1、 学生教案第 1 页 共 19 页数列求通项公式的方法一、叠加法 1适用于： -这是广义的等差数列 累加法是最基1()naf+=本的两个方法之一。2若 ，1()nf2则 321() naff 两边分别相加得 11()nnkaf例 1 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n 12na， na解：由 得 则2na1123212()()()()()()1nnn 所以数列 的通项公式为 。na2na例 2.已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.n0n)(1naSna解:由已知 得 ,)(21nnaS )(211nnS化简有 ,由类型(1)有 ,n1 Sn31学生教案第 2 页 共 19 页又 得
2、 ,所以 ,又 , ,1aS2)1(nS0na2)1(nsn则 2)()(nn练习 1，已知数列 的首项为 1，且 写出数列 的通项na*12()naNna公式. 答案： 2n练习 2.已知数列 满足 ， ，求此数列的通项na31)2(11nan公式. 答案：裂项求和 4n练习 3. 已知数列 满足 ， ，求 。na21nan21na解：由条件知： 1)(121 nnan分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即)(,3,2n )()( 13412 naaa)1()所以 nn1，2an23评注：已知 , ，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次a1)(1fn函数、指数函数、分式函数，求通项
3、 .na若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;学生教案第 3 页 共 19 页若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。二、叠乘法 1.适用于： -这是广义的等比数列1()nnaf累乘法是最基本的二个方法之二。2若 ，则1()nfa 31212()()()naafff ， ， ，两边分别相乘得， 1()nnkfa例 3. 已知数列 满足 ， ，求 。n321nna1n解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得1an )(,个等式累乘之，即)1(n
4、13421naa n1432an又 ，练习 1.已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n112()53nn， na解：因为 ，所以 ，则 ，故112()53nnaa， 0na12()5n132122211(1)1(1)2(55()5()333!nnnnn 所以数列 的通项公式为na(1)25!.nna学生教案第 4 页 共 19 页练习 2.设 是首项为 1 的正项数列，且na（ =1，2， 3，） ，则它的通项公式是012n=_.na解：已知等式可化为： 0)1(1 nnaa( ) (n+1) , 即0na*N1n 1n时，2n1= = .1221aann 12nn评注：本题是关于 和 的二
5、次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用1求根公式）得到 与 的更为明显的关系式，从而求出 .n na练习.已知 ,求数列an的通项公式.1,1aan答案： -1.n)(!1评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式 转化为,11nan若令 ,则问题进一步转化为 形式，进而应),1(1nna1nab b用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于 1()naqfn基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如 ,其中 )型0(,1cdana1（1）若 c=1 时，数列 为等差数列;n学生教案第 5 页 共 19 页（2）若 d=0 时，数列
6、 为等比数列;na（3）若 时，数列 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法01且dcn构造辅助数列来求.待定系数法：设 ,)(1nnac得 ,与题设 比较系数得)(1can ,1dn,所以 所以有：dc)()0(,cd )1(1cdacann因此数列 构成以 为首项，以 c 为公比的等比数列，1can 1ca所以 即： .1)(nnd 1)1(cddann规律：将递推关系 化为 ,构造成公比为 ccan1)(1cnn的等比数列 从而求得通项公式dan )1(11cdadann例 4.已知数列 中， ，求数列 的通项公式。n11,2()nan解： 12()na又 是首项为 2，公比为 2 的等
7、比数列1,n，即2na1a四逐项相减法（逐差法 1）：有时我们从递推关系 中把 n 换成dcan1n-1 有 ,两式相减有 从而化为公比为 c 的等dcn1 )(1nnaca比数列 ,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即a 12学生教案第 6 页 共 19 页可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例 5 已知数列 中， ，求数列 的通项公式。na11,2()nana解： 12()n1a两式相减得 ，故数列 是首项为 2，公比为 211()(2nna1na的等比数列，再用累加法的练习已知数列 中， 求通项 。na,2,11nnana答案：)21(n2形如： (其中 q 是常数，且 n 0,
8、1) nnqap1 若 p=1 时，即： ，累加即可.n1若 时，即： ，n求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以 .目的是把所求数列构造成等1np差数列即： ,令 ，则 ,然后类型 1，nnqpap)(11nabnnqpb)(1累加求通项.ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。1n即： ,qapqnn1令 ,则可化为 .然后转化为类型 5 来解，nbqbpnn11iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设 .通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通)(11 nnnn paqa 学生教案第 7 页 共 19 页项.注意：应用待定系数法时，要求 p q，否则待定系数
9、法会失效。例 6 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na11243nna， na解法一（待定系数法）：设 ，比较系数得112(3na)，124,则数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，13na 1435a所以 ，即5n1nn解法二（两边同除以 ）： 两边同时除以 得： ，下面解1nq13n1243nna法略解法三（两边同除以 ）： 两边同时除以 得： ，下面1np12nnna)2(341解法略练习. 已知数列 中， , ，求 。na65111)(3nnana解：在 两边乘以 得：1)2(3n 21)2(31n令 ，则 ,应用例 7 解法得：b21nnb nb所以 na)(3形如 (其中
10、 k,b 是常数，且 )bkpn1 0k方法 1：逐项相减法（逐差法）方法 2：待定系数法通过凑配可转化为 ; )1()(1ynxapyxna解题基本步骤：1、确定 =kn+b()fn2、设等比数列 ，公比为 p)(yxnab学生教案第 8 页 共 19 页3、列出关系式 ,即)1()(1ynxapyxna1npb4、比较系数求 x,y5、解得数列 的通项公式)(n6、解得数列 的通项公式a例 7 在数列 中， 求通项 .（逐项相减法）n ,23,1nanna解： ， 231时， ，2n)(1an两式相减得 .令 ,则21n nnab1231nb利用类型 5 的方法知 即 35nb51再由累加
11、法可得 . 亦可联立 解出212ann.1325ann练习. 在数列 中， ,求通项 .（待定系数法）na362,311nan na解：原递推式可化为 yxyxnn )()(1比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为 2b所以 是一个等比数列，首项 ,公比为 . nb 2961na11)2(9nnb即：nna)21(96故 .)(nn5.形如 时将 作为 求解21 nnapqan()f学生教案第 9 页 共 19 页分析：原递推式可化为 的形式，比较系数可求211() nnapa得 ，数列 为等比数列。1n例 8 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。211256,nnna解：设 211()n
12、naa比较系数得 或 ，不妨取 ， （取 -3 结果形式可能不同，但本322质相同）则 ，则 是首项为 4，公比为 3 的等比数列211()nnaa1na，所以143 14352n练习 1.数列 中，若 ,且满足 ,求 .na,821 012nnan答案： .练习 2.已知数列 ，:,且 满 足的 各 项 都 是 正 数naNnaann),4(21,0求数列 的通项公式 an.n解： 所以 ,4)2(1)4(21nnn aa 21)()2(nnaa又nnnnn bbbbb 1221 1), 则令bn=1，所以 .122 (,)(nnnna即方法 2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.
13、解法 3：设 c ，nb则 c ,转化为上面类型（1）来解n学生教案第 10 页 共 19 页五、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例 9 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112,nnana解：求倒数得 为等差数列，首项 ，111,22nnnna1a公差为 ，2(),na六、对数变换法 适用于 (其中 p,r 为常数)型 p0， rnnpa1 0na例 10. 设正项数列 满足 ， （n2）.求数列 的通项公21n式.解：两边取对数得： ， ，设122loglnnaa )1(logl22nnaa，则 是以 2 为公比的等比数列，1log2nab1bb， ， ，11nn
14、 1lnanl12na12na练习 数列 中， ， （n2） ，求数列 的通项公式. n1a12nnana答案：2例 11 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na5123nna17na解：因为 ，所以 。51237n， 0nn，两边取常用对数得 1lgllgnn设 （同类型四）1lg()5()naxyaxy比较系数得， l3l2,4164由 ，得1lgg3lg2l70164学生教案第 11 页 共 19 页，lg3lg204164na所以数列 是以 为首项，以 5 为公l3l nlg3l27416比的等比数列，则 ，因此1l2glg(l)164nna 11166444451145632
15、lg3glg(l7)l()l(32)g32g7nnn nna则 。1154nna七、换元法 适用于含根式的递推关系例 12 已知数列 满足 ，求数列 的通na1 1(42)6nnnaa， na项公式。解：令 ，则124nnb2()nnb代入 得(6aa221()(1)44nnn即 23b因为 ， 0nna则 ，即 ，12132nb可化为 ，3()nnb所以 是以 为首项，以 为公比的等11432413a21比数列，因此 ，则 ，即 ，22()nnn2()nb24()3na得。21()343nna学生教案第 12 页 共 19 页八、逐差法 2（逐项相减法）1、递推公式中既有 ，又有nSna分析
16、：把已知关系通过 转化为数列 或 的递推关系，然1,2nnSnaS后采用相应的方法求解。例 13 已知数列 的各项均为正数，且前 n 项和 满足 ，nan1()26nna且 成等比数列，求数列 的通项公式。249,ana解：对任意 有 N1()26nS当 n=1 时， ，解得 或11a112a当 n2 时， ()nnn-整理得： 113)0 各项均为正数，nana当 时， ，此时 成立132n249当 时， ，此时 不成立，故 舍去21212a所以 na练习。已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.na0n2)(1nnSn答案： S1 21a1a2、对无穷递推数列例 14 已知数列 满足 ，
17、求na11231()(2)n na，的通项公式。na解：因为 1231()()n n所以 1aa 用式式得 1.nn学生教案第 13 页 共 19 页则 故1()2)nna1(2)na所以 13222 !()43.n na 由 ， ，则 ，131n naaa 212a取 得 21又知 ，则 ，代入得 。2 !345n所以， 的通项公式为n !.2n数列的通项公式与求和 112342, (1,23)3(1), .nnnnnaSaS 数 列 的 前 项 为 且 ，求 的 值 及 数 列 的 通 项 公 式求111 2, (1,).:();24nnnnnaSaSS 数 列 的 前 项 和 记 为 已
18、 知 ， 证 明数 列 是 等 比 数 列练习 1练习 2学生教案第 14 页 共 19 页*12 1()3(),;:.nnnnaSaN已 知 数 列 的 前 项 为 ，求求 证 数 列 是 等 比 数 列112,.2nnnaaa 已 知 数 列 满 足 求112,.3nnnaaa 已 知 数 列 满 足 求1115,().632nnnaaa已 知 数 列 中 求1: ,.3nn naa a已 知 数 列 满 足 ， 求 数 列 的 通 项 公 式练习 3练习 4练习 5练 习 6练习 7学生教案第 15 页 共 19 页练 8 若等比数列 的前 项和 S 2 ，则na22321a练习 9 求
19、和：5，55，555，5555， ，；5(10)9n练习 10 求和：1147(32)()n练习 11 已知求和：1 12323n 学生教案第 16 页 共 19 页练 习 12 设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且nanb， ，1b352153a（）求 ， 的通项公式；n（）求数列 的前 n 项和 nabnS答案练习 1 答案：练习 2 证明： (1) 注意到：a(n+1)=S(n+1)-S(n) 代入已知第二条式子得： S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) 234216,971(
20、)nnaa 23()1n学生教案第 17 页 共 19 页S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2 又 S(1)/1=a(1)/1=1 不等于 0 所以S(n)/n是等比数列 (2) 由(1)知，S(n)/n是以 1 为首项，2 为公比的等比数列。 所以 S(n)/n=1*2(n-1)=2(n-1) 即 S(n)=n*2(n-1) (*) 代入 a(n+1)S(n)*(n+2)/n 得 a(n+1)=(n+2)*2(n-1) (n 属于 N) 即 a(n)=(n+1)*2(n-2) (n 属于 N 且 n1) 又当 n=1 时上式也成立 所以 a(n)=(n+1)*2(n-2) (n 属于
21、N) 由(*)式得：S(n+1)=(n+1)*2n=(n+1)*2(n-2)*22=(n+1)*2(n-2)*4 对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n练习 3 答案：1)a1=S1=1/3(a1-1)a1=-1/2a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/23a2=a2-1+3/22a2=1/2a2=1/42)3Sn=an-13S(n-1)=a(n-1)-1相减：3an=an-a(n-1)2an=-a(n-1)an/a(n-1)=-1/2所以an为等比数列！ na123学生教案第 18 页 共 19 页练习 4 累加法，答案：练习 5 累乘法，答案：练习 6 待定系数法，答案：练习 7
22、倒数法，答案：413n练习 8 公式法，答案：练习 9 答案： 55nnS 个 (99)n 个235(10)(1)(0)(10)n389n练习 10 ，列项相消法，答案 31练习 11，,列项相消法 1/(1+2+3+n)=1/n(n+1)/2=2/n(n+1)所以原式=1+2/2*3+2/3*4+2/n(n+1)=1+2*(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/n-1/(n+1)=1+2*1/2-1/(n+1)=2-2/(n+1)练习 12 （错位相减法）答案：解：（）设 的公差为 ， 的公比为 ，nadnbq则依题意有 且0q42113q，解得 ， 所以 ，2d()nadnna321()nn32na学生教案第 19 页 共 19 页 （）12nbq12nab ，1221353nnnS ，32nnn得，221n nS22112nn12n1362n
