1、要点梳理1 函数的奇偶性 2 3函数的奇偶性 基础知识自主学习 f x f x y轴 奇偶函数的定义域有何特点 由于定义中对任意一个x都有f x f x 或f x f x 说明定义域中任意一个x都有一个关于原点对称的 x在定义域中 即说明奇偶函数的定义域关于原点对称 f x f x 原点 提示 思考 2 奇偶函数的性质 1 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 填 相同 相反 2 在公共定义域内 两个奇函数的和是 两个奇函数的积是偶函数 两个偶函数的和 积是 一个奇函数 一个偶函数的积是 奇函数 偶函数 奇函数 相同 相反 基础自测1 对任意实数x 下列函
2、数中是奇函数的是 y 2x 3 y 3x2 y ln5x y x cosx 解析 非奇非偶 为偶函数 为奇函数 y f x xln5 f x 2 已知是奇函数 则实数a的值等于 解析 函数f x 的定义域为R f 0 0 2a 2 0 即a 1 3 设函数f x x 1 x a 为偶函数 则a 解析 f x x 1 x a x2 a 1 x a 又f x f x a 1 0 a 1 1 1 4 已知函数 若f a b 则f a 解析方法一要使函数有意义 需 0 得 1 x 1 函数的定义域为 x 1 x 1 关于原点对称 函数f x 为奇函数 由f a b 得f a f a b 方法二由f a
3、 b 得 b 例1 判断下列函数的奇偶性 并说明理由 1 f x x2 x 1 x 1 4 2 3 判断函数的奇偶性 首先要检验其定义域是否关于原点对称 若关于原点对称 再严格按照奇偶性的定义进行推理判断 解 1 由于f x x2 x 1 x 1 4 的定义域不是关于原点对称的区间 因此 f x 是非奇非偶函数 典型例题深度剖析 分析 2 已知f x 的定义域为 1 1 其定义域关于原点对称 即f x f x f x 是偶函数 3 f x 的定义域为 x x R 且x 0 其定义域关于原点对称 并且有即f x f x f x 为奇函数 跟踪练习1判断下列各函数的奇偶性 解 1 由 0 得定义域
4、为 2 2 关于原点不对称 故f x 为非奇非偶函数 2 由得定义域为 1 0 0 1 这时 f x 为偶函数 3 x1 f x x 2 x 2 f x x 1时 f x x 2 x 1 f x x 2 f x 1 x 1时 f x 0 1 x 1 f x 0 f x 对定义域内的每个x都有f x f x 因此f x 是偶函数 例2 已知函数f x 当x y R时 恒有f x y f x f y 1 求证 f x 是奇函数 2 如果x R f x 0 并且f 1 试求f x 在区间 2 6 上的最值 1 根据函数的奇偶性的定义进行证明 只需证f x f x 0 2 根据函数的单调性定义进行证明
5、 并注意函数奇偶性的应用 分析 1 证明 函数定义域为R 其定义域关于原点对称 f x y f x f y 令y x f 0 f x f x 令x y 0 f 0 f 0 f 0 得f 0 0 f x f x 0 得f x f x f x 为奇函数 2 解方法一设x y R f x y f x f y f x y f x f y x R f y 0 f x y f x 0 f x y x f x 在 0 上是减函数 又 f x 为奇函数 f 0 0 f x 在 上是减函数 f 2 为最大值 f 6 为最小值 f 1 f 2 f 2 2f 1 1 f 6 2f 3 2 f 1 f 2 3 所求f
6、 x 在区间 2 6 上的最大值为1 最小值为 3 方法二设x10 f x2 x1 0 f x2 f x1 0 即f x 在R上单调递减 f 2 为最大值 f 6 为最小值 f 1 f 2 f 2 2f 1 1f 6 2f 3 2 f 1 f 2 3 所求f x 在区间 2 6 上的最大值为1 最小值为 3 跟踪练习2已知函数f x 对一切x y R都有 f x y f x f y 1 求证 f x f x 0 2 若f 3 a 试用a表示f 12 1 证明在f x y f x f y 中令y x 得f 0 f x f x 再令y 0 得f x f x f 0 f 0 0 f x f x 0
7、2 f 3 a f 3 a f 3 a f 12 f 6 6 f 6 f 6 2f 6 f 6 f 3 3 2f 3 f 12 4f 3 4a 例3 2009 江苏如东期中 已知定义域为R的函数是奇函数 1 求a b的值 2 证明 函数f x 在R上是减函数 3 若对任意的t R 不等式f t2 2t f 2t2 k 0恒成立 求k的取值范围 首先根据奇函数的定义求出a b 再利用单调性解不等式 分析 1 解因为f x 是奇函数 且定义域为R 所以f 0 0 即解得b 1 解得a 2 2 证明由 1 知 即f x1 f x2 函数f x 在R上为减函数 3 解方法一由 1 知由上式易知f x
8、在 上为减函数 又因为f x 是奇函数 从而不等式f t2 2t f 2t2 k 2t2 k 即对一切t R有3t2 2t k 0 从而判别式 4 12k0 上式对一切t R均成立 从而判别式 4 12k 0 解得 跟踪练习3若定义在R上的函数f x 对任意的x1 x2 R 都有f x1 x2 f x1 f x2 1成立 且当x 0时 f x 1 1 求证 f x 1为奇函数 2 求证 f x 是R上的增函数 3 若f 4 5 解不等式f 3m2 m 2 3 1 证明定义在R上的函数f x 对任意的x1 x2 R 都有f x1 x2 f x1 f x2 1成立 令x1 x2 0 则f 0 0
9、f 0 f 0 1得f 0 1 令x1 x x2 x 则f x x f x f x 1 f x 1 f x 1 0 f x 1为奇函数 2 证明由 1 知 f x 1为奇函数 f x 1 f x 1 任取x1 x2 R 且x10 f x1 x2 f x1 f x2 1 f x2 x1 f x2 f x1 1 f x2 f x1 1 f x2 f x1 1 当x 0时 f x 1 f x2 x1 f x2 f x1 1 1 f x1 f x2 f x 是R上的增函数 3 解 f x1 x2 f x1 f x2 1 且f 4 5 f 4 f 2 2 f 2 f 2 1 5 f 2 3 不等式即为f
10、 3m2 m 2 f 2 f x 是R上的增函数 于是有3m2 m 2 2 解得 1 m 不等式f 3m2 m 2 3的解集为 1 例4 14分 已知函数f x 的定义域为R 且满足f x 2 f x 1 求证 f x 是周期函数 2 若f x 为奇函数 且当0 x 1时 f x 求使f x 在 0 2009 上的所有x的个数 1 只需证明f x T f x 即f x 是以T为周期的周期函数 2 由第 1 问可知只需求一个周期中f x 的x的个数便可知在 0 2009 上的x的个数 分析 1 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x f x 是以4为周期的周期函数 4分
11、 2 解当0 x 1时 f x 设 1 x 0 则0 x 1 f x 是奇函数 f x f x 故f x 1 x 1 8分 又设1 x 3 则 1 x 2 1 f x 2 x 2 又 f x 2 f 2 x f x 2 f x f x f x x 2 f x x 2 1 x 3 10分 由f x 解得x 1 12分 f x 是以4为周期的周期函数 故f x 的所有x 4n 1 n Z 令0 4n 1 2009 则又 n Z 1 n 502 n Z 在 0 2009 上共有502个x使f x 14分 跟踪练习4已知函数f x a b c Z 是奇函数 且f 1 2 f 2 3 求a b c的值
12、解 f x 为奇函数 f x f x ax2 1 0 c 0 f 1 2 2 a 1 2b 又f 2 3 把2b a 1代入得 1 a 2 a Z a 0或a 1 当a 0时 b Z 舍去 当a 1时 b 1 综上所得 a 1 b 1 c 0 高考中函数的奇偶性常与函数的单调性 最值结合考查 其中对函数图象的考查也离不开函数的奇偶性 常以填空题的形式出现 是高考的热点 1 奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之一 为了便于判断 有时需要将函数进行化简 或应用定义的变换形式 思想方法感悟提高 高考动态展望 方法规律总结 2 奇函数的图象关于原点对称 并且在两个对称区间上有相同的单调性 偶函数的图
13、象关于y轴对称 并且在两个对称区间上的单调性相反 3 函数的奇偶性是整个定义域上的性质 因此 讨论奇偶性首先要看其定义域 4 解题中要注意以下性质的灵活运用 1 f x 为偶函数 f x f x 2 若奇函数f x 在x 0时有定义 则f 0 0 一 填空题1 2009 江西改编 已知函数f x 是 上的偶函数 若对于x 0 都有f x 2 f x 且当x 0 2 时 f x log2 x 1 则f 2008 f 2009 的值为 解析f 2008 f 2009 f 2008 f 2009 f 0 f 1 log21 log2 1 1 1 1 定时检测 2 2010 江苏南京模拟 已知y f
14、x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x2 2x 则在R上f x 的表达式为 解析设x0 由f x 为奇函数知f x f x x 2 2 x x2 2x 即f x x x 2 f x x x 2 3 2010 浙江宁波检测 已知函数f x g x 2 x 3 3 且g x 满足g x g x 若f x 的最大值 最小值分别为M N 则M N 解析因为g x 是奇函数 故f x 关于 0 2 对称 所以M N 4 4 4 2010 泰州模拟 f x g x 都是定义在R上的奇函数 且F x 3f x 5g x 2 若F a b 则F a 解析令G x F x 2 3f x 5g x 故G
15、 x 是奇函数 又解得F a b 4 b 4 5 2010 无锡模拟 已知函数y f x 是定义在R上的奇函数 则下列函数中是奇函数的是 填序号 y f x y f x y x f x y f x x 解析 f x 的定义域为R f x f x y f x 是偶函数 令F x f x 则F x f x f x F x F x 是奇函数 是奇函数 令M x x f x 则M x x f x x f x M x M x 是偶函数 令N x f x x 则N x f x x f x x f x x N x N x 是奇函数 故 是奇函数 答案 6 2009 重庆 若f x 是奇函数 则a 解析 f
16、x f x 7 2009 江苏如东模拟 定义两种运算 则函数的奇偶性为 解析 函数f x 为奇函数 奇函数 8 2009 四川改编 已知函数f x 是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数 且对任意实数x都有xf x 1 1 x f x 则的值是 解析由xf x 1 1 x f x 可得又 1 f 1 1 1 1 f 1 f 0 0f 1 0 f 0 0 0 9 2009 连云港模拟 函数y f x 是偶函数 y f x 2 在 0 2 上单调递增 则f 1 f 0 f 2 的大小关系是 解析 f x 是偶函数 其图象关于y轴对称 又 y f x 2 的图象是由y f x 向右平移2个单位得到的
17、而y f x 2 在 0 2 上单调递增 f x 在 2 0 上单调递增 在 0 2 上单调递减 f 1 f 1 且f 0 f 1 f 2 其大小关系为f 0 f 1 f 2 f 0 f 1 f 2 二 解答题10 2009 江苏金陵中学三模 已知f x 是实数集R上的函数 且对任意x R f x f x 1 f x 1 恒成立 1 求证 f x 是周期函数 2 已知f 3 2 求f 2004 1 证明 f x f x 1 f x 1 f x 1 f x f x 1 则f x 2 f x 1 1 f x 1 f x f x f x 1 f x f x 1 f x 3 f x 1 2 f x 1
18、 1 f x f x 6 f x 3 3 f x 3 f x f x 是周期函数且6是它的一个周期 2 解f 2004 f 334 6 f 0 f 3 2 11 2009 广东东莞模拟 已知函数f x x2 x a 1 a R 1 试判断f x 的奇偶性 2 若求f x 的最小值 解 1 当a 0时 函数f x x 2 x 1 f x 此时 f x 为偶函数 当a 0时 f a a2 1 f a a2 2 a 1 f a f a f a f a 此时 f x 为非奇非偶函数 2 当x a时 f x x2 x a 1 a 故函数f x 在 a 上单调递减 从而函数f x 在 a 上的最小值为f
19、a a2 1 当x a时 函数f x x2 x a 1 a 故函数f x 在 a 上单调递增 从而函数f x 在 a 上的最小值为f a a2 1 综上得 当时 函数f x 的最小值为a2 1 12 2009 东北三省联考 设函数f x 在 上满足f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 且在闭区间 0 7 上 只有f 1 f 3 0 1 试判断函数y f x 的奇偶性 2 试求方程f x 0在闭区间 2005 2005 上的根的个数 并证明你的结论 解 1 f 4 x f 14 x f x f x 10 从而知函数y f x 的周期为T 10 又f 3 f 1 0 而f 7 0 故f 3 0 故函数y f x 是非奇非偶函数 2 由 1 知y f x 的周期为10 又f 3 f 1 0 f 11 f 13 f 7 f 9 0 故f x 在 0 10 和 10 0 上均有两个解 从而可知函数y f x 在 0 2005 上有402个解 在 2005 0 上有400个解 所以函数y f x 在 2005 2005 上有802个解 返回
