1、1.3.2 奇偶性,1.3 函数的基本性质,请观察以下两组函数的图象，从对称的角度，你发现了什么？,偶函数与其性质,图象关于 y轴对称,再观察表，你看出了什么？,当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等。,实际上，对于R内的任意一个x，都有,这时我们称函数 为偶函数.,偶函数定义,一般地，如果对于函数 的定义域内的任意一个 ，都有 那么称函数 是偶函数（even function）；,1、偶函数,偶函数性质,2、偶函数,图象关于y轴对称；,【强化】判断：对于定义在 上的函数 ，,（1）若 则 是偶函数；,（2）若对于定义域内的一些 ，使 则 是偶函数；,（3）若对于定义域内的无数个 ，使
2、 则 是偶函数；,（4）若对于定义域内的任意 ，使 则 是偶函数；,（5）若 则 是偶函数。,奇函数及其性质,图象关于 原点对称,一般地，如果对于函数 的定义域内的任意一个 ，都有 那么称函数是奇函数（odd function）；,结合偶函数的定义，你能总结出奇函数的定义吗？,1、奇函数,奇函数性质,2、奇函数,图象关于原点对称；,3、若奇函数 f(x) 在 x=0 处有定义，则 f(x)=0 .,如果函数 是奇函数或者是偶函数，我们就说函数 具有奇偶性。,函数奇偶性定义,具有奇偶性的函数，对于函数 的定义域内的任意一个 x 满足 意味着其定义域满足怎样的条件？,-定义域关于原点对称.,定义域
3、关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.,【探索】,！注意：函数的奇偶性是相对于整个定义域来说的，是整体性质，而单调性是相对于定义域的某个期间而言的，是局部性质.,奇偶性的分类,例如：,例5、判断下列函数的奇偶性：,(1)解：f(x)定义域为R,关于原点对称。, f(x) 偶函数,(2)解：f(x)定义域为x|x0 关于原点对称。,f(x)奇函数,判断或证明函数奇偶性的基本步骤：,练习,判断下列函数的奇偶性：,1、偶函数,偶函数,（2）性质：,图象关于y轴对称；,2、奇函数,（1）定义,奇函数,（2）性质：,图象关于原点对称；,（1）定义,若奇函数 f(x) 在 x=0 处有定义，则 f(x)
4、=0 .,3、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.,上节回顾,判断函数奇偶性的方法：,步骤：一看、二找、三判断。,1、图像法：,2、定义法：,3、性质法（运算性质）：,例1、判断下列函数的奇偶性：,例2、判断函数 的奇偶性.,分段函数奇偶性的判断：,练习：证明函数 是奇函数.,分段函数奇偶性的判断：,例3、函数 若对于任意实数a,b都有求证： 为奇函数.,抽象函数奇偶性的判断：,练习：已知函数的右半部分图象，根据下列条件把函数图 象补充完整；f(x)是偶函数; 2) f(x)是奇函数.,x,y,O,1,2,x,y,O,1,3,2,-1,B,A,-2,-1,1,-3,-1,观看下列两个
5、偶函数的图像，思考：y轴两侧的图像有何不同？可得出什么结论？,O,x,结论：偶函数在y轴两侧的图像的升降方向是相反的；即：偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.,观看下列两个奇函数的图像，思考：y轴两侧的图像有何特点？可得出什么结论？,思考：奇函数是否具有相同的性质？,结论：奇函数在 y 轴两侧的图像的升降方向是相同的； 即：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同.,练习：,（1）已知偶函数 在区间 上为减函数.则 的大小关系是 .,（2）若函数 是偶函数，则实数a= .,0,（3）已知 均为奇函数，且 在 上的最大值为5，则在 上 的最小值为 .,-1,例:已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时 ，当 时， .,练习：函数 是R上的奇函数，当 时求 的解析式.,例:已知函数 是奇函数，其定义域为 ，且在 上为增函数.若 试求 的 取值范围.,解:,练习：,已知函数 是R上的偶函数，在区间 上递增，且有 求 的取值范围.,例3,范围是 （ ）,D,
