1、第四章 控制系统的频域分析法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 165 频率特性法 本章是通过对系统的频率特性研究分析自动控制系统，是一种经典方法。 问题：什么是频率特性，如何描述？如何利用频率特性分析控制系统？ 5.1 频率特性 5.1.1 频率特性的基本概念 我们知道，系统（包括开环系统和闭环系统）对正弦输入信号的稳态反应是用以描述系统性能的一种广泛应用的工程方法。频率特性描述了系统在正弦输入信号作用下，其输出信号与输入信号之间的关系 。设系统的传递函数为又设 其中 ： 的振幅为常值 ：正弦函数的角频率有 一般地 A（s），B（s）为 s 的多项式;为
2、的 极点，包括实数和共扼复数对稳定的系统而言均具有负实部。 （设系统无重极点） 其中， 待定， 是 的共扼复数， 为待定系数。 由拉氏反变换可得： 则输出信号的稳态分量： （对于稳定的系统具有负实部）注：如果系统中含有 k 个重极点，则在 中将会出现象（j=0，1，2，k-1）这样一些项，然而对于稳定的系统来说，由于具有负实部，所以 各项都将随着趋于无穷大而趋于零。因此具有重极点的稳定系统的稳态分量 具有和上式相同的形式。可按下式计算：（由留数公式） 及其中 为一复数，可表示为其中，模幅角同样可以证明， 是 的偶函数 是 的奇函数证明：设式中则 有 是 的偶函数 是 的奇函数 稳定的线性定常系
3、统在正弦输入下的稳态响应为： 可见：线性定常系统在正弦信 作用下的稳态响应仍是与输入信号同频率的正弦信号。其振幅是输入信号振幅R 的 倍，在相位上，正弦输出相对于输入的相移 ， 同样是的函数，对确定的 来说，振幅 C 及相移 将是确定的。综上：在正弦输入信号 的作用下，线性定常系统的输出信号的稳态分量 是和正弦输入信号同频率的正弦函数，其振幅 C 与输入正弦的振幅 R的比值 C/R= 是角频率的函数。它描述系统对不同频率的输入信号在稳态情况下的衰减（或放大）特性，定义这种振幅比依赖于频率 的函数为系统的幅频特性。 相对于输入信号 r(t)的相移 也是 的函数，是系统输出信号的稳态分量 对正弦输
4、入信号 r(t)的相移 为该系统的相频特性，它描述系统的稳态输出对不同频率的正弦输入信号在相位上产生相角滞后或相角超前 的特性。上述幅频特性 及相频特性 ，统称为系统的频率特性。记为由上面的分析有： 可见：（a）对线性定常系统，当输入是正弦信号时，输出的稳态值是同频率的正弦信号，即 不变；（b）输出的稳态值与输入信号的幅值比定义： 为系统的幅频特性（c）输出信号相对于输入信号的相移定义： 为系统的相频特性 总： 为系统的频率特性。 频率特性的求取：（常用三种） 实验方法令 对 测得 为幅频特性 为相频特性频率由定义求 由上面的推导直接由例 1：已知 求其频率特性 例 2：已知 求其频率特性 频
5、率特性，传递函数，微分方程之间的关系：结论： 微分方程、传递函数是我们已经接受了的数学模型，从形式和结构上看，频率特性与他们包含了相同的信息量，从而频率特性也能作为控制系统数学模型的一种。 5.1.2 频率特性的几何表示法在工程分析和设计中，为了直观、方便，通常把频率特性画成一些曲线，在曲线上进行研究。常用的曲线有三种：幅相频率曲线（极坐标图）、对数频率特性曲线（伯德图，对数坐标图）、对数幅相曲线（对数幅相图、尼柯尔斯图）5.1.2.1 幅相曲线（极坐标图）在复平面上，以频率为参量，将频率特性的幅频特性和相频特性同时表示出来。例：解：0 1 00.890.707 0注： 是的偶函数，是的奇函数
6、，从而知： 对称于实轴，故幅相曲线只需画 由 时的情况，而的部分，对称于实轴便得到了。 5.1.2.2 对数频率特性曲线（伯德图，对数坐标图）对数频率特性曲线包括：对数幅频曲线、对数相频曲线两条。其中，对数幅频曲线：横坐标 （按 的对数分度） 单位：弧度/秒纵坐标 单位： 分贝 dB对数相频曲线：横坐标 同上纵坐标 相频特性的值 （均匀分度） 单位：度横坐标：频率 变化十倍称为一个十倍频程，对应横坐标的间隔距离为一个单位，变化二倍称为一个一倍频程。例：即 有：的对数幅频和对数相频特性 5.1.2.3 对数幅相曲线（尼柯尔斯曲线）（对数幅相图、尼柯尔斯图） 横坐标：对数相频特性的相角纵坐标：对数
7、幅频特性的分贝数例：由上例计算可知，对数频率特性可得：5.1.3 频率特性与零-极点图之间的关系表示纵轴，各零、极点到纵轴各点的距离及夹角即是频率特性。如：= 这些模及夹角均由图中可以量得。 5.2 典型环节的频率特性 一般地，系统的开环传递函数为经过因式分解，总可以分成一些典型的环节： 1. 比例环节： 2. 惯性环节： 3. 一阶微分环节： 4. 积分环节： 5. 微分环节： 6. 振荡环节： 7. 二阶微分环节： 一个稳定的系统是由一些典型环节组合而成的。本节讨论这些典型环节的频率特性。1) 比例环节2)积分环节 3)微分环节 4） 惯性环节 容易证明，其幅相曲线是一个半圆。圆心（0.5
8、， ），半径0.5。对数幅频特性曲线，渐近线渐近线与准确值的误差这些计算可得误差曲线。（略）可见： 与 之差，在交接频率的地方为最大（即 时为最大）-3dB；在低于或高于交接频率一倍频程时为-0.97dB；在低于或高于交接频率的十倍频程处为-0.04dB。因此在具体作图时，只要将渐近线上将交接频率的地方下降 ，附近地方平滑即得大致图形。另外，横坐标不同，对数幅频特性曲线形状不变。如对数相频特性曲线由 可求得： 5)一阶微分环节 与惯性环节相比，差一负号，因此有：6)振荡环节 其零，极点图：其幅频特性和相频特性时 时 故早幅相特性上有如图的特征，即：振荡环节的幅相曲线从实轴上 撒谎能够开始，最后
9、在第象限与负实轴相切，交于原点。由 的表达式 ，可以导出：导入可得出其幅相特性曲线如下图：由相角条件：与虚轴相交对数幅频特性：这时注：这二中情况与 无关，只是渐近线。误差 讨论如下：由 的表达式可得 图（略）。进而真值：即有 的图形如下：其对数相频特性解释几个在频率特性中的概念：谐振峰值 谐振频率 无因次谐振频率 无因次阻尼振荡频率 解释：由 可得到 的关系曲线（略）当 变化时 的形状也变化， 小于某一值时 出现峰值称为谐振峰值，对应 的频率 为谐振频率谐振频率 与自然频率之比 称为无因次谐振频率随 的减小而增大，最终趋于 1 无因次阻尼振荡频率描述了阻尼振荡频率与自然频率之比，由上面的定义在
10、量值上可计算如下：的计算：为求峰值，对求导并令为 0有 ( )的计算：=注：只有在 时有意义，当 时幅频特性曲线恒为负，没有 曲线， 曲线如下图：注意： 为谐振峰值 为阶跃响应峰值区别对应 轴对应 t 轴其关系如图：同样： 为无因次振荡频率= 为无因次阻尼振荡频率= 上面二图将时域和频域联系起来了。 7） 二阶微分环节特点由 的表达式有有与振荡环节相比：对数幅频特性为倒数对数相频特性为负值 53 开环系统的频率特性开环系统的幅相特性称为开环幅相特性。开环系统的对数频率特性称为开环对数频率特性，包括开环对数幅频特性，开环对数相频特性5.3.1 开环幅相曲线的绘制开环幅相曲线的绘制方法常有二种：法
11、一：由开环传递函数的极点-零点的分布图，与虚轴的关系，用图解计算法绘制。法二：列出开环幅频特性和相频特性的表达式，用解析计算法绘制。法三：概略地绘制大致的趋势，关键点，便与定性的分析。以几例说明绘制的具体方法：例 1： 如图所示，RC 网络，要求绘制出其幅相曲线。解：由图可建立系统的数学模型 其中 T=RC有法一：极点分布图为： 考虑在虚轴上的各点与已知零极点的关系（模，夹角）可得一系列的点，将这些点对应画在极坐标图上，按 从小到大的规律连接上，便得到该系统的幅相曲线。具体地：法二：由有可算得0/T 0.1/T 0.3/T 1.0/T 2.0/T 5.0/T 0 0.0995 0.288 0.
12、707 0.859 0.982 190o 84.3o 73.3o 45o 30o 11.3o 0可得如图的结果：例 2 设一系统其开环传递函数为 （零型系统）试概略地绘出系统的开环幅相曲线解：由 G(s)的表达式有：不失一般性设 ，有如图零、极点。其幅相特性的大概形状为：由上例可见：零型系统的开环传递函数的开环传递系数（放大倍数）如果系统包含 个惯性环节，则必趋于如图 n=1-4 的情况:如果零型系统除了包括惯性环节和比例环节外，还包括有微分环节，则因从 时，一阶微分环节的相频特性是从 ，总的相频特性必有如下特点：具有这种情况时，其系统的幅相、特征可能具有凹凸性。G（s）= 零型，则有设 可得大致的幅相频率特性曲线如图例 3 设某单位反馈系统其开环传递函数为：(I 型系统)试分析该系统的幅相特性解：由 G（s）的表达式有有 讨论：+可见：时，其幅相特性的渐近线不是虚轴而是一条横坐标为 ,平行与虚轴的直线其中故系统的幅相曲线大致如图：该幅相特征与实轴相交交点的求取 令即有 将 的值代入 有-该幅相特性与虚轴相交的交点的求取令 = 0
