1、任意角的三角函数,1、理解并掌握任意角的三角函数的定义； 2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。,过程与方法,P(，),的终边,r,锐角三角函数定义,问题1:在终边上移动点P的位置,这三个比值为改变吗?,在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆,锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示,任意角的三角函数定义:,y,x,O,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)则:,y 叫的正弦,x叫的余弦,叫的正切,新课讲授,1.下面利用平面直角坐标系，研究任意角的
2、三角函数。,a的终边上任意一点P的坐标为(x,y),它与原点的距离是,P(，),的终边,r,事实上: 三角函数也可定义为:,设是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则,( ),三角函数是以实数为自变量的函数,问题:,如何求角的三角函数值?,求角的三角函数值即可求终边与单位圆交于点的纵横坐标或坐标的比值.,y,x,O,例1：求 的正弦,余弦,正切的值.,问题,根据上述方法否能求得特殊角三角函数值?,例题2:,已知 的终边经过点 求 角的正弦,余弦,正切的值,练习：,1,特殊角三角函数值,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
3、,1,1,1,1,1,1,1,1,1,三角函数值与P点的位置 关角的三角函数也可以看成 的函数,无,“实数”,说明：,此定义式与过去定义式一致。,例3：如图所示，已知角终边上一点P的坐标为（4，3），求角的三角函数值。,解：4，3,5,下面我们研究这些三角函数的定义域：,R,R,例3求函数y1/(1+sinx)的定义域。,解：1+sinx0， sinx1即角x的终边不能在y轴的负半轴上。x2k+3/2，kZ，故函数的定义域是x|xR，且x2k+3/2，kZ,三角函数值在各象限的符号是怎样的？,思考,根据三角函数的定义能否确定正弦,余弦,正切的值在四个象限内的符号?,任意角的三角函数符号,规律：
4、 “一全正、二正弦、三正切、四余弦”.,例4：确定下列三角函数值的符号。,分别位于第三象限、第四象限、第一象限、第四象限。,例4、已知角 满足 ,问 是第几象限?,思考：,1、若 ，试确定 所在象限,2、已知 为第三象限角，判断 符号,练习:1,已知点P(tana,cosa)在第三象限,则角a的终边在( )象限,直角三角中的锐角三角函数 象限角中的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数 任意角终边上任一点坐标定义三角函数,反思三角函数的定义,问题,根据三角函数的定义: 终边相同的角的同一三角函数值是否相等?,终边相同,终边相同的角的集合,点的坐标
5、相同,同一函数值相同,公式一,2 k360， kz表示任意与 终边相同的角。,3此公式表明求任意角的三角函数值的问题，可以转化为求0360(02)间角的三角函数值的问题。,1运用公式时， kz不能省略！,说明：,例6：求下列三角函数的值。,解：,小结:,(1)任意角的三角函数定义 三角函数(正弦,余弦,正切)都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (由于角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)所以三角函数可以记为:,定义域为R,定义域为R,定义域为,小结,3.公式一(诱导公式),应用,（1）判断符号,（2）求值,（ ）,+,
6、+,-,-,+,+,-,-,+,+,-,-,小结,(2)三角函数在象限内的符号,作业:,P20 习题1.2 2, 3, 5,6,填表:,1,特殊角三角函数值,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数,第二课时,问题提出,1.设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），角的三角函数是怎样定义的？,2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？,一全正，二正弦，三正切，四余弦.,3.公式 ， ， ( ).其数学意义如何？,4.角是一个几何
7、概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.,终边相同的角的同名三角函数值相等.,知识探究（一）：正弦线和余弦线,一、有向线段,思考2：若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 ， 都是负数，此时角的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？,思考3：为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.根据实际需要，应如何规定线段的正方向和负方向？,规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向.,思考4：规定了始点和终点，带有方向的
8、线段，叫做有向线段.由上分析可知，当角为第一、三象限角时，sin、cos可分别用有向线段MP、OM表示，即MP= sin，OM=cos，那么当角为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？,思考5：设角的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP，OM分别为角的正弦线和余弦线.当角的终边在坐标轴上时，角的正弦线和余弦线的含义如何？,思考6：设为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sincos1吗？,MPOMOP=1,知识探究（二）：正切线,思考5：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？,过点A（1，0）作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tan
9、.,思考6：当角的终边在坐标轴上时，角的正切线的含义如何？,当角的终边在x轴上时，角的正切线是一个点；当角的终边在y轴上时，角的正切线不存在.,思考7：对于不等式（其中为锐角），你能用数形结合思想证明吗？,理论迁移,例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：,（1） ； （2） ；（3） ； （4） .,例2 在0 内，求使 成立的的取值范围.,例3 求函数 的定义域.,1. 以下四个命题中，正确的是(),D第四象限的角可表示为:,A在定义域内，只有终边相同的角的三 角函数值才相等。,B,C若a是第二象限的角，则,C,。,2. 若角a的终边过点(-3，-2)，则( ),Asina tana0Bcosa tana0Csina cosa0Dsina cota0,C,C,C,3,D,B,小结作业,1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具.,2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点O和点A（1，0）.,3.利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想.,作业：P17 练习：1，2.P21习题1.2A组：5，7.,
