1、第 1 页 共 25 页2017 年九年级数学中考 综合题 30 题1.如图,在ABC 中,以 AB 为直径的O 分别于 BC,AC 相交于点 D,E,BD=CD,过点 D 作O 的切线交边 AC 于点F（1）求证：DFAC；（2）若O 的半径为 5， CDF=30，求 的长（结果保留 ）2.如图，AB 是O 的直径， BAC =90，四边形 EBOC 是平行四边形， EB 交O 于点 D，连接 CD 并延长交AB 的延长线于点 F（1）求证：CF 是O 的切线；（2）若F=30，EB =4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和 ）3.如图，AB 是O 的直径， AD 是O 的弦，点 F 是
2、DA 延长线的一点，AC 平分FAB 交O 于点 C，过点 C作 CEDF，垂足为点 E第 2 页 共 25 页（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若 AE=1，CE=2，求 O 的半径4.如图，AB 为O 的弦，若 OAOD,AB 、OD 相交于点 C,且 CD=BD.（1）判定 BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）当 OA=3，OC=1 时，求线段 BD 的长.5.如图，AB是O的直径，弦 CDAB于点E，点P在O上，1=BCD（1）求证：CBPD；（2）若BC=3， sinBPD=0.6，求O 的直径6.如图，已知 AB 是的直径，AC 是弦，点 P 是 BA 延长线上一点，
3、连接 PC，BC PCA=B（1）求证：PC 是O 的切线；（2）若 PC=6， PA=4，求直径 AB 的长第 3 页 共 25 页7.已知 P 是O 外一点，PO 交O 于点 C，OC=CP=2，弦 ABOC，AOC 的度数为 60，连接 PB（1）求 BC 的长；（2）求证：PB 是O 的切线8.如图，RtABC 中，ABC=90，以 AB 为直径作半圆 O 交 AC 与点 D，点 E 为 BC 的中点，连接 DE（1）求证：DE 是半圆O 的切线（2）若BAC=30，DE =2，求 AD 的长9.如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，AD=12，过点 A，D 两点的 O 与 BC 边相
4、切于点 E，求O 的半径第 4 页 共 25 页10.如图，在O 中，半径 OAOB，过点 OA 的中点 C 作 FDOB 交O 于 D、F 两点，且 CD= ，以 O 为圆心，OC 为半径作 ，交 OB 于 E 点（1）求O 的半径 OA 的长；（2）计算阴影部分的面积11.如图，AB 是以 BC 为直径的半圆 O 的切线，D 为半圆上一点，AD =AB，AD，BC 的延长线相交于点 E（1）求证：AD 是半圆 O 的切线；（2）连结 CD，求证：A=2CDE；（3）若CDE=27，OB =2，求 的长12.如图，O 是ABC 的外接圆，圆心 O 在这个三角形的高 AD 上，AB=10，BC
5、 =12求O 的半径.第 5 页 共 25 页13.如图,O 的直径 AB 的长为 10，弦 AC 的长为 5，ACB 的平分线交O 于点 D.（1）求 BC 的长；（2）求弦 BD 的长.14.如图，O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交O 于点 E，连结 EC若 AB=8，CD=2，求 EC 的长15.如图，四边形 ABCD 内接于O ，点 E 在对角线 AC 上，EC=BC =DC（1）若CBD=39，求BAD 的度数；（2）求证：1=2。第 6 页 共 25 页16.（1）如图 1，将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB或
6、其延长线于点G，求证：EF=EG；（2）如图 2，将（1）中的“正方形ABCD” 改成“矩形ABCD ”，其他条件不变若AB=m，BC= n，试求EF :EG的值；（3 分）（3）如图 3，将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG分别交CD与CB于点F、G，且EC平分FEG若AB=2 ，BC=4，求EG 、EF 的长.17.将正方形ABCD放在如图所示的直角坐标系中,A点的坐标为(4,0),N点的坐标为(3,0) ，MN平行于y轴，E是BC 的中点，现将纸片折叠，使点C落在MN上，折痕为直线EF.(1)求点G的坐标；(2)求直线EF的解析式；(3)设点P为直线EF上一点，是否存在这
7、样的点P，使以P, F, G的三角形是等腰三角形?若存在，直接写出P点第 7 页 共 25 页的坐标;若不存在，请说明理由 .18.如图，在矩形ABCD中，B (16, 12) ，E , F分别是OC, BC 上的动点，EC+CF=8.(1)当AFB=60 0 时，ABF 沿着直线AF折叠，折叠后，落在平面内G点处，求G 点的坐标.(2)当F运动到什么位置时，AEF的面积最小，最小为多少?(3)当AEF的面积最小时，直线 EF与y轴相交于点M, P点在x轴上，OP与直线EF相切于点M ，求P点的坐标.19.如图,在RtABC中,B =90,AC=60cm,A =60,点D从点C出发沿CA方向以
8、 4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A 出发沿AB 方向以 2cm/秒的速度向点B匀速运动, 当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（0t 15）.过点D作DFBC于点F,连接DE，EF （1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能,求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时,DEF 为直角三角形？请说明理由第 8 页 共 25 页20.已知,四边形ABCD是正方形，MAN= 45，它的两边，边 AM、AN 分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AHMN，垂足为点H（1）如图 1，猜想AH与AB有什么数量关系？并
9、证明；（2）如图 2，已知BAC =45，ADBC于点D ，且BD=2，CD=3 ，求AD 的长小萍同学通过观察图发现，ABM和AHM关于AM对称，AHN和ADN关于AN 对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图进行翻折变换，解答了此题。你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？21.两块等腰直角三角形纸片 AOB 和 COD 按图 1 所示放置，直角顶点重合在点 O 处，AB=25，CD=17 保持纸片 AOB 不动，将纸片 COD 绕点 O 逆时针旋转 （0 90）角度，如图 2 所示（1）利用图 2 证明 AC=BD 且 ACBD；（2）当 BD 与 CD 在同一直线上（如图 3）时，求 A
10、C 的长和 的正弦值第 9 页 共 25 页22.如图,抛物线y=ax 2+bx-5(a0)经过点A(4,-5) ，与x轴的负半轴交于点B ，与y轴交于点C ，且OC=5OB ，抛物 线的顶点为D；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y 轴的正半轴上，且BEO =ABC，求点E的坐标；23.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+2 过 B（2，6），C（2，2）两点（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为 D，求 BCD 的面积；（3）若直线 y=0.5x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BDC
11、（包括端点 B、C）部分有两个交点，求 b的取值范围第 10 页 共 25 页24.如图,已知一次函数 y=0.5x+1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；二次函数 y=0.5x2+bx+c 的图象与一次函数 y=0.5x+1 的图象交于 B、C 两点,与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为(1 ，0)（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形 BDEC 的面积 S；（3）在 x 轴上是否存在点 P,使得PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P，若不存在，请说明理由25.已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A(-1，0),B(5，0)
12、, 与 y 轴交于 C(0，3).直线 y=x+1 与抛物线交于 A、E 两点，与抛物线对称轴交于点 D.(1)求抛物线解析式及 E 点坐标；(2)在对称轴上是否存在一点 M，使 ACM 为等腰三角形？若存在，请直接写出 M 点坐标；若不存在，请说明理由.(3)若一点 P 在直线 y=x+1 上从 A 点出发向 AE 方向运动，速度为 单位/秒，过 P 点作 PQ/y 轴，交抛物线第 11 页 共 25 页于 Q 点.设时间为 t 秒(0t6)，PQ 的长度为 L，找出 L 与 t 的函数关系式，并求出 PQ 最大值.26.如图，已知在平面直角坐标系中，点A（4，0）是抛物线y=ax 2+2x
13、c上的一点，将此抛物线向下平移 6 个单位后经过点B（0，2），平移后所得的新抛物线的顶点记为C，新抛物线的对称轴与线段AB的交点记为P（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C的坐标；（2）求CAB的正切值；（3）如果点Q是新抛物线对称轴上的一点，且 BCQ与ACP相似，求点Q的坐标27.如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（1，0）、B（5，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，5）（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）D 是笫一象限内抛物线上的一个动点（与点 C、B 不重合），过点 D 作 DFx 轴于点 F，交直线 BC 于点E，连结 BD、 CD设点 D 的横坐标为 m，BC
14、D 的面积为 S求 S 关于 m 的函数关系式及自变量 m 的取值范围；当 m 为何值时，S 有最大值，并求这个最大值；直线 BC 能否把BDF 分成面积之比为 2：3 的两部分？若能，请求出点 D 的坐标；若不能，请说明理由第 12 页 共 25 页28.对于某一函数给出如下定义：若存在实数 p，当其自变量的值为 p 时，其函数值等于 p,则称 p 为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差 q 称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度 q 为零.例如：下图中的函数有 0,1 两个不变值,其不变长度 q 等于 1.(1)分别判断函数
15、y=x-1，y=x -1,y=x2 有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；(2)函数 y=2x2-bx.若其不变长度为零，求 b 的值；若 1b3,求其不变长度 q 的取值范围；(3) 记函数 y=x2-2x(xm)的图象为 G1，将 G1 沿 x=m 翻折后得到的函数图象记为 G2，函数 G 的图象由 G1 和 G2两部分组成，若其不变长度 q 满足 0q3,则 m 的取值范围为 .29.如图,直线y=0.5x 与抛物线y =ax2b( a0)交于点A(-4,-2)和B (6,3),抛物线与y轴的交点为C(1)求这个抛物线的解析式；(2)在抛物线上存在点M，使 MAB是以AB为底边的等腰
16、三角形，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使得PAC 的面积是ABC的面积的四分之三？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由第 13 页 共 25 页30.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=x2+bx+c 过 A，B，C 三点，点 A 的坐标是(3,0)，点 C 的坐标是(0,-3)，动点 P 在抛物线上（1）b =_，c =_，点 B 的坐标为_； （直接填写结果）（2）是否存在点 P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点 P 作 PE 垂直 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D
17、，过点 D 作 x 轴的垂线垂足为 F，连接 EF，当线段 EF 的长度最短时，求出点 P 的坐标参考答案1.（1）证明：连接 OD，如图所示第 14 页 共 25 页DF 是O 的切线，D 为切点，ODDF ，ODF=90BD= CD，OA= OB，OD 是ABC 的中位线，OD AC，CFD=ODF=90，DFAC （2）解：CDF=30，由（1）得ODF=90，ODB=180CDFODF=60OB= OD，OBD 是等边三角形，BOD=60， 的长= = = 2.（1）证明：如图连接 OD四边形 OBEC 是平行四边形，OCBE，AOC=OBE，COD=ODB ，OB= OD，OBD=O
18、DB，DOC=AOC，在COD 和COA 中， ，COD COA，CAO=CDO=90 ，CFOD，CF 是O 的切线（2）解：F=30，ODF=90，DOF=AOC= COD=60，OD= OB，OBD 是等边三角形，DBO=60，DBO =F+FDB ， FDB=EDC=30，ECOB，E=180 OBD=120，ECD=180EEDC=30，EC=ED =BO=DB， EB=4，OB=OD OA=2，在 RTAOC 中，OAC=90，OA =2，AOC=60，AC=OAtan60=2 ，S 阴 =2SAOC S 扇形 OAD=2 22 =2 3.（1）证明：连接 CO，第 15 页 共
19、25 页OA= OC， OCA=OAC，AC 平分FAB，OCA =CAE，OCFD ，CEDF，OCCE， CE 是O 的切线；（2）证明：连接 BC，在 RtACE 中，AC= = = ，AB 是O 的直径， BCA=90，BCA=CEA ，CAE= CAB，ABCACE ， = ， ，AB=5，AO=2.5 ，即O 的半径为 2.54.证明：连接 OB，OA= OB，CD= DB，OAC =OBC，DCB=DBCOAC+ACO=90，ACO=DCB，OBC+DBC=90OBBD 即 BD 是O 的切线（2）BD=4.5.（1）证明：D=1，1=BCD，D =BCD，CBPD；（2）解：连
20、接AC，AB是O的直径，ACB=90，CDAB ，弧BD=弧BC，BPD=CAB，sinCAB=sinBPD = ，即 = ，BC =3，AB=5，即O的直径是 56.（1）证明：连接 OC，如图所示：AB 是的直径，ACB=90，即1+2=90，OB= OC， 2=B，又PCA=B，PCA =2，1+PCA=90，即 PCOC，PC 是O 的切线；（2）解：PC 是O 的切线，PC 2=PAPB，6 2=4PB，解得： PB=9， AB=PBPA=94=5 第 16 页 共 25 页7.（1）解：如图，连接 OBABOC，AOC=60，OAB=30 ，OB= OA，OBA =OAB=30，B
21、OC=60 ，OB= OC， OBC 的等边三角形，BC=OC又 OC=2，BC =2；（2）证明：由（1）知，OBC 的等边三角形，则COB=60，BC=OCOC=CP，BC=PC，P=CBP 又OCB=60，OCB=2P，P=30，OBP =90，即 OBPB又OB 是半径，PB 是O 的切线8.1）证明：连接 OD，OE，BD ，AB 为圆 O 的直径， ADB=BDC=90，在 RtBDC 中，E 为斜边 BC 的中点，DE=BE，在OBE 和ODE 中， ，OBEODE（SSS ），ODE =ABC=90，则 DE 为圆 O 的切线；（2）在 RtABC 中，BAC=30，BC= A
22、C，BC=2DE=4， AC=8，又C=60，DE=CE，DEC 为等边三角形，即 DC=DE=2，则 AD=ACDC=69.解：连接 OE，并反向延长交 AD 于点 F，连接 OA，BC 是切线，OEBC，OEC=90，第 17 页 共 25 页四边形 ABCD 是矩形，C=D=90，四边形 CDFE 是矩形，EF=CD=AB=8 ，OF AD，AF= AD= 12=6，设O 的半径为 x，则 OE=EFOE=8x，在 RtOAF 中，OF 2+AF2=OA2，则（8x） 2+36=x2，解得：x=6.25，O 的半径为： 6.2510.解；（1）连接 OD，OAOB ，AOB =90，CD
23、OB ，OCD =90，在 RTOCD 中，C 是 AO 中点，CD= ，OD=2CO，设 OC=x，x 2+（ ） 2=（2x） 2，x=1，OD=2，O 的半径为 2（2）sinCDO= = ，CDO =30，FDOB ，DOB =ODC=30，S 圆 =SCDO +S 扇形 OBDS 扇形 OCE= + = + 11.（1）证明：连接 OD，BD，AB 是O 的直径， AB BC，即ABO =90，AB=AD ，ABD=ADB，OB= OD，DBO=BDO，ABD+DBO =ADB+BDO，ADO =ABO =90，AD 是半圆 O 的切线；（2）证明：由（1）知，ADO= ABO =9
24、0，A=360ADO ABOBOD=180BOD，AD 是半圆 O 的切线，ODE=90，ODC+CDE=90，BC 是O 的直径，ODC+BDO=90，BDO=CDE，BDO =OBD，DOC =2BDO，DOC=2CDE，A=CDE；（3）解：CDE=27，DOC =2CDE=54 ，BOD =18054=126，OB=2， 的长= =第 18 页 共 25 页12.答案：6.25.13.（1） ；（ 2） .14.15.16.17.18.略19.解：（1）证明：直角ABC中，C=90A=30CD=4t，AE=2 t，又在直角 CDF中，C=30，DF=0.5CD=2t，DF=AE；第 1
25、9 页 共 25 页解：（2）DFAB ，DF= AE，四边形AEFD 是平行四边形，当AD= AE时，四边形AEFD是菱形，即 604t=2t ，解得：t=10，即当t =10 时，AEFD是菱形；（3）当t=7.5 时 DEF 是直角三角形（EDF=90）；当t=12 时，DEF是直角三角形（DEF=90）理由如下：当EDF=90时，DEBCADE =C=30AD=2 AECD=4t，DF=2 t=AE，AD=4t，4t+4t =60，t=7.5 时，EDF =90当DEF=90时，DEEF，四边形AEFD 是平行四边形，ADEF，DEAD ，ADE是直角三角形，ADE=90 ，A=60，
26、DEA =30，AD=0.5AE，AD=ACCD =604t，AE =DF=0.5CD=2t，604t=t ，解得t =12综上所述，当t=7.5 时DEF是直角三角形（EDF=90）；当t=12 时，DEF是直角三角形（DEF=90）20.（1）答：AB=AH. 证明：延长 CB至E使BE=DN，连结AE四边形ABCD是正方形，ABC= D=90，ABE=180ABC=90又AB=ADABEAEN（SAS）1=2，AE=ANBAD=90，MAN=45 1+3=90 MAN452+ 3=45即EAM =45又AM=AM EAMNAM（SAS）又EM和NM是对应边AB =AH（全等三角形对应边上
27、的高相等）(2)作ABD关于直线AB的对称ABE，作ACD关于直线AC 的对称ACF， AD是ABC的高，ADB=ADC=90E=F=90，又BAC=45 EAF=90延长EB、FC 交于点G，则四边形AEGF是矩形，又AE=AD= AF四边形AEGF是正方形由（1）、（2）知：EB=DB=2，FC=DC=3 设AD=x，则EG=AE=AD =FG=xBG= x2；CG=x 3；BC=2+3=5 在RtBGC中，( x-2)2+(x-3)2=52解之 得x 1=6,x2=-1（舍去）AD的长为 6.21.（1）证明：如图 2 中，延长 BD 交 OA 于 G，交 AC 于 EAOB=COD=9
28、0， AOC=DOB，在AOC 和BOD 中， ，AOCBOD，AC=BD，CAO=DBO ，DBO +GOB=90 ， OGB=AGE，CAO+AGE=90，AEG=90，BD AC （2）解：如图 3 中，设 AC=x，BD 、CD 在同一直线上，BDAC，ABC 是直角三角形，AC 2+BC2=AB2，x 2+（x+17） 2=252，解得 x=7，第 20 页 共 25 页ODC=+ DBO =45,ABC+ DBO=45,=ABC ，sin=sin ABC = = 22.23.第 21 页 共 25 页24.25.解：(1)y=-0.6x 2+2.4x+3,E(10/3,13/3)；(2)M(2，-1),(2，1),(2，3+ ),(2，3- )；(3)L=-0.6t2+1.4t+2(0t10/3)；L=0.6 t2-1.4t-4(10/3t5).当 t=5 时，L 最大=4.26.第 22 页 共 25 页27.28.第 23 页 共 25 页29.第 24 页 共 25 页30.第 25 页 共 25 页
