1 kk k k kk kk xx yx yx xx xx xx xx nk 即当 时所证不等式也成立。 那么由数学归纳法可知题证成立。12 12 12 12 12 12 12 1 (3). ( ). , ;,( nn nn nn n xx xxxxx x xy x y x y xx xxxxx x xx xxx x xx xxxx 证明：易知对于 总有 于是可得 又由于 因此 2 ). n x x - 2 - 2. . 111 () , () 1
3、 ()( ) ;11 2( 1 )( 1 ) , 1( 1 ) ( 1 ) 1 1 ab a b ab a b x fx fx x a b a b ab f a b f a b ab ab aba b ab aba b aba babba a b aba b b a a b 求证 证明：令 易知 是一个增函数。 容易证得 ,那么 即由于 因此2 . 11 1 11 ab aba b aba b a b ab aba b aba b a b 3. max( , ) ;min( , ) . 22 22 .m a x ( , ) ; 2222max( , ). 2222. min( , ); 222
4、2ab ab ab ab ab ab ab ab abab iab a ab ab ab abba ab b ab ab ab abab ii a b b a b ab 求证： 证明： 当 时 当时 当时 当 min( , ). 2222 max( , ) ,min( , ) 22 22 ab ab abba aa b ab ab ab ab ab ab 时 于是有 成立。4. () , sin , sin( ) . 2 (0,180 ). ab s ah b ab s 已知三角形的两条边分别为 和 ，它们之间的夹角为 ，试求此三角形的面积 并 求其定义域。 解：由题意可知在三角形中以边 为底
5、的高 于是有 显然在三角形中其中一角 2 2 2 23 5. ,; 44 (0, r h hR r VR h hr h h 在半径为 得瑟球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并求此函数 的定义域。 解：设其高为 那么圆柱的底面半径为 于是圆柱体积由于圆柱为球的内接圆柱，故有 2) . r - 3 - 6. 20 , 5 ( 5 ) 1 51 5(1 5 )2 2 5 1 (0,5( ) 2 (5,15 2. Km Km Km Km Km Km yx x yx x 某公交车路线全长为 票价规定如下：乘坐 以下 包含 者收费 元；超过 但在 以下 包含 者收费 元；其余收费 元 角
6、。试将票价表示成路线的 函数，并作出函数的图像。 解：设 为票价, 为路程,则有 . 5 (15,20 x 它的函数图像如下： 画图板作图 7. ( ), (0) 0, (10) 20, (20) 0, ( )(0 20),2 0,10( ) 40 2 (10,20 tf t ffff tt tt ft tt 一脉冲发生器产生一个三角波，若记它随时间的变化规律为 且三个角分别对应关 系 求 并作出函数的图形。 解：由题意可知所求函数为： 其函数图像为：-10 10 20 30 5 10 15 20 25 30Mathematica作图 - 4 - 2 4 2 2 8. (1). ( ) 1 2
7、 (2) ( ) sin (3) ( ) (4) ( x x fx x fx x x fx xe fx 判断下列函数的奇偶性： 偶函数； 奇函数； 偶函数； 2 ) lg( 1 ) xx 非奇非偶函数。2 22 22 22 2 9. (1). ( ) cos ; () ( ) () , c o s c o s ( ),2 ( ) 2 . 22 fx x tfx fxtfx x xt xkxtxt xt kt xt 判断下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期： 解：设 是 的最小正周期，则应有 即 可得 即求方程 的解，显然没有一个非零常数满足方程。故原函数没有周期。(2) ( ) cos 2
8、sin ; 23 cos 4 sin 6 23 12 . xx fx xx 解：由于 的最小正周期为 ， 的最小正周期为 ，取它们的最小公倍数。 即原函数的最小正周期为(3). ( ) cos ; 4 2 8. 4 (4). ( ) tan . tan . fx x T fx x x 解：由三角函数的性质可以知道此函数的最小正周期为 解：由于函数 的最小正周期为 ，故此函数的最小正周期也是2 2 2 2 2 10. ( ) ( , ) 1 6, ( , ) ( ) 6. 66 6 0 1 ( 1) 144 143 0, (,) () 6 () (,) 1 x fx x Mxf x M x xx
9、 x x xf x Mf x x 证明： 在 有界。 证明：取 现证明对 ，都有 即要证明 恒成立，这等价于不等式 恒成立；而此一元二项式的判 别式 于是不等式恒成立。 因此对于 ，都有 ；即 在 有界。 - 5 - 2 0 0 2 1 1 1 . () (,) () ( 0 , 1 ) 0 , (,) , () , () (,) 1 0, (0,1), 1 ()1 . 1 () ( 0 , 1 ) fx ab fx x Mx a bf xM f xa b Mx M fx MM fx x 用肯定语气叙述函数 在 无界，并证明 在 内无界。 解：对于 总 使得 则 在区间 内无界。 对任意 取
10、显然有故 在 上无界。12. .( )( ) ( )() ,( )() .( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). .( )( ifxgx fxfxgxgx Fx fxgx f xg x F x ii f x g x 试证明两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是奇函数，一个奇函数和一 个偶函数的乘积是奇函数。 证明： 设 与 是两个偶函数，即有 那么必有 于是两个偶函数的乘积是偶函数。 设与)( ) ( ) , ( ) ( ) .( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). .( ) ( ) ( )() ,( )() .fx fxgx gx Gx fxgx f x g x G
11、 x i i ifx gx fx fxgx gx 是两个奇函数，即有 那么必有 于是两个偶函数的乘积是偶函数。 设 是一个偶函数，而 是一个奇函数，即有 那么必 有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Hx fxgx f x gx H x 因此一个偶函数与一个奇函数的乘积是奇函数。13. ( ) ( , ) ( ) () , () () ( ) () () ( ) () () () . 2 () () 22 fx fx fx Gx fx fx Fx fx fx Gx Fx fx Gx Fx 设 为定义在 上的任意函数，证明 可以分解为奇函数与偶函数的和。 证明：对任意的 可以证明
12、是偶函数，而 是奇 函数；于是有显然 还是偶函数， 还是奇函数，即得所证。00 0 12 1 2 00 0 14. ( , ) (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) ( 1 ) (,) () () ;(2) ( , ) ( ) ( );(3) ( , ) ( ) 0;(4) 0, ( , fx fx fx fx xf x f x x x fx fx xf x Mx 用肯定语气叙述：在 上 不是奇函数； 不是单调上升函数； 无零点； 无上界。 解： 存在 ，使得 存在 ，使得 对任意 ，总有 对任意的 总有 0 ), ( ) . fxM 使得 - 6 - 第二节 复合函
13、数与反函数 1 1 . () , () ) . 1 111 1 1( ) 2 11 () ) . 111 1( ) 2 1 11 x fx ffx x x xxx fx x xx ffx x xxx fx x x 设求 证 证明： 得证。2 2 2 2 2. 11 (1) ( ), 1 ; 2 11 ()1 ( 1 ,) . 2 11 () 2 244 1; 2 (1, ), 1. () 1 , ( 1 , ) . yx x x yx x y x yx x yy xy y xx y y fx x x x 求下列的函数的反函数及其定义域： 解：函数 ，当 时，有 由 可以反解出因为 故 于是原函
14、数的反函数为2 22 1 (2) ( ), ; 2 1 (,) (,) ; ( ) 2 21 0 1, 0 1xx xx xx xxx yee x xyy e e ey e eyy e eyy 解：当 时，可以解出 由 可以整理出； 于是可得解得 由于 恒成立，于是有 ，即 2 2ln( 1). () l n ( 1 ) , ( , ) . xyy fx x x x 因此原函数的反函数为2 21 (3) 1 4 . 2 41, 11 4, 1 16 , log 4 , 16x xx yx x x yxy xy x y yx y 解：依次可以解得 于是所求反函数为 211 16 . log 16 xx yx x xx
